2017年小学奥数数论专题-整除

…_…____：号考____………○…………线…………○…………订……_ …：级班___：名姓____…○…………装………: …校学○…………内…………○…2017年小学奥数数论专题——整除…………线 学校: 姓名班级考号 …… 注意事项．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息…请将答案正确填写在答题卡上…○…评卷人得分评卷人得分… 一、计算题（题型注释）…订… 1、一个六位数 ，如果满足 ，则称 为迎春”(如…… ，则 就是迎春”).请你求出所“迎春的总.…○…………2、已知： ．则 ？装…………○评卷人得分评卷人得分…二、解答题（题型注释）……外3我在其中的方框内中先后填入3个数字，…… 33个数字的… ?…○……… 114页……4、如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少?……○○……51993□□□整除，那么它的最后三位线线数字依次是多少?……60，1，2，3，4，5，6，7，8，9105个不同的数字组成一个五3，5，7，13?7、修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少?811□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被1719?○…………订…………○…………装…………○※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※○…………订…………○…………装…………○…………955…5□99…9(5920个)7整除，那么中间方格内……的数字是多少?…内…外……○○…………试卷第2页，共14页……………_…____：号考____………○…………线…………○…………订……_ …：级班___：名姓____校…○…………装……………… 10168?○…………线 11、将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到…某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？………○……… 12、1～9九个数字按下图所示的次序排成一个圆圈，请在某两个数之间剪开，分别按… 订396整除，那么应在何处剪开？…………○…………装………_…_…○学○……外内……○○……13、199(l7之间剪开，得到两个数是193426857758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那?试卷第3页，共14页…1415115号同学写了一个自然数，……2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位○○同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学…………说得不对，其余同学都对．问：……(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?……(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．线…线…1520120号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位○………※※题※※○………同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学…答※…说得不对，其余同学都对．问：订…※内※订…(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?…※线…(2)如果告诉你，1号写的数是七位数，请求出这个数．16、找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整……○…………装…※※订※※装※※在※※要※※不……○…………装…除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少?………○※※请※※………○………………17、试求6个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．…内…外……○○…………试卷第4页，共14页……………_…____：号考____………○…………线…………○…………订……_ …：级班__…○……_…：名姓____…装………: …校学○…………内…………○… 18…………线……… 1、975×935×9724个数字都是，那么在方框内最小应填… 什么数？○…………订 20、如图，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4…4332…… 21…○…………装…………○21、已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？…………外…… 22、六位数 能被99整除， 是多少？……○……… 514…○…………线…………○…………订…………○…………装…………○…………内…………○…………※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※………23、六位数20□□08能被49整除中的数是多少？ ○…………线…24、在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数.⑴请随便填…出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？ ……○…………25已知九位数 既是9的倍数又是11的倍数那么这个九位数是多少？订…………○26、一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这…笔帐的总数烧去两个数帐本是这样的72本笔记本共□ 元(为被烧掉的数， ……请把处数字补上，并求笔记本的单. …装…………○…27、由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多…少？ ……外…28、各位数码是01或2，且能被225整除的最小自然数是多少？ ………○……试卷第6页，共14页 ………_…____：号考____………○…………线…………○…………订……_ …：级班___：名姓____校…○…………装……………… 29312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了…几棵树？………线… 30、某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每…… 1073棵，那么平均每人种了棵树？…○………… 31865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被345订个数值尽可能的小。…………○…… 32523后面写出三个数字，使所得的六位数被89整除．那么这三个数字的和… ?…装………_…_…○学○……外内……○○……33、要使 能被36整除，而且所得的商最小，那么 分别是多少？34、请求出最大的七位数，使得它能被、、711、13这个七位数是多少？试卷第7页，共14页…35910个连续自然数的和，…○…○也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？……线线……36、是一个三位它的百位数字是4， 能被7整除， 能被9整除，问是…………多少？……37、有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表○…………订…※※题※※答※※内※○…………订…57001000之间，所有满足上述要求的数，并简…※线…述理由.384，5，6，7，8，966766667的结果是多少？39“……○…………装…………○※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※……○…………装…………○就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是……4876，那么这个十全数是多少？………………内外………………40、从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？……○○…………试卷第8页，共14页……………_…____：号考____………○…………线…………○…………订……_ …：级班___：名姓____…○…………装………: …校学○…………内…………○… 41、113434011个数的平均数是多少？…………线 42、把若干个自然数1、3……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好…都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？………○……… 43119911991111报数，报… 11111订数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到…… 11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编… 号是多少？…○…………装 44、在12、、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a… 整除。………○… 4514285711整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位… 11.……外……… 46、以多位数 为例，说明被71113整除的规.…○……… 914页…47、已知两个三位数能被37整除．

