清华大学高数竞赛培训

1，2，3，5章及其经典习题第一部分例题精讲与习题第一章极限与连续性1.1基本概念与内容提要1）.极限的条件：左极限等于右极限。（1函数连续性和可导性的（2第一类间断点（左右极限：>可去间断点：左右极限且相等但函数在该点无b>跳跃间断点fxfx0（3）im，xxxx0fx0xx0处可导且f'。所以，可导性就是极限0fxfx0是否1，2，3，5章及其经典习题第一部分例题精讲与习题第一章极限与连续性1.1基本概念与内容提要1）.极限的条件：左极限等于右极限。（1函数连续性和可导性的（2第一类间断点（左右极限：>可去间断点：左右极限且相等但函数在该点无b>跳跃间断点fxfx0（3）im，xxxx0fx0xx0处可导且f'。所以，可导性就是极限0fxfx0是否；(4)求函数的渐近线：①水平渐近线：limfxA，则limxxxxx0fxxx0yfxxx0fxxykxb其中klim,blimf xkx；xx有两条。2）.连续函数的极限a0,lim limnnnnx2limarccote4）.极限的四则运算2xx0ex05）恒等变形、约去零因子、有理化等常用化简方法6）.极限准则（定理、单调有界定理）sinx1x elimxxx0x08）.洛法则（重点，常与洛法则一起交替使用，常考的共有七种不定式极限：大学数学竞赛培训0①型，常用方法：约去零因子；等价无穷小替换；变量代换；洛0② 型，常用方法：分母同时除以最高次幂项；变量替换；洛法则型，常用方法：通分；倒代换；有理化0型，常用方法：变形；变量代换；取倒数化为型00型，常用方法：取对数化为0型；恒等变形；变量代换⑥0型，常用方法：取对数化为0型；恒等变形消除不定式；利用重要极1im1xxe；等价替换x01⑦型，常用方法：取对数化为0型；利用重要极限im10①型，常用方法：约去零因子；等价无穷小替换；变量代换；洛0② 型，常用方法：分母同时除以最高次幂项；变量替换；洛法则型，常用方法：通分；倒代换；有理化0型，常用方法：变形；变量代换；取倒数化为型00型，常用方法：取对数化为0型；恒等变形；变量代换⑥0型，常用方法：取对数化为0型；恒等变形消除不定式；利用重要极1im1xxe；等价替换x01⑦型，常用方法：取对数化为0型；利用重要极限im1ex09）.无穷小得比较x0，则xx即为无穷小量，0xx0时x是比x高阶的无穷limxxx（1）limxxx小，记为xoxx0时x是比x低阶的无穷小；xCC0xx0时x是与x同（2）limxxxC=1xx0时x与x是等价无穷小，记为xx0；xCC0xx0时x是与xlimxkxxk阶无穷小。等价无穷小替换求极限（注意：有界函数与无穷小的积是无穷小指在乘积型极限中，一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小因式代替。x0时，ex,11xa1ax,ax1xn11 coxarctanxx。注意：高阶无穷小、k阶无穷小补充：无穷大量比较：①当n 时，无穷大的阶lnn,n0,n0,ana1,nn；及应用。数由低到高排列为：x 时，无穷大的阶x。②当数由低到高排列为：ln9）.利用公式、中值定理求极限，求极限常用公式有：xnn!oxne...2!2n1ox2nsinx2n1!5!2nox2n1x12n!x5ox52!4!1x3215tan3nox9）.利用公式、中值定理求极限，求极限常用公式有：xnn!oxne...2!2n1ox2nsinx2n1!5!2nox2n1x12n!x5ox52!4!1x3215tan3noxnln11nxnoxn的定义求极限11x10）.利用定11） 证明数列极限的方法：①定理②单调有界定理③级数敛散法：若级数④级数收敛的必要条件：若级数an收敛，则n1aa liman n1nnn1an0。n补充：给定数列an，则liman的充要条件是级数anan1收敛。nn1级数的敛散性。所以，数列的敛散性可以转化为0,nmbaxnaxn1.a 0公式：lim0 1 n0,nm，数列极限也可用。12）bxmbxm1...bx,nm01n13）中值定理求极限：关键是将欲求的极限写成中值定理的形式，在求函数式具有规律比或其分母之项具有中值定理那样的关联或函数式非常复杂难以化简时，尤其是像求类未定的极限如imsin x1sin x，可以考虑使用中值定理。xfnlimfnlimfx0。14）nxn1级数的敛散性等。求极限可以转化为求定、1.2etnxesinxlim。xsinxx0etnxsinx在sinxesinx中值定理得etnx与tnxx0时,e1etnxsinxetnxesinxsc2xsxlimlimxxx0imsc2方法二：先处理一下，在使用等价无穷小和洛法则1esinxetanxesinxxsinxlimetnxesinxlim。xsinxx0etnxsinx在sinxesinx中值定理得etnx与tnxx0时,e1etnxsinxetnxesinxsc2xsxlimlimxxx0imsc2方法二：先处理一下，在使用等价无穷小和洛法则1esinxetanxesinxxsinxlimlim3limx1xn2.