4-第3章 有限元分析的力学基础

3章有限元分析的力学基础由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下（外力、温度、位移约束等）变形本章的主要内容就是弹性力学中的基础部分。变形体的描述、变量定义、分量表达变形体在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体叫做变形体(deformedbody)状变形体和。简单变形体如杆、、柱等，材料力学和研究的主要对象就是简单变形体，而有限元方法和。基本变量(位移应该是最直接的变量，它将受3.1所示。在外部力和约束作用下的变形体在外部力和约束作用下的变形体位移的描述形状改变的描述力的描述材料的描述图3.1 变形体的描述描述位移是最直接的，因为可以直接观测，描述力和材料特性是间接的，需要我们去定义新的变量，如图3.2所示，可以看出应包括位移、变形程度、受力状态这三个方面的变量，当然，还应有材料参数来描述物体的材料特性。27位移位移物体变形后的位置应变物体的变形程度应力物体的受力状态材料参数物体的材料特性图3.2变形体的描述及所需要的变量总之，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：·位移(displacement)(描述物体变形后的位置)·应变(strain)()·应力(stress)()对于任意形状的变形体，我们希望建立的方程具有普遍性和通用性，因此，采用 微小体元(representativevolume)dxdydz的分析方法来定义位移、应变、应力这三类变量。基本方程dxdydz：·受力状况的描述：平衡方程(equilibriumequation)·变形程度的描述：几何方程(strain-displacementrelationship)·物理方程(应力应变关系或本构方程)(stress-strainrelationshiporequation)弹性体的基本假设为突出所处理问题的实质，并使问题有得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定本假定。(continuity)象。(homogeneity)各个位置材料的描述是相同的。力学)(isotropy)上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。(linearelasticity)恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。小变形(small)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高28阶小量()。以抓住问题的实质。平面问题的基本力学方程平面问题(2-dimensionalproblem)，简称2D问题。状况)。如前所述，描述这样的对象需要三大类变量、三大类方程和边界条件。三大类方程为·)·)·材料的物理方程(变形体的内部、边界)边界条件为·)·)三大类方程之一：力的平衡方程微小体元上的平面应力分量平面空间特殊方向(z)上，因此，认为在沿厚(adxdy_t(t)，如图3.4()x方向和沿y((normalstress))(shearstress)3.4边tbc_tad_txdxcd_tab_tydy的距离。下面给出各个侧面上的应力定义：P lim x

(3.1)yx A0Ayy其中Ay

表示法线方向沿y轴的平面，P

为作用在A

x方向的分量，若用指标符号来表示，可写成

。若改变(3.1)式中的下标，可以得到各个侧面上沿各个方向的应力。xyyx 21xy3.4bx和byx方向和y方向的(bodyforce)。29xy受力面的法线方向 力的方向图3.3应力符号的含义图3.4 空间坐标系中的平面问题(z方向无任何力，其等厚度为在推导平衡方程之前，做好以下准备。准备1：应力的增量计算在推导平衡方程时，需要计算不同位置截面上的应力，不同截面的几何位置将有一个dx或dy的差别，以xx为例，由高等数学中的Taylor级数展开，有 (xdx,y)

(x,y)

(x,y) 2xx dx xx

(x,y)

(dx)2

(3.2)xx xx略去二阶以上微量，有

x 2x2(x,y) (xdx,y)xx

(x,y) xx dxx

(3.3)对应于bc_t 对应于ad_t侧面上的正应力侧面上的正应准备2：应考虑各个方向合力的平衡在表达各个面上的合力时应注意以下几点：①有四个侧面，在平衡方程中，应考虑所有合力的平衡；②应力在经过dx或dy变化后的位置上有增量表达；③约定：正应力沿外法线方向为正，剪应力的正方向如图3.4所示；④应力在各个侧面上为均匀分布。微小体元的几个平衡关系对如图3.4所示的微小体元dxdy_t(平面问题)，应考虑以下平衡关系：①沿x方向所有合力的平衡；30②沿y方向所有合力的平衡；③所有合力关于任一点的力矩平衡。就平衡关系①，有F 0 (3.4)x具体地，有 (xy)dytxx