………与 的和 能被37整除，试说明：六位数 也 …○………48、如果能被48、如果能被6整除，那么 也能被6整49、若，试问能否被8整除?请说明理由．． …………○…………订……○…………线………………○…………线…………○…………订…………○…………装…………○…………内…………○…………※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※○…………51、若四位数 能被15整除，则代表的数字是多少？ 装…………○52、为了打开银箱，需要先输入密码，密码7个数字组成，它们不是2就是3．在 ……密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除．试问密码是 多少？ 外…………○……试卷第10页，共14页 ………_…____：号考____………○…………线…………○…………订……_ …：级班___：名姓____校…○…………装……………… 53、为了打开银箱，需要先输入密码，密码由723．在密2334所整除．试求出这个密码．…………线… 54、一个19位数 能被13整除，求О内的数字．………○…… 55的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数…… 7整除？订…………○… 56、多位数 ，能被11整除，最小值为多少？………装……57、 能被11整除，那么，的最小值为多少？…_…_…学 ○……外内58和2008次成为：………….如果此数能被91整除，那么这个三位数 是多少？…………○○………………试卷第11页，共14页……………59、试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那…○…○么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)……线线60、试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新……数与原数的差一定能被9整除.………………61、试说明一个5位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数(如：12367为原序数，○…………※※题※※答※○…………那么它对应的反序数为76321，它们的差 是99的倍数．)62、199个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，(17之间剪开，得到两个数是订…………○……※内※※线※※订※※装※※订…………○……和 )．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 整除，么剪开处左右两个数字的乘积是多?……装…………○…………在※※要※※不※※请※※……装…………○…………内外……63、一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的……和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的……和到底是多少?…○…○…………试卷第12页，共14页……………_…____：号考____………○…………线…………○…………订……_ …：级班___：名姓____…○…………装……………… 644位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的44位数的千44位数的和是以… 5个数的一个：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.4位数的和到底…… ?…线………… 6550001113.○…………订 66、用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位?…………○6712008200857中两个数的倍数的数共有多少个？…………装… 6815115号同学写了一个自然数，……校…○学…校…○学○……外内……○○……自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．试卷第13页，共14页………………○…………线…………○…………订…………○…………装…………○…………内…………○…………※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※……69、某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是他们的电话号码依次 是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些 ○…电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，…问：这一家的电话号码是什么数？ ……线………70、有一个九位数 的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数 可被2 ○整除三位数 可被3整除四位数 可被4整除…依此类推九位数 ……可被9整除．请问这个九位数 是多少？ ……订…………○…………装…………○…………外…………○……试卷第14页，共14页 ……参考答案1、9999992、2040、19、905、3206、941857、38、539、610、76876811、3612、5,713、27,8,12,48,35,9.14、(1)8、9 (2)6006015、（1）16、17（2）684684016、717、27720，55440，83160，110880，138600及166320．、55、20、1021、1、71、05、1225、20073121226、5.1127、87541328、122220029、630、2931、86502032、17或833、a=0,b=1,c=534、7402395、495、43937、750,810,870,930,96038、143439、4876391520、14、4542、22443、133144、7、略、略、略、略、能、4、5、1112112、222223254、655、2或9、3、5、46、略、略、略62、27,8,12,48,35,963、986764、969665、1866、1988,1889,8918,881967、22868、6006069、38808970、381654729【解析】1、方法一：显然，不小于4，原等式变形为化简得 当 时，，于是为同理． ，6，7，8，9，可以得到 为 ，，，，.所有的和是 ．方法二：显然，

不小于4，若

，为 末尾数字，所以 ；为 的末2位，所以 ；为 的末3位，所以 为 的末4位，所以 ；为于是

的末5位，所以 ；．同理．.

