数字信号处理基础知识

PAGEPAGE96数字信号处理（DSP）基础Digital SignalProcessing模拟信号与数字信号（基本术语）过程：物理量（位移、速度、加速度、声压、声强、声功率、压强、应力、应变、温度…）随时间变化的历程。信息：研究问题所关心的过程特征。信号：指物理过程通过传感器（也称换能器）转换成的电信号。信号是信息的载体。信号处理即从信号获取有用信息。连续信号：幅值随时间连续变化的信号。离散信号（抽模拟信号：未经数字化处理的连续信号。数字信号：数字化的离散信号，适用于计算机处理。模拟信号模拟信号数字信号A/DA/D：AnalogtoDigitalConversion注：数字信号处理的重要基础——傅里叶变换对连续信号 x(t)⇔X(f)−∞FT： X(f)=F∫∞x(t)e−dt−∞：xt)=F1X(f)]=∫∞X(f)e2tdf−∞对数字信号 n

}⇔{X}kDFT： Xk

=X(fk

)=X(k∆f)=

1N1xN n=0

e−j2πnk/N

(k=0,1,…N-1）IDFT：xn

=x(tn

)=x(n∆t)=N1k=0

ej2πnk/N (n=0,1,…N-1)k物理过程与信号的分类（一）周期过程

简谐过程复杂周期过程振动过程

准周期过程非周期过程 瞬态过随机过

平稳随机非平稳随机（二） 简谐过程周期过程振动过程

随机过程

平稳随机

准周期过程瞬态过程各态历经非各态历经（三）

非平稳随机平稳过程

随机过程

各态历经周期过程振动过程 准周期过程非平稳过程

连续过程瞬态过程简谐过程两种数学表达形式三角函数形式)=t+ϕ)A—振幅ϕ—初相角ω—角频率(rad/s)ω=2πƒ=2π/Tf—频率(Hz)T—周期（s）复指数形式Aejωtj= −1)Aejωtj= −1其中 A=Ae

——复振幅（复振幅是相量—Phasor，有别于矢（向）量—Vector）相互关系：t+ϕ)=Asinϕcosωt+Acosϕsinωt=Acosωt+A1

sinωtAejϕ=Acosϕ+jAsinϕAej(ωt+ϕ)

=Acos(ωt+ϕ)+jAsin(ωt+ϕ)欧拉公式的几何意义：A( )

A ( )Acosωt= 1

ejωt+e−jω

= 1ejωt⎝2⎝

1ej−ωt⎠2⎝ ⎠2⎝ A( )

j⎛ωt−π⎞

A j⎛t−π⎞Asinωt= 2

ejω

e−jω

= 2e

2⎟− 1e⎜ ⎟2 2j1

j⎛−π⎜⎟⎜⎟

2 2A2+A21 A2+A21 21A= A=−j=e⎝2⎠， ， 2j欧拉公式的几何意义周期过程展开为傅里叶级数周期信号

)=+kT)

—整数，T—周期令 ω=T（称为基频），则 )可展开为1傅里叶三角级数：xt)=a+∞

cosnωt+bsinnωt)0 n=1

1 n 1=c+∞c0 n=1

t+ϕ1 n

a2+b2n a2+b2n nn，bc=a c = n，b其中 0 0 n ， n∫=2a 1 Txdt∫=20 T 22a =2∫Txsn2

tdtn T 12∫=2b 2 Txsinnωtdt∫=2n T 12n1、2、3傅里叶级数的复指数形式Fourierseries FS)=X0

+∑ ∞[n=∞[

ejnωt+X1n 1

j(−nω)]et1et或

X∞X∑nn=−∞

ej1 T () ω2−TX = ∫ x2−Tn T2

ej

1tdtX =X其中 n

jϕ=Xennen

ejϕnXnXn=Xn=12a2+b2n n=12nX =X*n −n

, ——即X

为Xn

的共轭复数：X =1n 2 jb)nX =1−n 2

+jb)nϕ ==arctgann −n bnX =a=c0 0 0

，ϕ0=0周期过程相量频谱的三维表示周期信号的特征参数峰值 xp (p：peak )x峰峰值 p−p平均绝对值 xav (av：average)T1Tx0xT1Tx0av均值 µx或x (µ：mean )µ =x=1Txdtx T 00 µx=a c =X0 0 均方值（平均功率）P 或x2 （p：power ）x2x2=TP= ∫Tx2dt=0=⎜ ⎟P=c2+∞⎛⎜ ⎟