求lim。2 1xn0n21n111xnxn解：0, 使得dxlim0dx2 2 ，n211x1x2n001exycosxydxdy=2 23.D:x2y2r2lim.rr0r2Dr,Dexycosxydxdyr2ecos，2 2 2 2使得rDr当r0时,00，1exycosxydxdylimecos2 2 2 2r0r200Drlim(cos2cos22nn1)cos24.nnncosn .n12n12222 cosxdx...cos lim cos0nnnnx1 1cos2 21020 2nk1n1k nClim。nnk1 kk1k2...2 1解：当kn1n1k11n2n3...nknn20n1k1kn1nCkn2n12n1nn0 n1k2n2n12n1nk1即0n1k nC0，n22nnnnk1n1k0limnC由nnk1例6.证明：数列7求其极限。7, 777777,7,...收敛，并7xnfxxnxn12n1nn0 n1k2n2n12n1nk1即0n1k nC0，n22nnnnk1n1k0limnC由nnk1例6.证明：数列7求其极限。7, 777777,7,...收敛，并7xnfxxnxn2777x，证明：设该数列通f(2)=2xn2fxnxn22fxnf2，由中值定理得：x，2之间，使得fxf2fx2，1fx，4 7x77xfxf2f'xx2，由题意得0x7，n2nnnn11f0 7,1nn4 7n7n 477 7 14'n即x2k由0xn2,012fxn2，则k122,k1limk1x 2x2x20，2k22k20limx2n2limx2n12，由 定理得limx2kknnxn22。n1,x1x2，又设yfx的反函数7.fx 2ygx的不可导点中横坐标最小者和最大者。求：（1）求,（2）设n。n1x、、或f x 0的点的、（1g，g(x)的不可导点即f x不x、ffxf2x2x24f00，又f28,lim'limx24，x2x2fxf2x38lim2不、f 、lim1不存x2x2x2x2在，gxx1f00x2f11x31,8f28处均不可导，21x、、或f x 0的点的、（1g，g(x)的不可导点即f x不x、ffxf2x2x24f00，又f28,lim'limx24，x2x2fxf2x38lim2不、f 、lim1不存x2x2x2x2在，gxx1f00x2f11x31,8f28处均不可导，2n2，xn2（2）由题意得xn1 2xn22，xn222n2n0limnxlim20，22x2x2n00nxn0,limxn2n1n8.lim。21i ni1nni2i2 i2i1i211i,由介值定理得使得2解： ,i n，in2n21n2n21n1111nnn11limnlimlimnlimi1121222i nni 1n 1nnii11n1nin2nndx1101x24nlimn。nnnnC kCnn k1C n Ck2knnn111n12n2n2n1nn kn14limnk kn1例10.求极限lim1 sin 。2nk1nnk k1解：由 公式得sin n2o，n221nk3n1kk k1nn11lim1 sin1limno 22nk1nnnnk1 nn2n5 x1xdx 106f3x3x2x关于x的阶为 。5115 x3 15on14limnk kn1例10.求极限lim1 sin 。2nk1nnk k1解：由 公式得sin n2o，n221nk3n1kk k1nn11lim1 sin1limno 22nk1nnnnk1 nn2n5 x1xdx 106f3x3x2x关于x的阶为 。5115 x3 15ox3x3解：113x15ox55x5 1 5 26是关于x的 阶。fxoo5315 3 151例12.设函数f(x)满足f01,limfxA，且f x、xx0，求证：1A1ln2。1证明：由f x0f(x)单调递增，fxf01，、ex11dtxx、exf xf 01lnex1ln2f,01etex1fx1ln2lne 1xexfxexfxexfxnx213.fxlimn1xn的表。2nn2n2x222fxx解：当；n当1x2fx；nn当2x1nfx， nnx,n为奇数nx213.fxlimn1xn的表。2nn2n2x222fxx解：当；n当1x2fx；nn当2x1nfx， nnx,n为奇数fn，即fx不 ；当2x1时该极限不f11,f2limn12n12，n1当x1时，若n为偶数f11，若n为奇数f1 ,f1不；2x2nf22nf21,f2不；，其定义域为21x2,fx2122n13517知xn = 。n12 4 16n22222224...22n122n1，解：1222...2n1分母22 ，22n112。nnnnn221221演练：设x 1a1a2..1a2n,其中1limx。annn11an1x21 1x2例15.