集合的概念与运算 讲义-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册VIP

集合的概念与运算1.集合与元素元素：研究对象的统称。集合：一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示。集合的表示法：列举法、描述法、图示法。常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋(或N*)ZQR2.集合的分类按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等。3.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A=B4.与子集有关的性质（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n−1（2）空集：不包含任何元素。用“∅”表示，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C5.集合的运算(1)包含了所要研究的各个集合的全部元素的集合就称为全集，用字母U表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝A∩B＝C6、集合运算的性质：（1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.（2）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.（3）A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.（4）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.（5）CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB)【考点分类剖析】考法一集合的基本概念【典例】1、已知集合A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}，B＝{x2|x∈A}，则B中元素个数为()A．4B．5C．6D．7解析A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}＝{x∈Z|－4<x<2}＝{－3，－2，－1,0,1}，B＝{x2|x∈A}＝{0,1,4,9}，故B中元素个数为4。故选A。2、已知集合A＝｛x∈Zeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2－x)∈Z))，则集合A中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5解析因为eq\f(3,2－x)∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4。【变式探究】1、已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．6解析由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4。故选C。2、已知集合，，则中所含元素的个数为（）A．4B．6C．8D．10D【解析】∵集合中元素要求，故，于是用列举法可得符合集合的元素有：，，，，，，，，，共10个元素，3、下列各式中，正确的个数是:①；②；③；④；⑤；⑥.A．1B．2C．3D．4B【解析】对①，集合与集合之间不能用符号，故①不正确；对②，由于集合两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正确；对③，空集是任何集合的子集，故③正确；对④，空集是不含任何元素的集合，而是含有1个元素的集合，故④不正确；对⑤，集合是数集，含有2个元素，集合是点集，只含1个元素，故⑤不正确；对⑥，元素与集合只能用或符号,故⑥不正确.4、已知集合，若，则实数的取值集合为（）A． B． C． D．C【解析】当时，，此时，满足题意；当时，或；若，，满足题意；若，，不满足互异性，不合题意；实数的取值集合为.5、若集合中只有一个元素，则=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4A【解析】6、已知集合，，则集合中元素的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C【详解】因为集合，，所以集合，故选：C考法二集合间的基本关系【典例】1、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________。解析因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2。②若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3。由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]。2、设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}。（1）若a＝eq\f(1,5)，试判断集合A与B的关系；（2）若B⫋A，求实数a组成的集合C。解(1)由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5，所以A＝{3,5}。若a＝eq\f(1,5)，由ax－1＝0，得eq\f(1,5)x－1＝0，即x＝5。所以B＝{5}。所以BA。(2)因为A＝{3,5}，又B⫋A，故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝eq\f(1,a)。所以eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，即a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5)。故C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5)))。3、已知集合，则满足条件的集合的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4D【解析】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.4、已知集合，且，则满足条件的集合的个数（）A．8 B．9 C．15 D．16A【详解】由不等式，解得，即又由，可得满足条件的集合的个数为.故选：A.【变式探究】1、已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A．B．C．D．B【解析】已知，，因为，所以或或，所以实数的取值集合为.故选：B.2、集合，，则集合B的子集个数为（）A．5B．8C．3D．2B【解析】A={−1,0,1,2},B={1,2,5},子集个数为23=8个，故选B.3、已知集合，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．8C【解析】由解得：.，或.则，所以根据集合子集个数公式得满足条件B⊆A的集合B的个数为.故选：C.4、集合的子集的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．8D【解析】由题意，有三个元素，其子集有8个．故选：D．5、已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（）A． B． C． D．A【解析】因为，当时，，符合题意；当时，，因为，所以或，解得或.