⎞2

X2=∞

X*0

⎝ 2

n n nn=−∞ n=−∞1T∫Tx2dt0均方根值（有效值）xrms1T∫Tx2dt0x =rms正弦信号：

xrms

= 2x2

=0.707xp2xav=πxp2

=0.637xpxrms=xrms=π 2x 4av周期矩形波的幅值谱和功率谱)=

∞ jnωt∑ X∑ X1P=∞

n=−∞X2=n

X⋅X*=∞Sn n n平均功率为：

S =X ⋅X*=X

n=−∞n=0,±1,±2,…双边功率谱：

n n n n单边功率谱：

⎧S =c=G⎪n 0=G⎨ c2

n=0⎪n⎪例：周期矩形波

2S = n⎩ n 2

n>0双边幅值谱双边功率谱单边功率谱有效值谱傅里叶变换ω=2π→dω非周期过程：令T→∞, 1 T

nω→ω，1，∑→∫ ,

X =Xn 1

)→X(ω)⋅dωX =1n T

∫ xte−nωtdt2−T12−T1TX1∫∞→

xte−jωtdtx(t)

∞=∑ ∞nn=−∞

ejnω1t→ xt)=∫∞

Xjωtdω令 ， X(f)=2πXω=f =令 ， 则X(f)=Fxt=∫∞则

xte−jπftdtxt)=F1X(f=∫∞−∞FT

X(f)ej2πftdf) X(f)IFTFT :Fourier Transform 傅里叶变换IFT：InverseFourierTransform 傅里叶逆变换矩形脉冲的傅里叶频谱矩形脉冲

⎧A)=⎪⎨⎪0⎨⎩

t≤τ,2t>τ2X(f)=F[x(t)]=Aτsin(πτf)πτfX(f)=X(f)ejϕ(f)=AτX(f) =Aτ幅值谱

πτπτf2n≤ f ≤2n+1,相位谱

ϕ(f)=⎪⎨⎨⎩

τ2n+1τ

≤f≤

+1) n 为整数τ幅值谱相位谱相量谱ESD&PSD对能量有限信号，如瞬态信号xtFT→X(f)如果S(f)=X(f)⋅X*(f)则取 x)称之为 的能量谱密度函数或ESD(EnergySpectrumDensity)有E=∫∞x2tdt=∫∞

(f)df−∞ −∞ xV2⋅S g2⋅SESD单位： Hz， Hz对功率有限信号，如平稳随机信号

N2⋅SHzL令xtT→X令T

(f

（T表示截断）S(f)=lim1X取 x T→∞T )

(f)⋅X*(f)T称之为

的功率谱密度函数或PSD(PowerSpectrumDensity)S(f)x

—双边谱

G(f)x

—单边谱⎨G(f)=⎧2Sx(f⎨x

f≥0f<0P=lim1TT→∞

2x2tdt=∫∞∫T−T ∫T2

S(fdf=∫∞G(fdf0上式称为Perceval定理。（单边谱与双边谱的关系同样适用于ESD）， PSD单位：V2Hz g2Hz N2HzL， （ESDPSD，Xf)为线性谱）傅里叶变换(FT)的重要性质设，X(f) Y(f)设，线性性对称性

aX(f)+bY(f)f)证： xt)=∫∞−∞

X(f

j2πftdfx−t)=∫∞−∞

X(fe−jftdftfx−f)=∫∞−∞

Xte−jftt =FXt]xt()xt当 是偶函数

)=t)F[X(t)]=x(−f)=x(f)时频展缩

xtFT→ ⎞1X⎛1X⎛fk⎜k⎝⎟1x⎛tk1x⎛tk⎜k⎝⎟FT→X⎠证：

τ=kt, t=τk，dt=dτ/k[(

=1∫∞

xτe−jπ⎛fττFxkt

⎝ ⎠⎜kk⎜kX=1 ⎛f⎞X=k ⎜k⎟⎝ ⎠0时移和频移0

x(t−t0

FT→X(fe−jft0证：设τ=t−t0

xtejft FT→X(f−f)000，t=τ+t，0[( ]=∫∞xτe−jfτ

)dτFxt−t 00 −∞=e−j2πft0

∫∞xτe−jτ−∞

=X(f

e−jft0∫∞0又

xtejfte−jftdt=∫∞xte−jπ(f−f00−∞00

)tdt=X(f−f)0微分： dt

FT

j2πfX(f)积分

dnxdtn

FT→(jπfnX(f)∫t xτdτFT−∞

1j2πf

X(f)

