工程力学电子课件-第六章

第二篇材料力学第6章圆轴扭转任波机械工程系

§6.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形§6.2扭转与扭矩图§6.3切应力互等定理§6.4圆轴扭转时的切应力分析§6.5圆轴扭转时的强度与刚度计算§6.1扭转的概念与实例使得丝锥杆发生扭转变形。工程有中许多杆件承受扭转变形。例如，当钳工攻螺纹孔时，两手所加的外力偶作用在丝锥杆的上端，工件的反作用力偶作用在丝锥杆的下段端，Ø工程实例FFMe一受力特点：在杆件上作用有大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的力偶。二变形特点：横截面形状大小不变，杆件任意两个横截面发生绕轴线的相对转动，其角位移用φ表示，称为扭转角。变形：各横截面绕轴线作相对旋转扭转横截面间绕轴线的相对角位移扭转角外载荷：外力偶的作用面垂直于轴线扭力偶以扭转变形为主要变形形式的杆件——轴三基本概念M力偶矩N·mP功率kWn

转速r/min设角速度为

w(rad/s)一外力偶矩的计算已知：发电机的功率和转速§6.2扭矩与扭矩图P——功率HP(马力）n——转速r/min或二圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩如图所示等截面圆轴，已知外力偶矩Me，由截面法求横截面上的内力。将轴解开，分析左段的平衡问题，截面上必有内力矩—扭矩。Mn:扭矩

截面法计算Mn称为扭矩，单位为N·m，若取右段分析，求出的截面内力矩大小相等，但方向相反。Mn=MMnmmMMMMM

内力矩符号规定，采用右手螺旋法则：四指顺着扭矩的转向握住轴，如图所示。矢量方向与横截面的外法线方向一致时，扭矩为正，反之为负。一般情况下扭矩Mn是横截面的位置x的函数。即

当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。

扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagramoftorsionmoment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。三扭矩图

以垂直于x轴的轴表示扭矩，以与轴线平行的x轴表示横截面的位置，由Mn=Mn(x)绘出的曲线。2MMMMM-+112211MMn1Mn1+M=01-1截面：Mn1＝－MMn2Mn2－2M+M=02-2截面：Mn2＝MM2M22例题

圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。

试：画出圆轴的扭矩图。

解：1．确定控制面

外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。

2．应用截面法由平衡方程确定各段圆轴内的扭矩。3．建立Mn－x坐标系，画出扭矩图建立Mn－x坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，Mn轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mn－x坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。例1

如图6.6a所示，一传动系统的主轴ABC的转速，输入功率，输出功率，。试画出ABC轴的扭矩图。

解1.计算外力偶矩

同理可得

2.计算扭矩将轴分为AB,BC

两段计算扭矩。

由平衡条件可得

对于

BC段由平衡条件可得

3.画扭矩图根据以上结果，按比例绘扭矩图

最大力偶矩发生在AB段内，

AB

段6.3切应力互等定律

图a表示等厚度薄壁圆筒承受扭转。

圆周线和纵向画成方格。在外力偶矩作用下产生扭转变形,如图b所示。

变形规律：截面m-m和n-n发生相对转动，造成方格相对错动。

推论横截面上存在切应力（2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线相对旋转。横截面上不存在正应力因为圆筒很薄，可认为切应力沿厚度均匀分布，如图6.7所示。（1）abcdT

t沿壁厚近似为均匀分布

从图（c）中取单元体（微元）,如图,单元体边长分别为，左右的切应力组成力偶为，由平衡规律，上下侧面上必存在相反方向的切应力，组成反力偶矩为。δ,d,ydxdxdyyxzADCBdxdydz微元能不能平衡？怎样才能平衡？哪些力互相平衡？yxzADCBdxdydz哪些力互相平衡？根据力偶平衡理论yxzADCBdxdydz

切应力互等定理：在微体的两个互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等方向均指向或离开该交线；剪切胡克定律

弹性范围内的剪应力－剪应变关系

若在弹性范围内加载，即剪应力小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，剪应力与剪应变之间存在线性关系此即为剪切胡克定律（Hookelawinshearing），式中G为比例常数，称为剪切弹性模量或切变模量(shearingmodulus)。