求lim2 。x0sxex2sinx2公式得：ox41x4解：由81x2ox22cose 3x2ox222111lim2 lim 8 8演练：设x 1a1a2..1a2n,其中1limx。annn11an1x21 1x2例15.求lim2 。x0sxex2sinx2公式得：ox41x4解：由81x2ox22cose 3x2ox222111lim2 lim 8 813122nnlnnlnnlim。nnlnnnnlnn2nnlnnlnn2lnn2lnnnlnn2nlim1explimlimnnlnnnnnlnnn2x2e2explimxxlnx11xn1x11例17.求lim1 2 3nnn111解：设Sn1 ...，则2 3n11...11...S 111...12n112n122n2n2 33 4111... 211...112n22n2 3 4111... 111...112nn2 3 2 31111111......nnn1 n2nn12n111 nn1 1 1 1 1 1x1limSnlim111... 211...112n22n2 3 4111... 111...112nn2 3 2 31111111......nnn1 n2nn12n111 nn1 1 1 1 1 1x1limSnlim2nnn11121n0 nnnlimSlimS1ln2limSnn2n2n12n2nnn111limSnlim1 ...ln22 3nnnn2011，求的值。limn1nnnn1n解：n111nxn2011,0,0limlimn1x011xnn12011又limx010,12011,2010,120112011xA0，求。19.已知有整数nn4使极限limxxnx4nlimxx1由极限的 性得n1,n，1tn4tn1xnxlimlimxtt0tn42tnlim7tn52tn1A0,n5, 1 1limt0tn 5t02311 1 13343n3lim..313141 n1333n2k1由极限的 性得n1,n，1tn4tn1xnxlimlimxtt0tn42tnlim7tn52tn1A0,n5, 1 1limt0tn 5t02311 1 13343n3lim..313141 n1333n2k2k1k31k1nn式limlimnk2k 1 nk2k13k k12n2n1223limnnn13k36k211k5k3!nlimnk1n11式limnk1k! k3!1 11115 2! 3! n1! n2! n3! 3n22n2lim。3 21k2n23 2nnk23 2nnk2k2n2,3nn3 2nk32n131n又k nn12n1,26nn12n1xnn12n16n3n2nn12n16n31nn12n16n31n13limn6n3n2n22n2113 lim...3 21n23 2nn3 23nnnn12kn21limnk11112n1式limn...limn2n21n22n1nk0n2k2n22n211112n1 ,n1n1 k0nn2n2kn2k12n22n22n2113 lim...3 21n23 2nn3 23nnnn12kn21limnk11112n1式limn...limn2n21n22n1nk0n2k2n22n211112n1 ,n1n1 k0nn2n2kn2k12n22n22n1limn2,nn1n12nnn2kk01n2kn2klimn!n1!2!...n1!limn!n!nn01!2!...n1!n2n2!n1!2n3nn1n!n!lim2n30,lim1!2!...n1!0nnn1n!nn!nn25.limsinn2n n2n 式limsinn2nnlimsin1nnnnfxx0Rf0。RlimxxFxfxxlimFxlimFN0FN0FN0，RF0f0nbnan27.求limn22 nanb2nnba b2an nn nnnab22limn=lim1n2211a b211annn1bnexplimnexp lim1n1n2xlimFN0FN0FN0，RF0f0nbnan27.求limn22 nanb2nnba b2an nn nnnab22limn=lim1n2211a b211annn1bnexplimnexp lim1n1n22nn1lna1lnbe2ab2处可导,f'(1)1,求limxx0limxx0fx)ff2x)ff3tanx)f=limxx03tanxxxxx0x0例29.F(xx0x1F(xFx11x，xF(x。