xt⋅ytFT→X(f*Y(f)() () FT () ()xt*yt⎯⎯→X f ⋅Y f其中xt*yt)=yt*xt)=∫∞其中

x(τ)y(t−τ)dτ证明：

X(f*Y(f)=Y(f*X(f)=∫∞

X(f−ξ[()

(

∫∞⎡

−τ

e−j2πftdtFxt

*yt

= −∞

−∞ ∫∞xτ⎡∫∞yt−τe−jftdtτ=

−∞ ∫∞=

e−j2πfτdτY(f∫∞=

e−j2πfτdτ=X(f)⋅Y(f)=冲激函数 δt)冲激函数，也称δ函数，或狄拉克(Dirac)函数。定义

=⎨∞⎨∞

t≠0t=0

∫∞δtdt=1−∞δ−t

)=

t≠t0

∫∞δt−tdt=1∞⎩0 ⎨ t=t∞⎩0

−∞ 0可视之为宽度为τ1/τ的矩形脉冲在τ0的极限情况。冲激响应，表为h(t。系统δ(t)h(t)系统x(t)Y(t)h(t与系统的频响Hδ(t)h(t)系统x(t)Y(t)()FT ()H（f)=F[y(t)]=Y(f)

ht HIFTF[x(t)] X(f)Y（f)=H（f)X（f)y（t)=h（t)∗x（t)=∫∞

x(τ)h(t−τ)dτDuhamel积分。抽样特性：

()δδ∫∞δtxtdt=∫∞δtx0dt=x0)−∞ −∞∫∞δt−txtdt=∫∞δt−txtdt=xt)−∞ 0 −∞ 0 0 0偶函数性质： δ)=δt)证：∫∞δ−txtdt=∫∞δτx−τd−τ)=∫∞δτx0τ=x0)−∞ −∞ −∞3卷积特性： )=δ)=)移位特性： xt*δt−t0

)=−t)0证：证：

∫∞xτδt−ττ−∞=∫∞

−t=)同理tδt−同理

=

−

−τ)dτ0 −∞ 0=−t)0冲激函数的傅里叶（正或逆）变换T:Fδt]=∫∞δte−jftdt=1 可见δt的偶函数性质−∞T:F1δ(f=∫∞δ(fejftdf=1 F1=δ(f)−∞复指数函数及正/余弦函数的傅里叶变换Fejft=δ(f−f)[ 0 ] 0Fe−j

=δ(f+f)01( )0cosωt=()2()

ejωt+e−jωt1 ω ω j( )sinωt= e2j

t−e−jt

= e−jωt−ejωt2

t]=1[δ(f+f0 2

)+δ(f−f)]0

t]=0

j(f+f2

)−δ(f−f0周期信号的傅里叶变换一般周期信号 )=+nT)∞FS : )=∞

Xejt

f=11 T1n1n=−∞∫X =1 ∫

x(t)e−j2πnftdt21n T −T12FT:

Fxt]=F∞Xnn=−∞

j2πnfte1eFej1=∞Fej1nn=−∞=∞Xδ(f−nf)n 1n=−∞周期冲激序列（抽样脉冲序列：st)=∞

δ(t−nT)f f =1n=−∞FS:

st)=

Sej2πnfst,n s T,n=−∞Ts2S = 1 ∫TTs2n T −s 2

s−j2π

sTstdtT1T1= ∫ s

δte−j2π

tdt 1Tsst)=1∞∴ T

2 s =T−s2 sej2πnfstsn=−∞FT: 一般周期

∞Xnn=−∞

⋅δ(f−nf)1周期冲激

X =Sn

=T 1s1

f→f1 s1∴S(f)=Fst]= 1∴T

δ(f−nf)ssn=−∞注：抽样脉冲序列用离散数据（离散信号）表示时，写作S(nTs与

)=1 =±±2,L)() ∞ ( )st=∑

t−nTs两相比较，后者便于关系式推导，前者便于计算机运算操作抽样信号的傅里叶变换时域抽样)x)s数字信号抽样量化、编码抽样脉冲)=T

∞∑ n=−∞

−nTs

s f =1s —抽样周期（间隔），ss

—抽样（频）率s抽样：x

)=)X)X)(FT:s

f)=F[xs

X(f

*Sf)S(f)=1T

δ(f−nf)，s，

X(f)=s

1T

X(f−nf)ssn=−∞ sn=−∞频域抽样S(f

)=∑ ∞n=−∞∞

(f−nf)sst)=F1S(f

1 ∞∑ f((() (

(t−nT)s抽样： Xs

(f)=X(f)⋅S(f)xt)=F1Xs

f =xt*st傅里叶变换四种情况时域 频域傅里叶变换一般情况 连续、非周期 连续、非周期傅里叶级数 连续、周期 离散、非周期时域抽样的傅里叶变换 离散、非周期 连续、周期离散傅里叶变换 离散、周期 离散、周期a)FTa)FT:X(f)=∫xt−jπftdtIFT:

−∞∫X(f)ejπfdf−∞( ) 1T (FT

X f = 2xk T−T2

−j2πfk

tdt∞IFT(FS): )=∞

X(fejπfktk其中：

f =k

k=

(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅)∆f=1T

X(f)=1

∞n=−∞s2fs2fs

x(tn

)−jπftnIFT: n

∫ X(f)f −s 2

j2πftndf其中：t ==)n∆t= 1f

sX =X(fk

)=X)=

1N1xe−jπnkNN nn=0(k=0,1,2,⋅⋅⋅N−1)IDFT：x =xt)=x(nt)=N1X ejπnkN,n=,,LN−)n n kk=0T=N∆t, f =1=N∆f,∆f=1s ∆t T∆f⋅∆t=1N, ft→k∆f⋅n∆t=nkN连续信号的傅里叶变换到离散傅里叶变换的转化DFT运算中复指数函数W

nk的周期性和对称性N令Wnk=e−j2πnkNN令DFT: Xk

=1N1xN

−jnk

=1N1xN

WnkN

(k=0,1,2,⋅⋅⋅N−1)n=0 n=0IDFT:xn

=N−1Xkk=0

ej2πnkN

=N−1k=0

W−k N

(n=0,1,2,⋅⋅⋅N−1)或k

1 N

]{x}nN{}[ *}x =W Xn N k⎧X ⎫ 0

W0 W

L W

⎤⎧x ⎫L0L⎪ ⎪ ⎢ N N N

N ⎥⎪ ⎪N1N⎪X1⎪ 10 WN1N

W2 WNN N

⎥⎪x ⎪⎨X ⎬=

W2 W

L W2(N−1)⎥⎨x ⎬⎪ 2⎪ N⎢ N N N

N ⎥⎪ 2⎪N⎪ M ⎪ ⎢M M M M M ⎥⎪ M ⎪NN⎩XN

N

⎭ W

WNN

W2(NN

L WN12⎦⎩

N−1⎭(a)

W nkN的周期性WnkN＝

Wmod(nkN)NW=W9=W1如 8 8 8(b)

nkN的对称性2W(nk+N)=−Wnk2N NW5=−W1如 8Wl=8

8−j2πl8 nl−j2πl8 nl 4 4快速傅里叶变换（FFT）FFT乃是DFT在计算机上实施的一种快速算法，1965年首次由Cooley和Tukey提出，该算法（称基 2算法）要求（g，M2使长序列的DFT变为短序列的DFT，即xX =N1xk n=0

Wnk=NN−12Wrk WNx2r+−1WrkNkN2x2r+1Nr=02r=02=Y +Wk

(n=⋅⋅N2

−1)k N k利用W的周期性和对称性得NXN+2

=Y −W kZk N

(k=0,1,2,⋅⋅⋅N2

−1)例1： N＝22＝4⎧X =Y+W0Z⎪ 0 0 4 0

=x+W0x⎪0 0 4 2⎪X =Y+W1Z

⎪Y=x−W1x⎨ 1 1 4 0 ⎨1 0 4 2⎪X⎪

=Y−W0Z0 4 0

⎪Z0⎪

=x+W0x1 4 3⎩X3

=Y−W1Z1 4 0

⎩Z1

=x−W1x1 4 3蝶形算法：N＝23N＝23＝8N＝8的FFT流程图乘运算，3×N=12次，加运算 3×N=24次。2N=2M时 N==1024时乘运算 N×M＝NlogN次 5120 次2 2 2加运算 N次 10240 次2最简单的模拟式滤波器低通（LP）滤波器RCUi UoC