，6，7，8，9，可以得到 为 ， ， ， ，所有的和是 ．2、由于1～23中有4个5的倍数，所以 的末尾有4个0，所以 ．由于 ( 去掉末尾的4个0后得到的数是8的倍数，那么 是8的倍数，所以 易知

是9和11的倍数，所以是9的倍数；是11的倍数，那么 或15， 或 ．若 由于 与不合题意所以 ，

(或 )奇偶性相同所以此时得 ， 所以

得 ，．3、方法一：利用整除特征9，11，6整除的数的特征：99能被1111前隔开，将新组成的两个数作差，将是11的倍数；630，2，4，6，8的其中之一．1+7+3＝11，当7时，1735189□79的倍数；173□7+□1+3＝411+4－7＝8奇数位数字和与偶数位数字和的差为1111的倍数；1+7+3＝11，当1，4，7346的倍数．所以，这三种情况下填入□内的数字的和为7+8+4＝19．方法二：采用试除法用1730试除，1730÷9＝192……2，1730÷11＝157……3，1730÷6＝288……2．所以依次添上(9－2＝)7、(11－3＝)8、(6－2＝)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，这三种情况下填入□内的数字的和为7+8+4＝19．4、因为105＝3×7×5，所以当这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．而能被7整数的数，将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是7的倍数；能被5整数的数，其末位只能是0或5．方法一：利用整除特征①．如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+□+0＝21+□，要求数字和是3□可以为－199＝91917199290790．②．如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征．所以，题中数的末两位只能是90．方法二：采用试除法用199200试除，199200÷105＝1897……15，余15可以看成不足(105－15＝)90，所以补上90，即在末两位的方格内填入90即可．5、方法一：利用整除特征50520．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80．又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，有 ，， ， 24+A，26+B，28+C，30+D，对应的A、B、C、D只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．8的倍数，再验证只有19933207数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被23×32×5×7＝8×9×5×7＝2520整除．用1993000试除，1993000÷2520＝790……2200，余2200可以看成不足2520－2200＝320，所以在末三位的方格内填入320即可．6、因为100000136599645(100000÷1365＝73……351000035996459964－136＝98289828136969196915－1365＝95550，95550－1365＝94185．所以，满足题意的5位数最大为94185．7、方法一：采用试除法823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823＝38……469，于是31743823469354354+823n也是满足题意的改动．有n＝1时，354+823＝1177，n＝2时，354+823×2＝2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．方法二：视作数字谜假设改动数位不是首位与末位，那么我们考虑3□□□3除以823的商：30003÷823＝36……375；39993÷823＝48……489．37～48823313137～4841．有823×41＝33743．所以改动31743的千位为3即可．8、方法一：采用试除法如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323＝340……191，余191也可以看成不足(323－191＝)132．132+323n100110011323的倍数．所以有323n的末位只能是10－2＝8，所以n只能是6，16，26，…验证有n＝1653115311意．方法二：视为数字谜因为[17，19]＝323，所以有：注意，第3行的个位数字为1，于是乘数的个位数字只能为7，所以第3行为323×7＝2261；于是有 ，所以第4行的末位(10+)1－6＝5，所以乘数的十位数只能为5，于是第4行为323×5＝1615；于是有 ，所以第5行(110011－16150－2261＝)91600～(119911－16150－2261＝)101500之间，又是323×100的倍数，所以只能为32300×3＝96900；于是最终有 ．所以题中的方框内应填入5，3这两个数字．9、我们知道 这样的六位数一定能整除、11、下面就可用这个性质来试着求解：由上知有 ＝

的末6位数 必定整除7；×1000000+999999；于是只用考察：×1000000，又因为1000000，7互质，所以1000000对整除7没有影响，所以要求 一定是7的倍数注意到，实际上我们已经将末尾的6个9除去；56我们只用计算55□99当“□”取何值时能被7整除，有□为6时满足．