FxFx11x(1)xx1,xxx11x1x1 1x12x1xx1FFF 1x1F(2)xx xxx 11x11111 x2x1FFx代换成，FF(3)1x1x1x1x1x1 x1(1)+(3)-(2)得22x1x3x21(2F(=x1 x21x(x1)x(x1)F(设0n123,...,a2an 1a a) (1a)(1a)(1axn，)11212n证明:limxnnn22x1x3x21(2F(=x1 x21x(x1)x(x1)F(设0n123,...,a2an 1a a) (1a)(1a)(1axn，)11212n证明:limxnnnn,...,n111，1a11a211111x 1121a 1a1a)112111211(1a1)(1a2)11(1a)(1a)(1a)n112anx xn1n(1a)(1a)(1a)121annan1an) )(1an)11(1a1)(1a2)(1an)n,xnimn.x031.n为自然数,f(x在[0,n]f(0)f(n，aa1[0n]f(a)f(a1。试证：证明：当n=1,当n>1,g(x)f(x1f(xg(x在[0,n-1]上连续,mM，m1g(0)g(1)g(n1)Mn由介值定理,a[0n1即有aa1[0n]),使g(a)1g(0)g(1)g(n1)n=1f(1)f(0)f(2)f(1)f(n)f(n1)1f(n)f(0)0nn即有aa1[0n],g(a)f(a1f(a=0,f(a)f(a11例32.如果f(x)是,上的周期函数，且limf ，求f(x)。xx0解：对xT0fxfx即有aa1[0n],g(a)f(a1f(a=0,f(a)f(a11例32.如果f(x)是,上的周期函数，且limf ，求f(x)。xx0解：对xT0fxfxnT11由limf 0得：fxlimfxnTlimftlimf 0xxx0nxtx0xlxx时解：有界，ln7x2limxx22102x252x27解：x时arctanarctanx21x227x2xx 2217x2limxx 2212x252x27x22limx52x271x21 x 223x435limx2x252x27cosxexcosxex35.求limx03xxexexx 2sinsin式lim 2 2 x3x0xexxxeexex1 2 2 2limx0 lim3x2xx01x14xx lim2x0例.求im x1x2..anxnxa2an ...1 1式 limxx x11a1a2anlimx 1nxxlim1a1t1a2t...1axexxxeexex1 2 2 2limx0 lim3x2xx01x14xx lim2x0例.求im x1x2..anxnxa2an ...1 1式 limxx x11a1a2anlimx 1nxxlim1a1t1a2t...1ant1a1a2anntnt0x37.求limx11x1n11x1)式limx11xn11x11n!21xn1limx1lnxex38.lim4x2x2x1x 1x11ex111411 13 xlim式x2xx14131ttttttt2 3 4231limtt01tt2t3t41tt2t3112lim4 3 tt0fy39.Fxy0,...,Fxn2xnn12limxnxn1，并求此极限值。nx=1得：F1,yfy11y2y5,fy1y22y10y129，22yx29fyxfy39.Fxy0,...,Fxn2xnn12limxnxn1，并求此极限值。nx=1得：F1,yfy11y2y5,fy1y22y10y129，22yx29fyxyx9,Fx,y2，2x..0n11911即3xx2n1 nx2xnnxn单调递减且有下界，limxnnA299，对AA3，2Annlimxn3n12111140.设a1 2 22 2n21解：设，则a1cos2a2cos cos ,...2222由数学归纳法可得ancos n，2n2cos cos ...cos sin2 22 2n 2ncos 2...cos lim2nn2nn22n2nsinsin limsin sin 2 n2nn2nsin2n2nan例41.设a3,a2a2 1n2，求lim。n11nn2naa...a12 n1解：由a131an2a211及数学归纳法得an1na 11a1a12a aa222242a2212an1 n1n1n2 n2nnn2...22n2a22na22 212a2...a222aa...an...a a 12 an1n2 1 1n1n2 112 n1a211得 n a 11a1a12a aa222242a2212an1 n1n1n2 n2nnn2...22n2a22na22 212a2...a222aa...an...a a 12 an1n2 1 1n1n2 112 n1a211得 n 2，又an1，lim0，2n2aa...a12 n110，n2n12n12a2a211 n lim n limlimn2222nnnnn2aa...a2aa...a2aa...a12 n1an12 n112 n12arctanxxfx42.f"01，求，且lim3xx0f0,f0,f"0的值。