2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1直线l的方程为U3x+3y-1=0，则直线l的倾斜角为（）A.1500B.1200C.600D.300答案】A【解析】由直线l的方程为J3x+3y-1=0，可得直线的斜率为k二-〒，设直线的倾斜角为ae[0,兀）,则tan则tana=-=150。故选：A．【易错点】基础求解问题注意不要算错兀【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为a为-,即斜率k不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2已知三点AC,。）、BG,7）、C（—2,—9a）在一条直线上，求实数a的值.【答案】a=2或a=2【解析】k【解析】kAB=三,kcB7+9a5•・•A、B、C三点在一条直线上，・•・k=kABBC•・•A、B、C三点在一条直线上，・•・k=kABBC3-a59题型二直线方程例1经过点M（1,1）且在两坐标轴上截距相等的直线是（）.D.x+y=2或x=yA.x+y=2B.x+y=D.x+y=2或x=y【答案】D

xy【解析】若直线过原点，则直线为y=x符合题意，若直线不过原点设直线为一+上二1,mm代入点（1,1）解得m二2，直线方程整理得X+y-2二0，故选D.xy【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式一+上二1中要求m，n均非零。故做题时应考虑此情mn形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。题型三直线位置关系的判断例1直线l：3kx+（2-k）y-3=0和l:（k-2）x+（k+2）y-2=0互相垂直，则实数k的值是（）12A.-2或-1B.2或-1C.-2或1D.2或1【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到：3k*（k-2）+（2-k）*（k+2）=0化简为k2-3k+2=0nk=1或2故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k不存在）；其次垂直时应为：kk=—1（斜率均存在）或k，k中一为0，—不存在1212若用l:ax+by+c=0，l:mx+ny+1=0垂直的充要条件：am+bn=0，则避免上述问题12【思维点拨】直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解题型四对称与直线恒过定点问题例1点（2,4）关于直线2x+y—3=0的对称点的坐标为【答案】（-2,2）【解析】设对称点坐标为（x0,y0），则对称点与已知点连线的中点为y—4=1x=—2x=—2，解得｛0y=20x—22由题意可得｛0(x+2)y+42x0+0—3=022所以对称点坐标为(-2,2).【易错点】此题求点可以设点，利用对称(实则用中垂线)，建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点(中点坐标公式)即可【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。当点运动则轨迹(曲线)得到而已。点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性(垂直，平分)进行求解例2直线y=kx-3k+2(kgR)必过定点().A.(3,2)B.(—3,2)C.(-3,-2)D.(3,—2)【答案】A［解析】y=k(x—3)+2，当x二3时，y二2,直线过(3,2)定点，故选A.【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。即可求得题型五圆的方程例1若圆心在x轴上、半径为^5的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y二0相切，则圆O的方程是A.(x-富5)2+y2=5B.(x+厉2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5【答案】D【解析】设圆心O(a,0)(a<0)，则<5=巴，即IaI二5，解得a=-5，所以圆O的方程为12+22(x+5)2+y2=5.例2圆心在直线x-2y二0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2爲，贝y圆C的标准方程为.【答案】(x-2)2+(y-1)2二4

【解析】设圆心为(2b,b)，则圆的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以24b2-b2=273,b>0,解得b=1，所以圆C的标准方程为(x一2)2+(y一1)2二4.例3已知圆经过点A(2,—1),圆心在直线2x+y二0上且与直线Jx-y-1二0相切，求圆的方程.【答案】见解析【解析】设圆的方程为C—a》+(y—b》=r2(r>0).•.•圆心在直线y=一2x上，b=—2a，即圆心为(a,—2a).又圆与直线x-y-1=0相切，且过点(2,—1)，.__r，(2—a》+(—1+2a》=r2，即(3a—1》=2(2—a》+2(—1+2a》，J2解得a=1或a=9.a=1，b=—2，r=%2或a=9，b=—18，r=*338，故所求圆的方程为：(x一1)2+(y+2》=2，或(x一9》+(y+18)2=338.此题也可设出圆心所在直线方程l:x+y+1=0，联立l与l求圆心P，利用P到A的距离与到l距离相等2121求解t。则方程可求【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式(标准式与一般式，其适用范围，两者转化)充分熟悉。在解题时采用合适的方法(或代数法，或几何法)进行相关求解【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。变形解方程等求解；也可以采用几何法(勾股定理，相似等)进行求解题型六直线、圆的综合问题例1直线x+2y一5+=0被圆x2+y2—2x一4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4A.1B.2C.4D.4^6答案】C解析】圆心(1,2)圆心到直线的距离d=1+4-5+75所以最后弦长为2\心；5)2-12=4.例2已知点M(a,b)在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()