(x,y)dytxx

(x,ydy)dxtyx

(x,y)dxtbyx

dxdyt0bc_t侧面上x方向的合力 ad_t侧面上x方向的合力bc_t侧面上x方向的合力ad_t侧面上x方向的合力cd_t侧面上x方向的合力ab_t侧面上x方向的合力体积合力(x方向)其中b和b分别为沿x方向和y方向的单位体积力。利用(3.3)式，上式化为x y

xx

xxdxdyt dyt xx yx

yxdydxt x dxtbyx

dxdyt0

(3.5)进一步化简后，有 xx yxb 0

(3.6)x y x同理，就平衡关系②，由Fy0，有yyxyb

0 (3.7)y x y就平衡关系③(力矩平衡)，对微小体元dxdy_t的中心点求力矩，由Mo0，得

dy dy yx

dy dxt dxtyx y

2 2 dx dx

(3.8) xy

xydx dyt dyt 0 xy x 2 2略去高次项后，有 (3.9)xy yx(reciprocaltheoremofshearstress)程中去。微小体元的平衡方程归纳以上的推导，平面问题的平衡方程为31xx

b 0xyyxy

b 0y

(3.10) xy yx如果代换其中的第三式，则(3.10)式可写为两个方程，即xx

b 0x x y

(3.11)yyxyb

0y

y 三大类方程之二：变形的几何方程设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为APB，而变形后为APB，P点变形到P点的x方向位移为u，y方向位移为v，如图3.5所示。图3.5 平面问题中的变形表达应变的定义从图3.5可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方向：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。x方向的相对伸长量为uPAPAxdxu

(3.13)xx PA dx xy方向的相对伸长量为vPBPB dy

(3.14)yy PB dy 定义夹角的变化PA线与PA线的夹角为 vdxv

(3.15)dx PB线与PB线的夹角为32 u u

dyy

u

(3.16)dy y则定义夹角的总变化为

(3.17)xy 平面变形体的几何方程归纳以上方程，则平面问题中定义应变的几何方程为 uxx x vyy y

(3.18)xy y 写成指标形式 1ij 2

i,j

u j,i

(3.19)由几何方程可以看出，就平面问题，如果已知2uv(3.18)式惟一求出332个位移分量u和3个应变分量满足一定的关系(compatibility其物理意义是，材料在变形过程中应是整体连续的，不应出现“撕裂”和“重叠”现象，如图3.6所示。(a)变形前 (b)变形后的“撕裂”现象 (c)变形后“重叠”现象(d)协调的变形状图3.6 变形的协调性基于几何方程，可以推导出变形协调条件为xxy2

yyx2

3uy2

3vx2y

(3.20)2 u v 2

xyy x 2即 xx

2

2 xy

(3.21)y2

x

xy只有满足了变形协调条件(3.21)的应变分量或应力分量(该方程也可通过物理方程用应力分量来表33达)，才能惟一确定变形体的连续位移场。三大类方程之三：材料的物理方程材料的物理方程也叫做材料的应力应变关系或本构方程。根据广义 Hooke定律Hookelaw)，平面应力情况下的物理方程为E 1Exx xx 1yy E

yy xx

(3.22) 1xy G xy 写成矩阵形式为：

1 E E 1

0 0 x y E E

yxy 0

0

)

xy或逆形式

E E xx 12

xx yy Eyy 1

yy xx

(3.23) xy

xy 其中E(elasticmodulus)modulus)，G(Shearmodulus)，为泊松比(Poission’sratio)，且有关系G E2)