arctan解：由1lim得：x33x2x0x01f00f01 1 2x 2fxxf"x22由1 1得:3x26xx0x0、 21f00,由1lim得:6x0fx83f"063f"08,f"022limxx0f01,f00,f"0831lim( arctanx)lnx2xlnarctanx x 1lim2 2x21arctanx)lnx lnxarctanxlimee2xx1x21x22 1 1x2x1limlim1limarctanx1xx1x22x1x221( arctanx)lnxe12x44.f(xx6的邻域内为可导函数,tlnarctanx x 1lim2 2x21arctanx)lnx lnxarctanxlimee2xx1x21x22 1 1x2x1limlim1limarctanx1xx1x22x1x221( arctanx)lnxe12x44.f(xx6的邻域内为可导函数,tx 6f(u)dudt且limf(x)0,limf(x)2010,求极限lim6t 。(6x)3x6x6x6t f(u)dudtx66x f(u)du6t limxlim3x6(6x)32x6x66f(u)duxfx6x62fxxf'xlimlim2010x6x6x611tet45.求极限lim.112t0tetarctant111et1tetxexlim t lim11et21t21tt0t0xexextetarctant1exlimlim1x2x41x22xexxex1x2x2xtdtxt20.limx11xx0x2x22xxtdtxttdtxt200limx11x0xexcosx1xexcosx1x23xxx0exsinx2323x6xx0x0x2xe247.求极限limx)]x04o(x4)cosx22x2x2x2x411 ( )2o(xx2x22xxtdtxttdtxt200limx11x0xexcosx1xexcosx1x23xxx0exsinx2323x6xx0x0x2xe247.求极限limx)]x04o(x4)cosx22x2x2x2x411 ( )2o(x4)1 o(x4)e2 2! 22 8由此得到：)2o(2o(x2)x2x44112!o(4!o(x)]x12o(x)44418原式limlim2o(x2)]x22x4o(x4) 24[2x0x0f(00f(00f(00.在曲线例48.f(x具有yf(x上任意一点(x,f(x（x0）x轴上的截距记作xf()f(x)，求limx0解：过点(x,f(xyf(xYf(x)f()f(0)0f(0)0x0f(x)0x轴上的截f(x)f(x)f(x)f(x)x，且limlimxlim0；x0f(xx00处公式得：f(x)f(0)f(0)x11)x)x在0x之间；22f(f(11122x代入得：f()f(0)f(0)11f()2f()2，在0与 之间；22222))limxf()limlim2xxx0x0x012limxf(x)f(x)limf(x)f(0)f(0)1x0f(x)xf(x)2x0f(x)xx1的等价无穷小则m____设当11xx1 m mx mxm1 m11xxm11limx12m350.求lim1111n))limxf()limlim2xxx0x0x012limxf(x)f(x)limf(x)f(0)f(0)1x0f(x)xf(x)2x0f(x)xx1的等价无穷小则m____设当11xx1 m mx mxm1 m11xxm11limx12m350.求lim1111nnnn n12n nn113nx1limxn1n n1n 3nn nn2n11n11231111lim n n n n nx1dx 2tdt11 21t22ln201t010xC0，试确定51.已知极限limn和C的值。nxx011x)x22x33ox]2x xo(x)，2333][2131x2o31x3o(x3)，3又1x22(x1x3 o(24x3ox3o(x3))3原式lim 3 3 lim3 Cxnxnx0x0n3C4.3法2：运用洛必达法则可知：4x22112C原式lim1n1xx0故n3C4.352.fx2sinx...2010sinx，求f(0)fxsinxgxg...2010sinxf'xsinxg'xcosxgx,f'0g02010!法2：运用洛必达法则可知：4x22112C原式lim1n1xx0故n3C4.352.fx2sinx...2010sinx，求f(0)fxsinxgxg...2010sinxf'xsinxg'xcosxgx,f'0g02010!则kennlim53.求。nk1n1kkenknnlimnlim1 edxe1xnk1nknk11k0ken1ene1nnen1limlimlime1nk1n1nn11ennk1n1k1kennlime1nk1n1k1.)1时，有f(x)，x2f2(x)π（2）limf(x1 。（1）imf(x)4xx10fx递增,fx（1f(x)x2f2(x)111xx0f(x)dxx2x2f即fx1arctanx,fx1arctanx441fxlim1arctanx1x44f(x)limf(x)x（2）由fx1 ：4limfxlim1arctanx1x44x55.yy(xx3y33axy0（a0）确定，求limy。