A.相切BA.相切B•相交C.相离D.不确定【答案】B（、【解析】因为M（a,b）在圆O：x2+y2二1外，所以a2+b2>1，而圆心O到直线ax+by二1的距离1d二<1，故直线与圆O相交.■v'a2+b2（1）例3直线l:y=kx+-与圆C:x2+y2二1的位置关系为（）I2丿A.相交或相切B.相交或相离C.相切D.相交【答案】D【解析】由于圆心（0,0），半径等于1，圆心到直线l:y二圆心到直线l:y二k[x+-丿的距离为d=\2丿k0-0+-2<-2+1I-2弋'-2+1故直线和圆相交，故选D.例4已知圆C:（x—2）2+（y—3）2—1，圆C:（x—3）2+（y—4）2—9,M,N分别是圆C,C上的动点,1212P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为A.5^2—4B.\；17-1C.6—2<2D.悩'17答案】D【解析】圆q,C的圆心分别为q,C，由题意知|PM|>|PCJ—1，\PN\>|PCJ—3，.・・|PM|+|PN|>|PCJ+[PC?|—4，故所求值为|PCJ+[PC?|—4的最小值.又C关于x轴对称的点为C6,-3）,13所以lPC]l+lPC2l—4的最小值为lC3CJ—4—5站2—4，故选A.【易错点】此题可以采用联立方程（a）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可以利用直线i恒过[0,2j，易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。直线（含参数）过定点特征应有I2丿所熟悉，高考中常有涉及【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离d与圆半径r大小确定。

圆C:（x-a）2+（y-b）2=r2,直线l:Ax+By+C二0，圆心C（a,b）到直线l的距离为d，则:1.d>厂，直线与圆相离。可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题2-d=厂，直线与圆相切。依此可求过圆C:x2+y2二r2上某点P（x°，yo）的切线方程：xox+=r2；一般地，过圆C:（x-a》+（y-讥=r2上某点P（xo,y°）的切线方程:(x—a)(-a)+(y-b)(-b)=r200（ABA23.d<r,直线与圆相交。此时常用勾股定理r2=d2+—（AB为相交弦）来求解相关问题.I2丿【巩固训练】题型一倾斜角与斜率1•经过A（-2,0）,B（-5,3）两点的直线的斜率是，倾斜角是.【答案】见解析【解析】经过A（-2,0），B（-5,3）两点的直线的斜率k=^）=-1，故倾斜角为135。.2•设点A（2,-3），B（-3,-2），直线l过点P（1,1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）3A.k3A.k>或k<-44【答案】AB.-4<k<-4D.以上都不对33【解析】求得k=-4,k=,结合图像知k的范围为k<-4或k>-PAPB443•直线l过点aG,2）,且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是（）A.0B.11C.一2A.0B.11C.一2D.2【答案】D解析】如图，kOAk的最大值为2.只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k题型二直线方程1•过点A（药,1）且倾斜角为12°。的直线方程为（A.y=A.y=-H3x-4b.y=-j3x+4【答案】B【解析】倾斜角为12厅的直线斜率为-爲.利用点斜式可得y-1整理2•直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4二0垂直，则l的方程是()A.3x+2y—1=0B.3x+2y+7—0C.2x—3y+5—0D.2x—3y+8—0【答案】A【解析】设l：3x+2y+1—0，代入(—1,2).得t——13.已知aG,2),B(3,1),贝y线段AB的垂直平分线的方程是().A.4x—2y+5—0B.4x—2y—5—0C.x+2y—5—0D.x-2y—5—0【答案】B313【解析】AB中点为M(2,),k——~.则中垂线斜率k=2•方程为y——2(x—2).化简得：2AB224x—2y—5—04•已知直线l过点6,2)，且在x轴截距是在y轴截距的2倍，则直线l的方程()A.x+2y—5—0B.x+2y+5—0C.2x—y—0或x+2y—5—0D.2x—y—0或x—2y+3—0【答案】C【解析】当直线过原点时，又过点6,2),所求直线方程为2x—y—0.2mm当直线不过原点时，由已知设直线方程为二+-—1，又过点6,2)2mm题型三直线位置关系的判断1.已知直线x—y—2—0与直线mx+y—0垂直，那么m的值是().A.—2B.A.—2B.—1C.D.2答案】C【解析】利用垂直的条件：m・1+1•(—1)—0，得m—1