(3.24)边界条件Su p 边界条件(boundaryBC=S+S，其中SSu p p位移边界条件在平面问题中，有关于x方向和y方向的位移边界条件，即34uu

在S上 (3.25)vv u其中u和vSuxy为给定的位移边界。力的边界条件对于如图3.7所示的力边界条件，p和p 可分为所作用的沿x方向和y方向的面力在力的边x y界上取微小体元dxdy_t(平面问题)并考察它的平衡问题。图3.7 边界条件由微小体元的x方向合力平衡，有 dytxx

dxtpx

dst0 (3.26)注意ds为边界上斜边的长度，边界外法线n的方向余弦为n dy/ds，n dx/ds，则上式简化为x y nxx x

n pyx y x

(3.27)同样，可建立y方向合力和力矩的平衡方程；将微小体元的三个平衡方程汇总，有 nxx x

nyx

pxnyy y

nxy

p 在S上y p

(3.28)xy yx其中S为给定的力边界，由于 ，则重写上式，有p xy yx nxx x

nyx

px 在S上

(3.29) nyy y

nxy

p py边界条件汇总将位移边界条件记为BC(u)，将力边界条件记为BC(p)。综上所述，将边界条件写成指标形式。BC(u)

u u 在S上i i u

(3.30)BC(p)

n pij j

在S上p

(3.31)n其中为边界一点上外法线的方向余弦。nj35空间问题的基本力学方程空间问题(3-dimensionalproblem)，简称3D问题。可将2D问题的基本方程推广到3D问题，图3.8为3D情形下的应力分量。图3.8 空间问题中的应力分量空间问题的基本力学变量xy方向、zv，w)，而应力分量有9个，见图3.8，由剪应力互等，有 ， ， ，因此独立xy yx yz zy zx xz的应力分量为6个，应变分量的情况与应力相同，空间问三大类变汇总如下位移分量v w应变分量：xx应力分量：xx

yy zzyy

xyxy

yzyz

zxzx空间问题的三大类力学方程和边界条件可以完全按平面问题的推导方法，或直接将2D情形下的方程进行扩展得到以下方程。平衡方程xx

b 0 xx y z xyyyzy

0

(3.32)x y z y xz

zzb 0 x y z z 几何方程36 u, xx x

v, y

w z v u w v w u

(3.33) , , xy x y yz y z zx x z) 1xx E

yy

zz1 yy E

xx

zz 1

(3.34) zz E

xx yy 1 ,xy G xy

1 , G yz

1 G zx 或写成另一种形式 Exx 12 Eyy 12 E

xx yyyy xx

zz zz

(3.35)zz 12 zz xx yy G ,xy xy

G , yz

G zx(BC)位移边界条件BC(u)uuvvww

在S上 u

(3.36)力边界条件BC(p) n nxx x yx

n p zx z xnxy x

nyy

n p zy z y

在S上 (3.38)pnxz x

n yz y

n pzz z z以上变量和方程是针对从任意变形体中所取出来的dxdydz微小体元来建立的，因此，无论所研究对象)和边界条件BC(u)及BC(p)如何处理变形体的几何形状和边界条件。37弹性问题中的能量表示弹性问题中的自然能量包括两类：①施加外力在可能位移上所做的功，②变形体由于变形而存储的能量。(余能()等，下面分别给出具体的表达式。外力功的和(workbyforce)包括这两部分力在可能位移上所做的功。①在力边界条件上，由外力(面力)p在对应位移u上所做的功(在S上)。i i p②在问题内部，由体积力b在对应位移u上所做的功（在内）i i则外力的总功为W

(bubx

vby

w)dpupS x p

vpz

wdA

(3.39) bu i i

d

pudAS i ip应变能)(strain。3D与应变的对应关系为 xx

zz xy

zx xx yy

xy yz zx变的应变能。下面分别讨论这两种情形下应变能计算。对应于正应力与正应变的应变能3.9Oxy平面内考察由于主应力和主应变的作用所产生的应变能。设在微小体元d=dxdydz上只作用 与，这时微体的厚度为dz，则由图3.9中的力与位移的关系，即F~uxx xx曲线(可由试验所得)，可求得微体上的应变能为U(,)

1Fu12 2

xx

dx)1xx 2

dxx xx

(3.40)则在整个物上， xx

所产生的应变能为U

1 d

(3.41)(,)

(,)