xxxy且3axyxyx2xyy2x3y33axy,xy,（2）由fx1 ：4limfxlim1arctanx1x44x55.yy(xx3y33axy0（a0）确定，求limy。xxxy且3axyxyx2xyy2x3y33axy,xy,xyy2x213ay6aylimy1y2xy2xyy2xx2xln11ln1nln12 n n n56.求极限limn ...n1n1n112nln1kln1k n nnn1ln1xdx2ln21n1nnk1nk10kln1kln1kln1k n n nnnnnlim n1n1nn1k1nnk1nk1kln1kn n 1 ln1xdxln21lim2ln21n10nk1ktan(tanx)sin(sinx)57.求极限limxsinxx0x33!ox3tan解：由tan 3x33ox3tantanxtanxx333x2x3ox33sin 3!x33ox3sinsinxsinxxx1x3ox331tan(tan lim tanx33x3oxtan 3x33ox3tantanxtanxx333x2x3ox33sin 3!x33ox3sinsinxsinxxx1x3ox331tan(tan lim tanx33x3oxx ox33x3! ox3x3lim21x3ox3x021exe2x...enxx58.求极限limnnx01xnexe2xexnnexe2x...enxlimex0xnex2e2x...nenxx0n12limex0eex 2xnxee...en11x(n2)sin59.设数列{xnnsin，则n1。n1n1nxlimn1k1knSTOLZ(定理)：xx设{y}严格单增，且y+，如果limn n1a(a)yynnnn n1x则lim n1=ayyynnn n1n推论：x，则li xxnnnnnnx)xx xn1limn(n1)nnnnn（2）设limxnnnlnx由（1）可证lim nlimlnxnnnnlimlnx即limlnnnnnn设limnnlimnn11x(n2)sinx1；nn1n1nnnnxxim1x，则li xxnnnnnnx)xx xn1limn(n1)nnnnn（2）设limxnnnlnx由（1）可证lim nlimlnxnnnnlimlnx即limlnnnnnn设limnnlimnn11x(n2)sinx1；nn1n1nnnnxxim1nnnkkxlimlim1 n1k1 nn1 nknnnnn1)60.x00，分析：证明数列极限（n123,...）.证明limxn，并求之.n1的方法：①定理②单调有界定理③级数敛散法：若级数④级数收敛的必要条件：若级数n收敛，则aa liman n1nnn1n10。给定数列an，则liman的充要条件是级数anan1收敛，所以，nnn1数列的敛散性可以转化为级数的敛散性。下面对各种解法给出示例。证明：方法一（单调有界定理）.xn0，对于一切的n恒有21，x22，因此知数列{x}有界；又n2xnn1n1212)(2)2xn1n2(xnxn1)12(xn)1x 2),...，xn1)1)}x1x0时数列n单调递减.即数列n为单调数列，从而数列n必有极限.2(1xn1)2(1A)设limxnAAlimxnlimA2，2xn12Annn即limxn2.n方法二（级数敛散法）由方法一得1xn22(1x)2x22x2x x nx n n1 2x 32xn1 n2xn2xn1n1nn2x2x x11xn1 n1,列n单调递减.即数列n为单调数列，从而数列n必有极限.2(1xn1)2(1A)设limxnAAlimxnlimA2，2xn12Annn即limxn2.n方法二（级数敛散法）由方法一得1xn22(1x)2x22x2x x nx n n1 2x 32xn1 n2xn2xn1n1nn2x2x x11xn1 n1, 1n1 nxn2xn1xn132xn1 5xn由正项级数的比值判别法得：级数xn1xn绝对收敛，n1limxn收敛，以下同方法一。n方法三（级数收敛的必要条件）2(1xn1)2xn2xn12 2xn2xn322222(1xn1)xn2 2xnxn22222xn1xn由正项级数的比值判别法得：级数2绝对收敛xn2n1limxn20即limx2nxn2nnn1例61.设f CcosxC...cos1 x，求证：122n nnnnn1（1）对于任意自然数n，方程f x 在0, 内仅有一解；n2210, 满足f x ，则limx 。n 2nn2n2n（1）fx11osx,fx在2上连续，n nnf01,f0根据介值定理得x0, 使得fx1。n n 2n 2n2fxnsinnx 得f x在0, '2n2n一。n111,nn nnlimfarccos11lim111111fxnnnne 2n n2n1fxfn n故N0当n>N时f arccos x在0, 上递减得nnn2又limarccos1lim nn2n2 2nfxnsinnx 得f x在0, '2n2n一。