55□99．评注：对于含有类似 的多位数，考察其整除7、11、13情况时，可以将 一组一组的除去，直接考察剩下的数．10、因为168＝23×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数．在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由上题知 形式的数一定是71113的倍数，所以768768定是7的倍数，□□□688□不管怎么填都得不到7的倍数．333定的条件下，不管怎么填数字和都是定值，必须满足，不然本题无解．当然验证的确满足．所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数了．11、884)9的倍数．有456，312，516，920，324，728，132，536…均是4的倍数，但是只有456，920，728，536是8的倍数．验证这些数对应的自然数的数字和：456对应123456，数字和为21，920对应123…91011…1920，数字和为102，728对应123…91011…192021…28，数字和为154，536对应123…91011…192021…293031…36，数字和为207，536123…91011…192021…293031…3689的倍数．所以，满足题意的自然数为36．12、在解这道题之前我们先看一个规律：(4395699那么互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．396＝99×4，所以我们只用考察它能否能被44数的奇偶性相同时才有可能．(3，8)(8，1)(1，6)处、(9，4)(2，9)(2，5)(7，3(4处剪开的末两位数字之差为4的倍数，不满足．(5，7)37-25=124的倍数，处剪开则有末两位数字之差为83-57=264的倍数，不满足．所以只、7处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数．13、在解这道题之前我们先看一个规律：(4395699那么互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．396＝99×4，所以我们只用考察它能否能被44数的奇偶性相同时才有可能．满足．而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．处剪开的末两位数字之差为85－17＝68，91－57＝34，71－39＝32．所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(8，6)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数．处左右两个数的乘积为35，9．14、(1)列出这14个除数：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15．注意到如果这个数不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10…等整除，显然超过两个自然数；类似这种情况的还有3～6、9…；4～8、12…；5～10、15…；6～12…；而不能被7整除，那么一定不能被14整除，而这两个自然数不连续；12431123410(25)；14(27)；15(35)；89、11、89．所以说的不对的两位同学的编号为8、9这两个连续的自然数．(2)由(1)知，这个五位数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．所以[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]=22×3×5×7×11×13＝60060．所以1号写出的五位数为60060．15、(1)列出这19个除数：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20．2→→→4、6、8、10、12、14、16、18、20，所以一定能被2整除；3→→→6、9、12、15、18，所以一定能被3整除；4→→→8、12、16、20，所以一定能被4整除；5→→→10、15、20，所以一定能被5整除；6→→→12、18，所以一定能被6整除；7→→→14，但是7、14不连续，所以一定能被7整除；8→→→168整除；9→→→189整除；10→→→20，但是不连续，所以一定能被20整除；11，保留；12→→→不能被3或4整除，它们又不连续，所以一定能被12整除；13，保留；14→→→27整除，它们又不连续，所以一定能被14整除；15→→→35整除，它们又不连续，所以一定能被15整除；18→→→不能被2或9整除，它们又不连续，所以一定能被18整除；19，保留；20→→→不能被4或5整除，它们又不连续，所以一定能被20整除．其中，保留的数有11，13，16，17，19，但是只有16、17两个数连续，所以说得不对的两个同学的编号为16、17．(2)由(1)知，这个七位数能被2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20整除．如下所示：所以[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,18,19,20]=23×32×5×7×11×13×19＝6846840．所以1号写出的七位数为6846840．16、我们设这四个数中最小的一个数为4则先尽量让a最小．当＝1设4个数中另外三个数中某个数为有 必须为整数而 ＝1+ 则2能(b－1)整除，显(b－1)只能为2或1，对应b只能是3或2，但是题中要求a至少能与三个数存在差能被和整除的关系，所以不满足．当2设4个数中另外三个数中某个数为有 必须为整数而 ＝1+ 则4能(c－2)整除，(c－2)可以为、、1，对应c可以为64或3．32是满足条件的数组，它们的中间两个数的和为4+3＝7的和．17、取六个数1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到15个和：1+2，1+3，…，5+6．这15个和的最小公倍数是：23×32×5×7×11＝27720．把它依次乘所取的六个数得：27720，55440，83160，110880，138600及166320．这六个数就满足题目得要求．18、0132，135．连续的自然数中2的倍数的个数远大于55有：13×5＝651～65中，25、5025．(13－2)×5＝551×2×3×…055．519515；在10至19中，有10、15，出现2次因数5；202920、25=5×5，5235；3039、4049251+2+3+2+2=105因子．505950、55、50=2×5×5535因子．551352130．19、975含有2个质因数5935含有1个质因数972含有2个质因数2975×935×972×□的乘积最后4个数都是0．那么，至少需要4个质因数5，4个质因数2．所以，□至少含有1个质因数5，2个质因数2，即最小为5×2×2＝20．20、如下图，我们在图中标出每个数含有质因数2、5的个数，除第一行外，每个数都是上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数2、5的个数也都是上一行左、右上方两数含有质因数2、5个数的和．所以，最后一行的一个数含有10个质因数2，15个质因数5．而一个数末尾含有连续0的个数决定于质因数2、5个数的最小值，所以最后一行的一个数末尾含有10个连续的0．21、本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。22、方法一200008被99除商2020余28所以 能被99整除商72时， ，末两位是28，所以方法二： ，