U U ⎛ 1 ⎞= i /⎜R+ ⎟o jωC⎝ jωC⎠1+ωτ2H(ω)=1+ωτ2U

ejϕτ=RC为时间常数，ϕarctgωτi相频特性：幅频特性：

ω1/τ1/RC——截止频率，c

)=0.707c高通（HP）滤波器CRUiRU01+ωτU01+ωτ2Ui相频特性：幅频特性：

ejϕ

Uoϕ=arctg1ωτ ，τ=RC常用低通滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器11+ω1+ωCRRRRC2R_+AC1C3切比雪夫（Chebyshev）1

k—阶次1+ε2C2ω1+ε2C2ω)k CC—切比雪夫多项式k椭圆函数（Ellipticfunction）滤波器1+ε2E2ω1+ε2E2ω)k CEk—椭圆函数也称考尔（Cauer）滤波器低通滤波器主要性能指标通带内的幅值平坦度（或称波纹度）±1％，±5％，±10％，或±1dB ±0.5dB ±0.1dB ±0.01dB…通带以外（主要指过渡带）的倍频程衰减率90dB/Oct,120dB/Oct,140 dB/Oct…通带内相频特性的线性度要求ω =常数，以免产生波形畸变最平延时（MFTD）滤波器有最佳相频特（MFTD：Maximaltyflattime-delayfilter. 这类滤波器有下列多种：Besselfilterfilter，Thomsonfilter，Storchfilter等。其技术指标：群延时(Groupdelay): ω相延时(Phasedelay): 带通滤波器（BP）基本参数：f —上截止频率uf—下截止频率l中心频率f =1(f0 2

+f)lf⋅fu f⋅fu l03dB带宽或半功率带宽B=f−f3 u lH(f)B⋅1=∫∞ H(f)另 e 0BB—等效噪声带宽，通常略大于Be 33百分比带宽 b=B3f01

f−fu f0f

×100%品质因子或Q因子 Q=b£恒带宽滤波器（组）恒百分比带宽滤波器（组）1/N 倍频程（Octave）滤波器

0f−fu lfufl=fufl=N

(N=1,2,3,12,24)fc,i+1

=fc,if;u;

=f⋅/2N f;c ;

=f⋅2−1/2Nc模拟式频率分析仪一. 并联（滤波器）式分析仪二. 扫频式分析仪FFT 分析模数转换器（A/D）一. 逐次逼近式模数转换器二. 闪速式模数转换器抽样和量化过程模数转换的量化误差与动态范围字长（位数） N＝12bits分辨率（粒度）q=12N

= 14096量化误差e: −q<e≤0 （截尾情况）q2q2<e≤q2动态范围：20lg2N=20lg4096=72dB

（舍入情况）量化误差引起量化噪声：量化步长： q

Umax

−Umin2Nq2q2量化噪声峰值=o2 q2=q量化噪声统计方差 12q23σ=23量化噪声的有效值（RMS）设U=±5N= 12bits, q≈2.5σ=0.75mVrms.框图：模拟信号

Σ－∆ A/D转换器

Σ－Σ－∆调制器数字选抽滤波器特点：线性脉冲编码调制度大小进行（n位）量化编码。Σ－∆调制器通常以极高的抽样率对模拟信号进行抽样，并对相邻两个抽样之间的差值进行低位（常为一位）量化制器。这种Σ－∆ A/D转换器，使采集系统的构成大大简化，并可获得极高的分辨率是近年出现的新技术LMSSCADASIII数据采集前端就是采用24位Σ－∆A/D转换器，其初始采样率达6.5536MHz,经降采（选抽滤波和1/32选抽后每通道的抽样率为204.8kHz其动态范围（信噪比）达到116。增量调制器：x1x1(t)x(t)△0 △t

s抽样率f ts＋＋e(t)x(t)∑量化编y(n)－x(t)1积分器1bitD/Afs很高，t＝1/fs输出“0”码时，给积分器输入一个负的单位脉冲信号，积分器∆频率混淆与抗混滤波Anti-AliasingFilter时域抽样（采样：抽样定理： f s