2.若直线l:(m+3)x+4y+3m-5=0与直线l:2x+(m+5)y-8=0平行，则m的值为().12A.一B.-1或-7C.-6D.-73【答案】D【解析】Tlnl，•:(m+3)・(m+5)=2x4,1U2解得m=—1或—7，又当m=-1时，两条直线重合，故m=-7.+y=3和直线x+3.直线A.+y=3和直线x+3.直线A.垂直y=2的位置关系是()．B.相交不垂直C.平行D重合.答案】A【解析】：1+【解析】：1+(迂-朽)x1=0,・•・两条直线相互垂直.故选A.题型四对称与过定点1.直线2x-my+1-3m=0，当m变化时，所有直线都过定点()A.〔-2,3]B.1，A.〔-2,3]B.1，3C.D.〔-2,-3答案】D解得x=-2,y=-3,解得x=-2,y=-3,【解析】直线2x-my+1-3m=0，化为2x+1-m(y+3)=0，令｛y+3=0(1J当m变动时，所有直线都通过定点-2,-3，故选D.I2丿2.直线l:(m+n)x+(2m-n)y-m+2n=0，对任意m,ngR直线l恒过定点【答案】(-1,1)解析】(m+n)x+(2m-n)y-m+2n=0可化为：m(x+2y一1)+n(x-y+2)=0，若要让m,n“失去作用”，则｛x+去作用”，则｛x+2y一1=0x一y+2=0解得｛y=1即定点为(一1,1).3.已知直线l经过点P(6,4)，斜率为k若l的纵截距是横截距的两倍，求直线1的方程；若k=一1，一条光线从点M(6,0)出发，遇到直线1反射，反射光线遇到y轴再次反射回点M，求光线所经过的路程.【答案】(1)l:2x-3y=0或l:2x+y-16=0；(2)4辺7.【解析】(1)由题意得k丰0。直线l的方程为y-4=k(x-6)，即y=k(x-6)+4,4令x=0，得y=—6k+4令y=0，得x=——+6；k(4\2•・•l的纵截距是横截距的两倍•••-6k+4=2-丁+6解得k=三或k=-2Ik丿3・：直线l的方程为y=3(x一6)+4或y=-2(x-6)+4，即2x-3y=0或2x+y-16=0(2)当k=-1时，直线l的方程为x+y-10=0，设点M关于l的对称点为M(a,b),1则｛ba-则｛ba-6解得｛a=10b=4•点M］的坐标为(10,4),•M(10,4)关于y轴的对称点为M(-10,4)12•光线所经过的路程为M2M1=\：'(6+10匕+(0-4)2=4、丽题型五圆的方程1.圆与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.【答案】x2+y2-10x-9y+39=0.【解析】设圆的方程为6-a》+(y-b》=r2，则圆为C(a,b),由|C4|=|CB|,CA丄l,

Ca—3》+Cb—6》=Ca—5》+@—2》=r2得\b-64“x—=—1、a—33解得a=5，b二I，r2二吕，・••圆的方程为Cx一5》2.求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.答案】x2+y2+6x-2y-15=0.【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=°'5E+F+25_0因为点在圆上所以点的坐标是方程的解，把它们的坐标代入圆的方程得｛D-2E+F+5_03D+4E—F—25_0D_6，解这个方程得<E_-2，所求方程为x2+y2+6x-2y_15=0.F_-15,此题亦可先求两条中垂线，其交点为圆心，则半径可求，得到方程3•若RtAABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为（—3,0）和G,0）,贝y直角顶点C的轨迹方程为（）A．x2+y2_25（y丰0）B．x2+y2_25C.（x-2》+y2_25（y丰0）D.Cx-2》+y2_25【答案】C【解析】线段AB的中点为（2,0）,因为AABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点（2,0）的距离为—AB\_5，所以点C（x,y）满足jG—2》+y2_5（y丰0），即（x—2》+y2_25（y丰0）.^2求轨迹问题应注意变量的范围.题型六直线、圆的综合问题1.直线y_x+1与圆x2+y2_1的位置关系为（）A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离答案】B【解析】圆心（0,0）为到直线y_【解析】圆心（0,0）为到直线y_x+1，即x—y+1_0的距离d1<1，选B.2•已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8【答案】B【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2二2-a，则圆心C(-1,1)，半径r满足r=2-a，则圆心C到故a=一4直线x+y+2=0的距离d==2，所以r2=4+2=故a=一41+1若圆C:x2+y2=1与圆C:x2+y2—6x—8y+m=0外切，则m=（）12A．21B．19C．9D．-11【答案】B【解析】由题意得C（0,0）,C（3,4），r=1,r=J25-m，1212ICC1=r+r=1+\；'25-m=5，所以m=9.1212从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P