七年级数学思维探究(6)一元一次方程(含答案)

秦九韶（1202-1261）,字道古，南宋时期著名数学家，《数学九章》是他的代表著作，他对“大衍求一术”（整数论中的一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）的研究，取得卓越的成果，前者被称为“中国剩余定理”，后者被称为“秦九韶程序”•美国科学史家萨顿说：“秦九韶是他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一.”一元一次方程解读课标方程是刻画现实世界的有效数学模型•一元一次方程是方程中最简单、最基础的部分，是后续学习高次方程的基础•其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论.去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1得方程的解，这是解一元一次方程的一般步骤•在解一元一次方程时，既要能按部就班（严格按步骤）解方程，又要能随机应变（打乱步骤）解方程.代解是处理方程的解的基本方法•当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化为ax=b的形式•方程的解由a、b的取值范围确定，具体情形如下：b1.当a=0时，原方程有唯一解x=—；a2•当a=0且b=0时，原方程有无数个解；3•当a=0且b=0时，原方程无解.问题解决例1若以x为未知数的方程3x—2a=0与2x+3a—13=0的解相同，贝Ua=.试一试由解相同”建立关于a的方程.例2若k为整数，则使得方程k-1999x=2001-2000x的解也是整数的k值有（）•A•4个B•8个C•12个D•16个试一试把x用含k的式子表示，结合整除的知识确定k值的个数.(1)例3解下列方程.(1)4_47167；(2)0.3x0.80.02x0.30.8x—0.41(2)0.3x0.80.02x0.30.8x—0.41二0.5111122220.3x—3-3-3一3=0

丿」J试一试解方程的目的是通过变形把方程化为程•仔细观察方程的特点，灵活运用相关知识,例4（1）解下列关于x的方程：(3)xa的形式，既可严格按步骤解方程，又可随机应变解方简化解方程的过程.①4xb=ax「8；TOC\o"1-5"\h\z*①4xb=ax「8；a4②mx-1二nx③mx-nx2m34（2）a为何值时，方程-a—1x-12有无数多个解？无解？326试一试对于（1）,把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论；对于（2）,化简原方程，利用方程ax=b各种解的情形所应满足的条件建立a的关系式.例5（1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是•日一二三四五六12345厂、678910111213八+14i'1516171819；120212223242526；*v/27282930TOC\o"1-5"\h\z（2）现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数（如图）.①图中框出的这16个数的和是；如图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数如图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项，如:②在右图中，要使一个正方形框出的明理由，16个数之和分别等于2000,2004，是否可能？若不可能，试说若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数.②在右图中，要使一个正方形框出的明理由，1234567厂-'1891011112131141516■171819201|21122231241252627:28293031323334135136373839404142199619971998199920002001200220032004引入未知数，建立关于这个未知数的一元一次方程，将问题转化为讨论方程是试一试对于（2）中②，引入未知数，建立关于这个未知数的一元一次方程，将问题转化为讨论方程是否存在正整数解.丢番图的墓志铭例6丢番图，古希腊数学家，大约生活在公元3世纪，被誉为代数学的鼻祖”他死后，其墓志铭很特别，碑文是这样的：过路的人！这儿埋葬着丢番图.请计算下列数目，便可知他一生度过了多少个寒暑，他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年，再过七分之一的生命旅程，他建立了幸福的家庭，五年后儿子出生，不幸儿子竞先于父亲四年而终，年龄不过父亲享年的一半，晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年，请你算一算，丢番图活到乡少岁才和死神见面？解法一代数解法设丢番图活了x岁，由题意得1111xxx5x4=x,61272解得x=84.丢番图的年龄x是6和12的倍数，也是7和2的倍数（因为年龄总丢番图的年龄x是6和12的倍数，也是7和2的倍数（因为年龄总7、2的公倍数，而6、12、7、2的公倍数，即是12与7的公倍数.我因为12与7互质，所以它们的最小公倍数应为127=84，其他大于1842=168，而168的-是28,28岁就不再是童年，所以也不合题684岁.84的公倍数是不合乎常理的，如意，其他更大的公倍数就更不可能了，故丢番图的年龄为数学冲浪方程”在《九章算术》算筹方程方程”二字最早见于我国《九章算术》这部数学经典著作中，该书的第八章名中的算筹都是竖排的，为了看图方便，我们把它改为横排.方程”在《九章算术》表示方程x4y=23,表示方程3x2y=19,表示方程表示方程2.（1）对于任意有理数a、b规定了一种运算=ad_bc，女口01':-2那么当23—x-4=25时,(2)当a，b时，方程ax+1=x_b有唯一解；当ab时，方程ax=x_b无解；当a，b时，方程ax+1=x_b有无穷多个解.3.已知关于x的方程9x—3=kx14有整数解，那么满足条件的所有整数k二4.已知关于x的方程4x2^^3x1与方程3x2^6x-1的解相同，则方程的解为5.已知关于x的方程mx•3=2x-m的解满足x-2-3=0，则m的值为（）A.~5B.16.若关于x的-元2A.-B.177.已知关于A.正数B.C.5或-1D.-5或12x-kx-3k次万程1的解是X--1，则k的值是()32C.上11x的方程3m8nx^0无解，则非正数C.负数D.非负数mn是()&关于x的方程ax=4x1的解为正整数，则a的值为（）A.2B.3C.1或2D.2或39.解下列关于x的方程(1)24x--丄=-xH_3324(3)ax-1=bx(4)4x亠b=4x—8-0-1x-0-1=30.05.已知关于x的方程x*=?x-1x-6，问当a取何值时（1）方程无解；326（2）方程有无穷多解.a■xbx-3.已知关于X的万程——-的解是x=2，其中a=0且b=0，求代数式23思维方法天地i_-一的值.a1+1+1i+1_200312.如果2612nn12004，那么13•如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为.3abc-1214.已知x=-1,3ax5-2bx3cx2-2=10，其中a:b:c=2:3:6，那么a3c22xxx15.若a-1ab-20，则方程aba1b1a2b2x2002a2001b2001的解是()A.2001B.2002C.2003D.200416•下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29cm的木条上钻有径均为2.5cm•两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为6个圆孔，每个圆孔的直xcm，贝Ux为()YAX。CxOxOxOxOx■29cm2.5cmC.2.33D.2.3617.若方程m2•mx2=6xm15无解，则m=()-2C.2D.396人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的6人.问乙队原有多少人？1至2010按图中的方式排列：A.；B.甲队原有整数)倍还多将自然数k(k是不等于1的正1234561n789I1011121314151611711819120212223■_24252627“卓*V*♦-■***200220032004200520062007200820092010如图，用一个长方形框出应用探究乐园9个数(3行3列)，已知这9个数的和为17991，求这9个数中最小的数.20.解方程(1)x-22006+2007xx22008一6；13+——2——5%.76x21.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:第1个第2个第3个第4个第5个图形有多少颗黑色棋子？第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由.