xt)/D→x(t)1>2f∆t mfm fs t意味着对信号中最高频率分量，至少有三个抽样。而f =fs= 1N 2 2∆t 称为摺叠频率Nyquist频率s 通常取 f =2.56s 使抗混滤波器（LP）截止频率设定在≈f f 0.4 f≈c= m s抗混滤波器的带内波纹和摺叠效应都会引起幅值误差。频率混淆实例：产生混淆的频率：mfm

f <1fa ，f fs a

，2f fms m

… （

a 2 s ）m或写作：nf fms a

n=,,)例: 设 fs=512Hz, fN=256Hzfa=100Hzfsmfa=412Hz/612Hz, 2fsmfa=924Hz/1124Hz频率混淆（摺叠）现象图示一. fs>2fm 无频率混淆二. fs<2fm 产生频率混淆泄漏和加窗LeakageandWindowingDSA常用的窗函数（公式和函数图象）⑴矩形（Rectangular）窗w(t)=1 0≤t≤T⑵汉宁(Hanning)窗w(t)=1−t/T) 0≤t≤T⑶凯塞(Kaiser-Bessel)窗w(t)=1−2.4cos(2πt/T)+0.244cos(4πt/T)−0.00305cos(6πt/T)0≤t≤T⑷平顶(Flattop)窗w(t)/T)/T)−/T)+/T)0≤t≤TLMS测量系统所用窗函数的定义式：Hanning窗w(t)=0.5+/T)Kaiser-Bess窗w(t)=0.402−0.498cos(2πt/T)+0.098cos(4πt/T)+0.001cos(6πt/T)平顶窗w(t)=0.2395−0.4481cos(2πt/T)+0.2585cos(4πt/T)+0.0439cos(6πt/T)Hamming窗w(t)=0.54+/T)Blackman-Harris窗w(t)=0.358−o.488cos(2πt/T)+0.141cos(4πt/T)+0.011cos(6πt/T)窗谱的基本参数与窗的选用一.常用窗函数频谱比较主瓣有效主瓣旁瓣旁瓣栅栏效应噪声带宽3dB带宽最大值滚降率最大偏差(△f)(△f)(dB)(dB/Decade)(dB)矩形窗10.89-13.320-3.92(-36.3%)汉宁窗1.501.44-31.560-1.42(-15.1%)凯塞窗1.801.71-66.620-1.02(-11.1%)平顶窗3.773.72-93.60-0.01(-0.1%)Hamming1.361.30-43.220-1.78 (-20.6%)Blackman2.01.68-92.220-1.10 (-12.5%)二.窗的选用纯随机信号—汉宁窗周期或准周期信号—平顶窗瞬态信号—矩形窗伪随机或周期随机—矩形窗窗长等于周期信号整周期时—矩形窗窗函数的栅栏效应PicketFenceEffect栅栏效应不仅引起幅值偏差，而且引起相位偏差。一般说，测量某简谐号 )=At+ϕ)(ϕ取决于触发抽样—记录开始时刻)时，i幅值相对偏差为：i相位绝对偏差为：

W(0)−W(iW(0)

f)kπ(fi

f)kf−fik≤∆f2其中 W(f)=Ff−fik≤∆f2, ∆f—谱线间隔随机信号被汉宁窗加权情况正弦信号被平顶窗加权情况基带分析与选带分析基带分析Base-bandAnalysism分析带宽 BW:0→fm抽样率 f =(2.56~4)BWsf∆t=1f抽样间隔 sT1=fsNs记录长度 T=N∆t=T1=fsNs∆f=谱线间隔（分辨率）BW=(0.25~0.4)f =(0.25~0.4)N∆f=N∆fs dd即显示谱线 N =(0.25~0.4)N.d如 N＝1024，则 Nd=256~400线基带分析时数据的传递与取舍（A：选带分析BandSelectableAnalysisZoomFFT 的数据流程数字滤波与抽样率缩减HP35665A的数字滤波与抽样率缩减电路框图:HP5423A选带分析数据的传递及取舍数字滤波器原理x(nx(n)h(n)y(n)X(z)数字滤波H(z)Y(z)x(n)ZX(z)Z Y(z)