n111,nn nnlimfarccos11lim111111fxnnnne 2n n2n1fxfn n故N0当n>N时f arccos x在0, 上递减得nnn2又limarccos1lim nn2n2 2n2nnnFxx2n例62.设函数f(x)可导，且f(0)=0,F x t fx tdt，求limxnn。x001n解：令ux t则F x t fx t dtxnxfudun nn n001xnfudunfxnxn1Fx0limlimlim2nx2n1x0fxnfxnf0'0f11 lim limxnxn2n2n2nx0x011例63.求im nnnn1nn1ilimln 1lnxdx1n!1解：im nnimnni1 neee10nnnnnf(x)在(-L,L)x=0f'00；64.（101）求证：对于任意给定的0<x<L，使得xxf tt fttxfxfx；00（2）lim。x0xf tdt ftdt，则F(0)=0,F(x)在[0,x]上可微，由x定00得 FxF0F'xx,01中值理即xxf tt fttxfxfx00xxf tdt ftdtfxfx00（2）解：由（1）得2x2f00得上式的：x0f(0)fxfx120'f4xx0fxfx1210limlim'f2x0x0x0lnxex65.limxxf tdt ftdtfxfx00（2）解：由（1）得2x2f00得上式的：x0f(0)fxfx120'f4xx0fxfx1210limlim'f2x0x0x0lnxex65.lim4x2x2x1x1x11ex111411 13 lim 式x2xxx14131tttt1ttt2 3423limtt01tt2t3t41tt2t3112lim4 3 tt0266.f(x)exsinx2的值域。2解：要求f(x)exsinx2的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可.注意到函数2f(x)exsinx2为偶函数，故只需考虑x0的情况.为计算方便，令tx2，得到g(t)etsint，t0，显然，g(t)与f(x)有相同的值域.g(t)etsintetcostet(costsint)求g(t)的驻点：k(k0,1,2,，其对应的函数值为k4(k)4(k)42sin( k)(1)k eg(t)ek424；22显然，当k2m(m0,1,2,g(t2m0g(t0e5222当k2m1(m0,1,2,时，g(t2m0g(t1e .452于是得到函数g(t)的值域，亦即函数f(x)的值域为：( e ,e4）.42267.fxCa,bxa,bya,b使得fy1fx，证明：至少xfx0。200证明：假设xa,b有fx0，则fx0或fx0仅取其一。不妨设fx0,xa,b，由f(x)在a,b上连续得f0infx0，由题意得a,b使得f(x)有最小值，证明：假设xa,b有fx0，则fx0或fx0仅取其一。不妨设fx0,xa,b，由f(x)在a,b上连续得f0infx0，由题意得a,b使得f(x)有最小值，记f1ffxfxfx是最小值。20001.3.练习题nx2x1.求lim1 。2n2nn1 1212...n ...。333nnnnxn。2n2n22b1nlim1nlimn2。ax0。n1cosx6.求limx0。2x1axn7.设a0,x10，定义xn1 3xnlimx。n34ln(1t)dtn2sinx0x0x0,8.f(x)，在x0处连续，则a 2e2x22ex1a,x1 9. limxx2sinx1n2。n21n222...n210.计算lim= nn2fxfx1ln14，则lim11.已知lim211cosxx3xx0x012.yfx在点(10y轴上的截距为1,nnx22213.若当xx1 9. limxx2sinx1n2。n21n222...n210.计算lim= nn2fxfx1ln14，则lim11.已知lim211cosxx3xx0x012.yfx在点(10y轴上的截距为1,nnx22213.若当x0时，F(x) (xt)f(t)dt的导数与x为等价无穷小，求f(0)。0xfxlimsintsintsinx，求limfx14.设sinxtxx01e3xsinx15.求lim3x01xxaa16.求极限lim1 2 n,ai0,i1,2,...。nx01nfan17.f(x)afa0，试求lim。fan18.求极限im1[ 12 22(n)(n)2]。n2n2n2n3n2，则a 。19.若limn12x)c1ex)x0a,10在区间(,)上连续，则a .x020.f(1f(x)tanx13，则limf(x) 。21.已知lime 12xx0x0sin sin2 n nsin...22.计算limnn1n2n1 nn12n2n2n2n...23.求极限lim1n1n1nnn224.第二章微分学2.1.基本概念与内容提要fx0x1.fxx0x2.平面曲线的切线和法线方程3.一元求导法则xxt（1）.