解三角形章末检测题及答案

解三角形章末检测题及答案解三角形章末检测题及答案解三角形章末检测题及答案解三角形章末检测题及答案编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:解三角形章末检测题及答案[A基础达标]1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()A．3 \f(9\r(3),2)\f(3\r(3),2) D．3eq\r(3)解析：选＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2ab＋6，根据余弦定理得2abcosC＝2ab－6，即ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故选C.2．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则A等于()A．45° B．60°C．120° D．150°解析：选A.因为a2＝b2＋c2－2bccosA且a2＋4S＝b2＋c2，所以S＝eq\f(1,2)bccosA＝eq\f(1,2)bcsinA，即sinA＝cosA，则tanA＝1，又0°<A<180°，所以A＝45°.3．已知△ABC周长为20，面积为10eq\r(3)，A＝60°，则BC边长为()A．5 B．6C．7 D．8解析：选C.由题设a＋b＋c＝20，eq\f(1,2)bcsin60°＝10eq\r(3)，所以bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边长为7.4．如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()\r(3) B．5eq\r(3)C．6eq\r(3) D．7eq\r(3)解析：选B.连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝eq\f(180°－120°,2)＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC，知BD2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，所以BD＝2eq\r(3)，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＋eq\f(1,2)×2×2×sin120°＝5eq\r(3).5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝2，C＝eq\f(π,3)，且a＋b＝3，则△ABC的面积为()\f(13\r(3),12) \f(5\r(3),4)\f(5,12) \f(5\r(3),12)解析：选D.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以22＝a2＋b2－2ab×coseq\f(π,3)，即4＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝3，所以ab＝eq\f(5,3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absineq\f(π,3)＝eq\f(5\r(3),12)，故选D.6．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________．解析：因为cosC＝eq\f(1,3)，C∈(0，π)，所以sinC＝eq\f(2\r(2),3)，所以eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，所以b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝eq\r(3)，则△ABC外接圆的半径为________．解析：因为S＝eq\f(1,2)bcsinA，所以eq\r(3)＝eq\f(1,2)×2csin120°，所以c＝2，所以a＝eq\r(b2＋c2－2bccosA)＝eq\r(4＋4－2×2×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝2eq\r(3)，设△ABC外接圆的半径为R，所以2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，所以R＝2.答案：28．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AB＝1，BD＝eq\f(BC,2)＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcoseq\f(π,3)＝3.因此AD＝eq\r(3).答案：eq\r(3)9．(2018·枣庄八中期末检测)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知3cosBcosC＋2＝3sinBsinC＋2cos2A.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5eq\r(3)，b＝5，求sinBsinC的值．解：(1)由3cosBcosC＋2＝3sinBsinC＋2cos2A，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)bc＝5eq\r(3)，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝eq\r(21).所以sinBsinC＝eq\f(b,a)sinA·eq\f(c,a)sinA＝eq\f(bc,a2)·sin2A＝eq\f(20,21)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,7).10．(2018·佛山一中期中)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝eq\f(1,2)CD，∠ADB＝120°，AD＝2，且△ADC的面积为3－eq\r(3).(1)求边BC的长；(2)求∠BAC的度数．解：(1)因为∠ADC＝180°－120°＝60°，AD＝2，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DCsin60°＝3－eq\r(3)，即eq\f(1,2)×2×DC×eq\f(\r(3),2)＝3－eq\r(3)，解得DC＝2(eq\r(3)－1)．因为BD＝eq\f(1,2)DC，所以BD＝eq\r(3)－1，BC＝3eq\r(3)－3.(2)在△ABD中，根据余弦定理，得AB＝eq\r(AD2＋BD2－2AD·BDcos120°)＝eq\r(6).同理，可得AC＝eq\r(6)(eq\r(3)－1)．在△ABC中，根据余弦定理，得cos∠BAC＝eq\f(6＋6（\r(3)－1）2－（3\r(3)－3）2,2×\r(6)×\r(6)（\r(3)－1）)＝eq\f(1,2)，所以∠BAC＝60°.[B能力提升]11．平行四边形ABCD中，AC＝eq\r(65)，BD＝eq\r(17)，周长为18，则平行四边形的面积是()A．16 B．C．18 D．解析：选A.设平行四边形的两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65，解得a＝5，b＝4，cosα＝eq\f(3,5)，或a＝4，b＝5，cosα＝eq\f(3,5)，所以S平行四边形ABCD＝absinα＝16.12.(2018·株洲二中期末)如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝eq\f(\r(3),2)BD，BC＝2BD，则sinC的值是________．解析：设AB＝x，则AD＝x，BD＝eq\f(2\r(3),3)x，BC＝eq\f(4\r(3),3)x.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(x2＋x2－\f(4,3)x2,2x2)＝eq\f(1,3)，则sinA＝eq\f(2\r(2),3).在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(x,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(\f(4\r(3),3)x,\f(2\r(2),3))，解得sinC＝eq\f(\r(6),6).答案：eq\f(\r(6),6)13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．解：(1)由题意可知eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)×2abcosC.所以tanC＝eq\r(3)，因为0<C<π，所以C＝eq\f(π,3).(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－A－\f(π,3)))＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))