6.—兀一次方程问题解决例132001为整数，又2001=132329,k2001为整数，又2001=132329,k1可取_1,_3,23,_29,_323,_329,x=k1-2329，_2001共16个值，相应的k值也有16个.f3)(1)视x-7为整体，先去括号得运用分数性质将小数化为整数，得先去括号得X=90.b8(1)①x=a—4x=0；(2)(3)②当m=n时，方程有唯一解当m二n时，原方程无解;4mn6mx=4mn6mx=4m—3n—*1234567*9时,③原方程化为4m—3x=4mn6m，当m=时，原方程有唯一解43原方程有无数个解；当m=-，n=--时，原方程无解.2(2)原方程化为0x=6a-12当6a-120，即a=2时，原方程有无数个解；当6a-12=0，即a=2时，原方程无解.例5(1)a-7,a,a7.(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44，如31与13,11与33,17与27都是成中心对称的，于是易算出这16个数之和为448352.②设框出的16个数中最小的一个数为a，则这16个数组成的正方形方框如下图所示.因为方框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a-24，所以这16个数之和为82a2416a192.当16a-192=2000时，a=113.当16a-192=2004时，a=113.25.a为自然数，.a=113.25不合题意.即框出的16个数之和不可能等于2004.由长方形阵列的排法可知，a只可能在1,2,3,4列，即a被7除的余数只可能是1,2,3,4.因为113=1671，所以，这16个数之和等于2000是可能的，这时，方框中最小的数是113，最大的数是113-24=137.aa比a+2a+3a+7a+8a十9a比0a比4a+15a+16a+17(2)6(2)61112.13.200314.3可推得a1112.13.200314.3可推得a二64设a=2kb=3kb=2，填入整数后的排列是-1,2,3,-1,2…15.16.17.3CACc=6k.得k=2(2)1当a=b时，方程有唯一解;当a=b时，方程无解；a_bb8当a=4时，方程有唯一解&D12;当a=4且b二―8时，方程有无数个解；当a=4且b&D12a-4方程无解..原方程化为1-a「x=21-aj当a=-1时，方程无解；当a=1时，方程有无数个解..k，x=21