2 xx xx38图3.9 正应力与正应变产生的应变能(另外两个方向上的主应力和主应变(yy

，yy

所产生的应变能与上面的计算公式类似。)zz)对应于剪应力与剪应变的应变能xy3.10dxdydzxy

与，这xydz时微体的厚度为，由于dzxy

是剪应力对，即为xy

和，将其分解为两组情况分别计算变形能，如图yx3.10所示。由 与 的作用，在微体上产生的应变能力xy xyU(,)xy

12

dxdzyx

12

dydzdxxy

(3.42)12

yx

1 d2 xy xy图3.10 剪应力与剪应变产生的应变能在整个物体上，xy

与 所产生的应变能为xyU 1

d (3.43),)xy 2 xy xy另外的剪应力和剪应变( 与 ， 与 )所产生的应变能与上面的计算公式类似。yz yz zx zx整体应变能由叠加原理，将各个方向的正应力与正应变、剪应力与剪应变所产生的应变能相加，可得到整体应变能U1 2

xxxx

yy

zz

xy

zx

yz yz

(3.44)若用指标形式来写变形体的应变能，则有

(3.45)39系统的势能对于受外力作用的变形体，基于它的外力功(3.39)和应变能(3.44)的表达，定义系统的势能(Potentialenergy)为IIUW12

xxxx

yy

zz

xy

yz

du x

vby

ux Sp

vp

wdAz

(3.46)1dbudpudA2 ij

i

S ii3.6 虚功方程条件的任何可能的无限小位移，虚位移不改变物体上原有外力的作用。物体上的外力在虚位移上所。对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功必等于零，这就是刚体的虚位移原理。实际上，它是以功的形式表达的刚体平衡条件。方程推导出来的，因此，理解虚功方程的实质，对于今后理解、推导单元的刚度矩阵、载荷向节点的移置等很有帮助。vx3.11所示。该物体是在体积力分量F、vxFF 的作用下、在自由边界c上所受表面上的分量为F、F 、F的作用下、在约束边界c的vy vz 1 x y z 2作用下，处于平衡状态。可以想象，在以上载荷作用下，物体肯定发生了变形，在物体内部肯定引起了真实的应力： x y

z xy

yz zx

T。显然，物体就是在这样一种条件下，处于平衡状态，每个微单元体上的力系也都是一个平衡力系。40图3.11 现在设想该变形体发生了任意的虚位移{f*}u* v* w*T，相应的虚应变 *}**x y

** *z xy yz

*Tzx

，我们来计算相应的虚功。我们可以从两个方面着手来计算虚功。一个是从整体的角度，计算变形体上的外力在相应的虚位移上的虚功；另一个是从微观的角度，计算每一个微单元体上的力在相应的虚位移上的虚功，然后积分求和，得到总的虚功，再根据从这两个角度计算得到的虚功相等这一条件来得到虚功方程。整体的角度：作用在微单元体上的平衡力系中有体积力和各侧面上的应力组成的力系，因此，作用在所有微单元体上的力系的虚功之总和W*也相应地由两部分组成：总W*W*总 体

W*侧面力F式中，体力的总虚功W* F

u*F v*F

w*

；微单元体各侧面力的总虚W* 。又体力 V

vy vz

侧面力可分为两部分：一部分是物体内部相邻单元体公共侧面上的侧面力的总虚功，另一部分是物体边界c2上的虚位移为零，所以相应的侧面力的虚功也

用的自由边界c1 上的表面力虚功不为零，故有W*

Fu*

Fv*

Fw*dA。因此：侧面力

x y z W*(Fu*Fv*Fw*)dVFu*Fv*F

w*dA(3.47)总 V vx vy vz x y z微观的角度：因为每个微单元体的虚位移可以分解刚体虚位移和变形虚位移两部分，所以W*也总相应地由两部分组成：W*W*总 刚

W*变形式中，平衡力系在刚体虚位移上的总虚功W*刚体

0，只有在变形虚位移上的总虚功W*变形

0。3.12aydxdzy向虚变形位移*dy上所作的虚变形功为

y*dxdydzxz方向还有y

y*dxdydz和x x

y*dxdydz。由图3.1