由剪切胡可定律,得

即横截面任意点切应力与该点到轴线的距离成正比，其方向垂直于半径。

圆轴横截面上切应力分布如图所示。

方向：垂直于半径分布：与成正比O1O2ABCDQ物理方程(6.6)三.横截面上切应力的计算

作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有此即静力学方程。则有：

微剪力dAM微力矩

IP就是圆截面对其中心的极惯性矩。单位为m4、mm4。其与截面的形状和尺寸有关。

式中的GIP称为圆轴的扭转刚度（torsionalrigidity）。1圆轴扭转时横截面上的切应力表达式

这就是圆轴扭转时横截面上任意点的切应力表达式，其中Mx由平衡条件确定；IP由积分求得。2最大切应力Wp

扭转截面系数单位：m3、mm33关于极惯性矩IP及扭转截面系数WPdrrdD极惯性矩已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。例题1求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴解：对于空心轴，算得d2＝0.5D2=23mm确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm

实心轴d1=45mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。3例题2P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3解：计算各轴的功率与转速Mn1=T1=1114N.mMn2=T2=557N.mMn3=T3=185.7N.m3解：计算各轴的扭矩3解：计算各轴的横截面上的最大切应力

扭转实验与扭转破坏现象§6.5圆轴扭转时的强度和刚度计算

为了测定剪切时材料的力学性能，需材料制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。

对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验，使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布，这样才能得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。

对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。

试验结果表明，低碳钢的剪应力与剪应变关系曲线上，类似于拉伸正应力与正应变关系曲线，也存在线弹性、屈服和破断三个主要阶段。屈服强度和强度极限分别用τs和τb表示。

对于铸铁，整个扭转过程，都没有明显的线弹性阶段和塑性阶段，最后发生脆性断裂。其强度极限用τb表示。

韧性材料与脆性材料扭转破坏时，其试样断口有着明显的区别。韧性材料试样最后沿横截面剪断，断口比较光滑、平整。

铸铁试样扭转破坏时沿45°螺旋面断开，断口呈细小颗粒状。一强度计算

对于脆性材料，

对于韧性材料，

其中为许用剪应力。圆轴扭转时的强度设计准则为

注意：为整个圆轴上横截面上的最大应力。

上述各式中许用剪应力与材料的许用正应力之间存在一定的关系。

对于脆性材料，

对于韧性材料，

如果设计中不能提供值时，可根据上述关系由值求得值。

强度条件

为满足强度要求应使工作应力不超过许用应力，即对于等截面圆轴，则有

注意：为整个圆轴上横截面上的最大应力。

根据强度条件可以解决以下几类强度问题2、选择构件截面尺寸3、确定构件承载能力给定T、[τ]，确定结构参数4、最轻重量设计1、校核构件的强度

已知：汽车发动机将功率通过主传动轴AB传给后桥，驱动车轮行驶。设主传动轴所承受的最大外力偶矩为Me＝1.5kN·m，轴由45号钢无缝钢管制成，外直径D＝90mm，壁厚δ＝2.5mm，＝60Mpa。例题试:1．试校核主传动轴的强度；

2.若改用实心轴，在具有与空心轴相同的最大剪应力的前提下，试确定实心轴的直径；

3.确定空心轴与实心轴的重量比。

解：1．校核空心轴的强度

根据已知条件，主传动轴横截面上的扭矩Mx＝Me＝1.5kN·m，轴的内直径与外直径之比

因为轴只在两端承受外加力偶，所以轴各横截面的危险程度相同，轴的所有横截面上的最大剪应力均为由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。

解：2．确定实心轴的直径

根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求，实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于50.9MPa。若设实心轴直径为d1，则有据此，实心轴的直径

解：3．计算空心轴与实心轴的重量比

由于二者长度相等、材料相同，所以重量比即为横截面的面积比，即

上述结果表明，空心轴远比实心轴轻，即采用空心圆轴比采用实心圆轴合理。

解：4.

本例讨论

这是由于圆轴扭转时横截面上的剪应力沿半径方向非均匀分布，截面中心附近区域的剪应力比截面边缘各点的剪应力小得多，当最大剪应力达到许剪应力时，中心附近的剪应力远小于许用剪应力值。

将受扭杆件做成空心圆轴，使得横截面中心附近的材料得到充分利用。Ø

圆轴合理设计实心轴空心轴M

如果管壁过薄，管受扭时会产生皱折现象过渡处有应力集中圆角过渡可以减小应力集中二刚度计算

扭转刚度计算是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则：其中单位长度上的相对扭转角式中的称为单位长度上的许用相对扭转角，其数值视轴的工作条件而定。刚度设计中要注意单位的一致性：式中的单位为rad/m；而通常所用的单位