参数方程的导数：所确定的函数的一阶、数分别是：yyty、txtytyt12n2n2n2n...23.求极限lim1n1n1nnn224.第二章微分学2.1.基本概念与内容提要fx0x1.fxx0x2.平面曲线的切线和法线方程3.一元求导法则xxt（1）.参数方程的导数：所确定的函数的一阶、数分别是：yyty、txtytytxtxt3dyd2y,x xtx2（2）.xdyF时y、别忘了；②公式法：由Fx,y0得 x③利用微分形式不变性，对方dxFydy程两边同时取微分，然后解出 。dx、1 d2x 1y"dx1dydxdx（3）.反函数求导： dy 3,y2y dy ydyx3y"2yy、d3x y、dxdy"y35dyyxvnnCkunkvk。nk0展开成幂级数（两种方法、两种类型）之后直接求导。 n之和再将有理真分式写成部分分式之和最后仿x 的表m写出给定的有理函数和差与倍角公式把函数的次数逐次降低，最后变成sinkxcoskx之和或之差的形式，n再用公式sin kxksinkxn,nn2cos kxkcoskxnn，n2n几个常见高阶导数公式：sin kxvnnCkunkvk。nk0展开成幂级数（两种方法、两种类型）之后直接求导。 n之和再将有理真分式写成部分分式之和最后仿x 的表m写出给定的有理函数和差与倍角公式把函数的次数逐次降低，最后变成sinkxcoskx之和或之差的形式，n再用公式sin kxksinkxn,nn2cos kxkcoskxnn，n2n几个常见高阶导数公式：sin kxksinkxn,n2、n!n1snxknosn1lnk1!nnx n! nk! kk0knnkn1kn,xnxx4.必须掌握的三种常见变限函数求导是：hx⑴yf tdt,则yfhxh xf、'gxg x；gx⑵y fxgtdt，则yf x gtdt，xx00y、f x gtdtfxgx；x0y fxtdt，方法是变量代换，令uxt则tudt1du，x0xxfuduy0 ,yx；x2②y fxtdtx，方法也是变量代换，令uxt,则0txudtduy fuduy、fxx05.利用导数函数单调性：导函数大于0原函数递增，导函数小于0原函数递减。6.极值的判别方法（1）fxx=0f(x)（例.f(x)x=0的某邻域内连续，且lim）x01cosxBf00A．不可导C．取得极大值D．取得极小值fxcosx0性得：xU0,0，性得f(0)=0，又由极限的解：由极限的fx0f0，f(0)是极小值。（2）利用导数 单调性后得出极值点：导函数在极值点的左右符号不同f'x0,f"x0若 0fxx=0f(x)（例.f(x)x=0的某邻域内连续，且lim）x01cosxBf00A．不可导C．取得极大值D．取得极小值fxcosx0性得：xU0,0，性得f(0)=0，又由极限的解：由极限的fx0f0，f(0)是极小值。（2）利用导数 单调性后得出极值点：导函数在极值点的左右符号不同f'x0,f"x0若 0则fx为"f x（3）极小值；若0000fx0则fx为极大值007.函数的最值：闭区间内最值可能出现在极值点、断点8.函数图象的凹凸性与数改变符号的点）即为拐点。fxxfx0fx0的点；极fxfx改变符号的点。6.多元函数微分学及应用zdyudz具有形式不变性。xyxyzfx,yz、、偏导数的几何意义：f x,y 和f x,y 曲线x 00y 00y0。全微分的近似计算：zdzfx(xy)xfy(xy)yv多元复合函数的求导法：zf[u(tv(t)]dt ut vtzzf[u(x,y),v(x,y)]x ux vx当uu(xy)，vv(xy)时，duudxudyvdyxyxy隐函数的求导公式：2dyFF隐函数F(xy0，xF ydx2dxFdxyyy(xyz0zFx，zFyx y FuGuFvGvF(x,y,u,v)0(F,G)GGJG(x,y,u,v)0(u,v)uvu1(F,G)v 1(F,G)u1(F,G)v 1(F,G), x J J y J (u,y)(u,x),y,x J (x,v)(y,v)7.多元函数微分学在几何上的应用：x(t)xx0yy0zz0，FuGuFvGvF(x,y,u,v)0(F,G)GGJG(x,y,u,v)0(u,v)uvu1(F,G)v 1(F,G)u1(F,G)v 1(F,G), x J J y J (u,y)(u,x),y,x J (x,v)(y,v)7.多元函数微分学在几何上的应用：x(t)xx0yy0zz0，1).空间曲线y(t在点M(x处的切线方程： ,y,z)0 0 0(t0) (t0) (t)z(t)0曲线在点M处的切向量为T(t0，(t0，(t0，同时也是法平面的法向量，在点M处的法平面方程：(t0)(xx0(t0yy0(t0)(zz0)02).空间曲线y=yx,zzx在点x，y，z,z'x0 0 000yy0zz2法平面方程为'xyyz'xzz0y'x z'x0002100F(x,y,z)0过该曲线的曲面束方程为F(x,yzG(x,yz)0G(x,y,z)0FyFy量TF,F,