故实数的所有可能的取值组成的集合为.故选：A6、若集合，，且，则（）A．0 B．1 C． D．0或1A【解析】，，或1，显然，.故选：A.考法三集合的基本运算【典例】1、已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝()A．∅B．MC．ND．R解析解法一：因为∁RM⊆N，所以M⊇∁RN，所以M∪(∁RN)＝M。故选B。解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁RM，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁RM⊆N，结合图形可得M∪(∁RN)＝M。故选B。2、若集合，，且，则（）A．0 B．1 C． D．0或1A【解析】，，或1，显然，.故选：A.【变式探究】1、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%解析不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%。故选C。2、已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（）A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）C【解析】∵，∴，故选C.3、已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A． B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2} D．{–2，2}D【详解】因为，或，所以.故选：D.4、已知集合，，则中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．6C【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.5、设全集集合则（）A．B．C． D．D【解析】6、已知集合集合则（）A．{0} B．{3} C．{0，2，3} D．B【解析】因为集合，集合，所以，7、已知集合，，则中的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4C【详解】或，，所以，所以中的元素个数为.故选：C考法四利用集合的运算求参数【典例】1、设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4B．－2C．2D．4解析解法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝｛xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2。故选B。2、已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a<1B．a≤1C．a>2D．a≥2解析集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图。可知a≥2。答案D【变式探究】1、设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>p}，若(eq\a\vs4\al(∁UA))∩B＝∅，则p应该满足的条件是()A．p>1B．p≥1C．p<1D．p≤1解析全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>p}，所以eq\a\vs4\al(∁UA)＝{x|x≤1}，又(eq\a\vs4\al(∁UA))∩B＝∅，所以p≥1。答案B2、设集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．B【解析】集合,①当时，或，∵，结合数轴作图知，即得；②当时，显然；③当时，或，结合数轴作图知，此时恒成立，由①②③知.故选：B.3、设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．D【解析】因为，所以，因为集合，，所以.4、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4B【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：由于，故：，解得：.故选：B.5、已知集合，，若，则实数的值为________1【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．6、已知集合，，且，若，则实数的取值范围是()A．B．C．D．D【解析】由于，所以，又因为B≠，所以有QUOTE解得，故选D．考法五韦恩图法【典例】1、已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是()A．∁UN⊆∁UPB．∁NP⊆∁NMC．(∁UP)∩M＝∅D．(∁UM)∩N＝∅解析解法一：根据已知条件画出Venn图结合各选项知，只有D不正确。故选D。解法二：(特例法)取U＝Z，M＝{1}，P＝{1,2}，N＝{1,2,3}，验证各选项知D不正确。答案D2、已知全集为U且P,Q为U的子集，P∩∁UQA．ϕ B．P C．Q D．UC【解析】由题意，全集为U，P,Q为U的子集，且P∩∁UQ=P【变式探究】1、已知全集U，A，B，C为U的非空子集，且，则下列正确的是（）A．B．C．D．D【解析】由题意，作出Venn图，如图所示，由图易知，，故A错误，D正确；由，故B错误；由定不成立，故C错误.故选：D.2、（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．A∩B∪CB．A∪B∩CC．A∩AD【解析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为A∩B∪C或A∩B3、设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B．C． D．C【详解】，，由韦恩图可知，阴影部分表示集合：，故选：C.4、（多选）下图阴影部分所表示的集合可以为（）A． B．C． D．BC【详解】由于阴影部分是的子集，且不属于集合，结合选项可知选：BC，5、（多选）如图所示的阴影部分表示的集合是（）A． B．C． D．CD【详解】A选项表示的是图1的部分，不合题意，B选项表示的是图2的部分，不合题意CD选项表示的是题干中的阴影部分6、（多选）图中是全集，、、是的子集，阴影部分用集合符号可以表示为（）A． B．C． D．BD【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则或.故阴影部分所表示的集合为或.故选：BD.考法六集合中的新定义问题【典例】1、设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1,2}，Q＝{－1,0,1}，则集合P*Q中元素的个数是________。【解析】因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1,2；b的取值只能为－1,0,1，z＝ab的不同运算结果如下表所示：ba－10111112eq\f(1,2)12由上表可知P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，显然该集合中共有3个不同的元素。【答案】32、(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割。试判断下列选项中，可能成立的是()A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素