能被99整除，所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数字的和只能为8或又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或可得 是71.23、详解类似上题，从略。填入0524、一个数是9的倍数那么它的数字和就应该是9的倍数即4 □ 3 2 □是9的倍数，而4 3 2 9,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入36，因为4 3 3 2 6 189433269的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,和（9,9），12种不同的填法．25、设原数 ，∵ 或者 ，∵( ) 或者( )或者 根据两数和差同奇偶，得： 或者不成.所以， .26、把□ □元作为整□ □分既然是72本笔记本的总线数，那就一定能被72整除，又因为

.所以□ □，

□ □. □ □，根据能被8整除的数的特征8通过计算个位□ 又□ 根据能被9整除的数的特征，(□显然前面应是3所以这笔帐笔记本的单价是： 元).27、根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11的倍数，我们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上的数和为b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0a-b=11a-b=22…ab的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是a-b22，所以a-b=0，解得a=b=14875413.28、被合数整除把225分解，分别考虑能被25和9整除特征。 ，所以要求分别25925009整除，所以所有数字的和是94个2和1个122220。29、因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解注意人数是减去1后是3的倍)： ， 不是3的倍数； ，不是3的倍数； ， 不是3的倍数； ， 不是3的倍数； ，51个学生，每个人种了6棵树.

是3的倍数；

， 3的倍数；共有30、因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把1073数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，数是37均每人种了29棵。

，注意到人数是减去1是3倍数，所以人31、方法一：设补上数字后的六位数是所以它应满足以下三个条件：

，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，第一：数字和第二：末两位数字组成的两位数第三：末位数字是0或5。

3的倍数；4由以上条件，且只能取0或5，又能被45，∴c0，因而b0，2，4，6，8中之一。又3| ，且（8+6+5）除以3余1，∴ 除以3余2。为满足题“数值尽可能”，只需取 ， 。∴要求的六位数是865020。方法二：利用试除法，由于要求最小数，用是被 整除， ，所以∴要求的六位数是865020。32、

进行试除分别被3、4、5整除，就能被 整除7、89的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除 ，所以所得六位数是 ，或是17或8．

．因此三个数字的和33、分解为互质的几个数的乘积， 分别考虑所以 能被4整,从而只可能是1，要使商最小， 应尽可能小先取 又 ，所以 是9的倍数所以 ， 时，取得最小.34、解法一：7×11×13＝1001，999×1001＝9999991001×abcd＝abcd000＋abcd，如果c9，那么b就会重复，所以c＝95的倍数，所以d＝5，要使最大，先假设a＝8时，b8，5，2都不符合要求，当a＝7时，b9，6，374023957×11×13＝10011001解法二:假设这个七位数是abcdefg，满足abcd－efg＝n00n，很容易得出c＝0，f＝9，be相1，如果g＝0，那么a＝d，所以g＝5。假设a＝8，那么e7，6，经检验都不符合要求。假设a＝7，那么d＝2，b和e4，3，经检验刚好可7402395.35、9个奇数为例子：我们可以令连续9个奇数为：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4则他们的和为9a，即为9的倍数。对于连续10个自然数，可以为a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5则它们的和为10a+5=5（2a+1），即是5的倍数且除以5后商是奇数。所以本题中要求的数是5，9，11的最小公倍数的倍数即495的倍数，最小值即495.36、能被7整除，说明

能被7整除；

能被9整除，说明能被9整除； 则 符合上述两个条.(因 ，则可以写成这样的形式：.