Z−1

， ZXz)=∞定义：

xnz−

（双边变换）∞或nx(n)=

n=−∞xnz−n1∫X(z)z

（单边变换）dzn−1dz逆变换2πj其中 z=+jω)=rejω r=eα对等间隔抽样序列 n→系统函数

Y(z)H(z)=X(z)，

Y(z)=H(z)X(z)单位样值响应 h(n)=Z1Hz]H(z)=Zhn]=∞hnz−nn=−∞y(n)=hn∗xn)=∞hkxn−k)k=−∞循环（递归）式数字滤波器输出值不但取决于输入值，且取决于以前的输出值。一般形式：

y(n)=

axn−k)+k

by(n−k)kk=0 k=1Y(z)=M

az−kXz)+k

bz−kY(z)kk=0 k=1Y

)

az−kkx(n)

H(z)

X(z)

k=01−Nk

bz−kk

∑Z∑ZZa b1 1ZZ−1a2b2abM−1NZ−1Z−1a bM N简单例子 y(n)=−−a)xnx(n)

H(z)

1−a1−az

∑−a−a∑−a−aZ−1频响函数：令z=rejω 中，r=1，则z→FT即 H)=H(z)z=ejω或 H(f)=H(z)z=ej2πf注意：等间隔抽样时，n→n∆t，所以上例中H(f)= 1−a1−ae−j2πf∆t如果令a=e−∆tRC，则当RC>>∆t ，及f∆t<<1时，有e−j2πf∆t≈1j2πf∆t 且a1−∆tRC+于是 H(f)= 1+1 j2πfRC显然，此即等效于一阶RC低通滤波器非循环（非递归）式数字滤波器输出值只取决于输入值，而与以前的输出值无关,即y(n)=Mk=0H(z)=

ax(n−k)kaz−kk=0) ()而由于 y(n)=xn∗hn∞亦即 y(n)=∞

h(k)x(n−k)k=−∞可见对非循环递归滤波器来说，其单位样值响应为=⎨) =⎨

(0≤k≤M)其他值)数据长度有限，称之为有限长单位样值响应滤波器或FIR（FiniteImpulseResponse）滤波器。)数据长度无限，故称之为无限Impulse滤波器。设计数字滤波器常用方法就是取数字滤波器的单位样值响应h(n)等于某种模拟滤波器的冲激响应函数h(t)的样值，即h(n)=h(t)t=n∆t这种方法被称为冲激响应不变法。降采样和升采样（重采样）（选抽和内插）在DSP系统中，受采样时钟控制，A/D通常以固定的采样率fsHP35665AHP35670Af=262144Hz，sLMSf=204.8kHz。根据分析带宽的不同选择，s通常按不同的倍率缩减采样率，称降采样。 降采样过程称为选抽(Decimation)。A/Dfs

，选抽后采样率为fs

/M。为避免混叠，应在选抽前列ϖNyquistf/2M。如下图sf数字低通f降采样s sf/Msx(n) f数字低通f降采样s sf/Ms升采样过程称为内插(Interpolation)x(nfL倍，可以先在相邻两个样点之间插sL-1个零样值。其后果是新的信号ϖ(n在频域产生镜象效应（下图ϖ(n进行象滤波L-1采样的平滑滤波。x(n) ϖ(n) y(n)f升采样f反镜象低通滤波Lfsf升采样f反镜象低通滤波Lf对升采样与降采样做不同的组合可实现采样率的非整数倍转换。对升采样与降采样做不同的组合可实现采样率的非整数倍转换。DSA的时域分析DSA—DynamicSingnalAnalysis时间记录与瞬态捕捉(TimeRecord & TransientCapture)A/D--存储--D/ACRT一般的时间记录采用自由触发，而瞬态捕捉则要求条件触发。触发条件（按量程的百分率设定率“”斜率或“”斜率，和触发延时（T（负延时（-100%~T（正延时（0~100）T。随机过程统计特性：N1N1N均值（静态分量）