).又是一个百位数字是4的三位数，估算知，37、33整除；42整除，2所得的商是奇数，也就是说它不能被442；5个连续自然数的和，一定能够被5253030．3、5606030就可以满足条件．

，所以第一个符合题意的数是

，最大的一个数是 ，共计

个数，分别为750、810、870、930、960．38、本题考察对数字667的特殊认识，即667×3=2001。667组合320012001900400956478956478÷667=1434。39、这个十全数能被10整除，个位数字必为0；能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是设这个十全数为 由于它能被11整除所以奇位数上的数字和与偶位数上的数字之和的差能被11整除，即被11整除，可能是、 、 ．由于、、、四个数9

即 所以、是9和5；、是3和1，这个十全数只能是4876391520，4876351920，4876193520，48761539201317整除，经检验，只有4876391520件．、6070809010070658595和任意偶数相07520，505乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有 个0．41、因为 由于在11个连续的两位数中至多只能有2个数是7的倍数所以其中49的倍数，那就只能是4998．又因为乘积的末40，所以这连11451135的倍数，至多只能有125的倍数，所以其中有一个必须是2525501149505的倍数，40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中45．42、1到10的乘积里会出现 和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是022040220224．43、第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学他们最初编号都是 的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是44、本题考察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题目。要使得2008+a能被2007-a整除我们可以将条件等价的转化为只要让 是一个整数即可下面是一个比较的技巧，我们知道若a可以使得 是一个整数，那么a也同样可以使得2007-a4015的约数即可，将40158个因数，其中40152007-a4015的a7个均可以有对应的a的值，所以满足条件的a7个。45、因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整性质1要判断 能否被11整除只需判断能否被11整除，因此结论得到说明.46、因为根据整除性质和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被71113整除，再据整除性质1，要判断 能否被、11、13整除，只需判断能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.47、99937能被37整除，而37整除．

也能被37整除，所以其和也能被37整除，即 能被48、∵∴2|∴2|e∴6|3e∵3|∴3|a+b+c+d+e∴6|2(a+b+c+d+e)∴6|2(a+b+c+d+e)-3e∴6|2（a+b+c+d）-e49、由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即. ，有能被8整除，而 也能被8整除，所以 能被8整.50、考虑到 ，而 是奇数，所以 必为8的倍数，因此可得 ；四位数2752各位数字之和为9的倍数，其各位数字之和

不是3的倍数也不是9的倍数因能被9整除，所以 .

必须是51、因为15是3和5的倍数，所以 既能被3整除，也能被5整除．能被5整除的数的个位数字是0或5，能被3整除的数的各位数字的和是3的倍数．当 时，不是3的倍数当 时， 是3的倍数所以，代表的数字是552、密码由7位数字组成，如果有两个3的话，那么至少是 位数，与题意不符只有一个3的话，那么至少有两个2.如果有三个2，那么1至少有四个，总共至少有2有四个，如此，各数位数字和为3的倍数，所以密码中没有3，只有1212组成的四位数中211216整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是2112，所以前31112222222112211112112.53、23要多，所以24567个．当24172516261527个时，数字14．由于一个数能被3整除时，它的数字和也能被3整除，所以密码中2631个．另外，一个数能被4整除，那么它的末两位数也应当能被4322222232．54、∵13| ，∴13| ，∴13|7777770000000+∵13|777777，∴13|7777770000000，∴13|

，∴13|

444∵ ，∴0

2，∴设

=777055、由于 可被7整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性于是还剩“ 从中减去6303并除以10即“ ”7.322392729.56、奇数位数字之和为 ，偶数位数字之和为11，n3．

，这个多位数整除11，即57、中奇位数减偶位数的差为是11的倍数，所以的最小值是5.

当 时，58、因为 ，所以 也是7和13的倍数，因为能被7和13整除的点是末三位和前面数字的差是7和13的倍数，由此可知也是7和13的倍数，即 也是7和13的倍数，依次类推可知 末三位和前面数字的差即为：也是7和13的倍数，即 也是7和13的倍数，由此可知数字是： ，所

也是7和13的倍数，百位是5能被7和13即91整除的.59、设原序数为 ，则反序数为 ，则＋，因为等式的右边能被除

整除，所以 能被11整60、设原来的两位数为 ，则新的两位数为. － .因为 能被9整除，所以他们的差能被9整.61、设原序数为－

，则反序数为 ，则因为等式的右边能被