µ x1N

∑ x µii=0 或 i

=lim ∫Tx(t)dtT→∞T 01ψ 2= ∑ x

ψ 2=lim ∫Tx2(t)dt均方值

x N i=0

或 x T→∞T 01N1(

1 T 2o2方差 x

= ∑Ni=0

x−µi

o2=lim ∫ −µ或 x T→∞T0

]dto2=ψ2−µ2x x xx标准差（动态分量有效值）σ xDSA很少直接用上述关系式计算计算，详见后文。

oo2xµ,ψ2,σx x x，因可以用其他方式Hist(Histogram)1根据信号的强弱，选定量程范围x （最小）和1

2（最大，m段（可选或唯一给定

∆x=

x −x2 1m ，x(t)的抽样值落入各分段的累计个数用图象表示如下：3. 概率密度函数和p(x)=

Hist(x)A⋅N⋅A—参与平均（或统计）的记录段数N—每一记录的抽样数据个数（也称记录长度）P(x)=∫x

p(x)dx （理论上为∫x−∞

p(x)dx）Prob

(−∞≤x≤∞)=∫∞−∞

p(x)dx=P(x→∞)=1利用

µ ψx,

2,σ2xµ =∫x2x x1ψ2=∫x x1

p(x)xdxp(x)x2o2=∫x x1

p(x)(x−µ)2dx随机过程正态性检验高斯过程o xp(x)o x

⎡(x−µ⎣2exp⎢ ⎣2x

2⎤⎥⎦P(µ−σ≤x≤µ+σ)=68%robP(µ−2σ≤x≤µ+2σ)=95%robP

(µ−3σ≤x≤µ+3σ)=99.7%rob偏态系数（Skewness）

c ?→03c =∫x23 x1

p(x)x−µ3dx/σ3x峰态系数

c ?34c =∫x24 x1

p(x)(x−µ)4dx/σ4xDSA的频域分析线性谱(LinearSpectrum)x(t)

TIFFT

X(f

y(t)

T→Y(f)←⎯⎯IFFTX(f)

e−jϕ(f)=RX(X(f)

X(f)+jIm

X(f)X(f)—幅值谱 ϕ(fX(f)e RX(f)—实部谱 IX(f)e g,N…。·除非有同步触发（见后文）信号，否则线性谱不能进行平均。功率谱(PowerSpectrum)1 qG (f)xx

∑qi

X*(f)⋅X(f)i1 G (f)= ∑ Y*(f)⋅Y(f1 yy q

ii=1得到的是离散型功率谱，单位为V2,g2,N2…。功率谱密度 PSD(f)=Gxx

V2(f)/Be,单位为

Hz,

g2 N,Hz,

Hz⋅⋅⋅。Be为所用窗函数的有效噪声带宽。G(f)= PSDG(f)= PSD(f)⋅Bexx单位为V，g,N ,…。能量谱密度 ESD＝PSD·T＝PSD·N△t, 单位为V2S/Hz,g2S/Hz2S/Hz。T为一个记录的长度。通∫fmPSD(∫fmPSD(f)df0+∑G(fxx kk或 σ=互功率谱(CrossSpectrum)1qG(f)= ∑ X*(f)⋅Y(f)xy q

i ii=1注意区分是否取谱密度形式。ff或实频、虚频。互功率谱除用于下文所述频响函数、相干函数、互OMA、ODS分析和声强测量。频响函数FRF (FrequencyResponseFunction)激励 系统 响应x(t) h) y(t)=)H(f)X(f) Y(f)=H(fX(f)F[y(t)] Y(f)H(f)H(f)=

F[x(t)]=

X(f)

Y(f)Y(f)⋅X(f)*X(f)⋅X*(f)=G(f)xyG(f)=H(f)xxH(H(f)= G (f) G(f)yy xx相干函数(CoherenceFunction)γ 2(f)xy

G(f)⋅GG (fG (f)2xy

(f)0≤γ 2(f)≤1xyγ1 x(ty(t有良好的线性因果关系。γ2<1 非线性因素。相干输出功率和信噪比X1(t)X2(t)X1(t)X2(t)系统Y(t)X3(t)cop=γ2 (fG(f)y

(t)产生的影响。1信噪比定义为相干输出功率与不相干输出功率之比，1γ2(f)S/N=

1−γ2(f)冲激响应函数IRF(ImpulseResponseFunction)δ(t)h(t)系统x(t)y(t)δ(t)h(t)系统x(t)y(t)

H(f)Y(f)=H(f)⋅X(f)y(t)=h(t)∗x(t)=∫∞h(τ)⋅x(t−τ)dτ−∞冲激响应函数常用于时域法模态参数识别。自相关函数(Auto-correlationFunction)(Cross-correlationFuntion)R )=limxx T→∞TR )=lim1

∫Txtxt+τ