数学建模练习-点评输油管布置

A,B考虑到本问题中城市铺设管线的附加费的浮动性我们引入个资质公司的权值，尽可能坐标，再次运用函数方法求解最小值，我们在权值是0.4，0.3,0.3（即0.3）283.20lingo线性规划，从而得出最优解；第二个模型是运用推广的费马点-费马点来求解该问0.4,0.3,0.3（0.3）252.4737关键字：最值贪心算法非线性规划问题重两炼油厂的具置由附图（图见附录）所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）a5，b8，c15，l20。若所有管线的铺设费用均7.221万元/24万元/千米20万元/应的油管，使得管线铺设费用分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成6.07.2万元，拆迁等附加费依然不变。要符号说1、A：A2、B:B3、A'：Ax4、(0，y0)：A15、CA'Bx16、L：7、a：OAA8、b：OBB9、d：AB10、(x1，y1)：B11、h12、(xh，h)：H13、f(h)：14、1时，共用管道线费用为15、16、m:17、s：城镇的管线铺设附加费模型假B；假设交汇点（即折点）问题分考虑到问题一要求针对两炼油厂到铁路沿线及两炼油厂间的不同距离给出具体的我们不妨定义其费用“1管道铺设方案转化为平面上点与点之间距离最短问IIIIII区的费用不同，I区只有管线铺设费用，II区费用不应一概而论全盘接受。所以我们引入一个参数理程度，为针对施工费用的一个权值。于是我们认为对于某工程咨询公司给出施工费m，那么其真正合理的费用为m。I区而言，共用与非共用管道铺设费用相同，问题便转化为第一问中求解铺设费II的铺设费用最省；BDBDII的铺设费用I不能直接套用问题二的公式，将每一段线路的铺设费表示出来，求和以得出I区IIB厂成品油的管道费用和附加费用之和，附IDBDB，求AE+DE+BD+CEF(x模型的建立与求我们以铁路线作为横轴，A如图(1)：其中y0[0,y1]。x2(yy Bx轴上找一点C1A、B的路线总和最短。由平面几何知识可知，作AxAABx2(yy 坐标为C1

y0y

,0)，最少铺设费用为min yByBx,y A0,y0Cy01y） A'(0,y0

图x2(2yx2(2y10 ：当存在两炼油厂共用管道时，我们再次对其做数学上的抽象，如图(2)y0[0,y1 Bx1,y1A0,y0E0A'0,2hy0O

H C 图L的交点，KLAH1BABAHBH，可得到AB的最短铺设方案的函数表达式：f(h)f'(h)

(yy2h)2x(yy2h)2x 1(yy2h)2x 1令f

=0

h3(y0y1)

3x1(舍

3(y0y1)6

3x1。又因为f''(h)0所以当

3(y0y1)

3x1f(h1 1f f(h)y0y1 A，B带入上面的关系式h1均可以得到当前的最佳铺设方案，即H10A'(02h-y0)B(x1,y1)0带入

3(y0y1)

，得X

3(y0y1)1

2H(3(y0y1)1x,y0y1

3x1)，这样可得到最短路线方案为H1A+H1B+H1C 2 由最小费用函数的求解可得，当hy0y1 时，最小费用函数求得最小 f(h)minx2(yx2(yy1 现在对hAB之间的距离d和ABy0f(h)min（1）当0hy时；即0y0y1

x 3(y1y0)x1

3(y1y0x1的范围代入到d

2(

中，得到dy0y1x2(yyx2(yy1 y2y2y 0f

y0y1 （2）当hy时：即y0y1 0，通过化简，可以求得x的取值范x1

3(y1y0)x2(yy1 将x1的代入到d 中，得到dx2(yy1 d2(y1y0，通过分析，我们求得此时hy0f

min

(yy)2x 1（2）当h0时；即y(yy)2x 1x1

3(y1y0)x2(yy1 将x1的范围代入到dx2(yy1 y2y2yy2y2y 0(yy)2 1f

min(yy)2x 1(yy)2x 1 f

(y0y1)

2(

yd2 Yy2y2yy2y2y 0(yy)2x(yy)2x 1y2y2y 0ABH表(一实际上，在求解论证铺设输油管线是Y,V型时，我们总结出一个一般情况下的结A(0,y0)，B（x1,y1）以及汇点(y0y1

3x1)2603(y0y1)11H(3(y0y2603(y0y1)11

3x1)，则tanAHE 3 2 2613(y0y12613(y0y1)1xtanBHF

3，得AHE300BHF3003 2

Bx1,y1所以AHCBHCAHB

A0,y0

600x 图用管道线费用为yyBx1,y1A0,y0EFHA0,2h'0OCx图(yy2h)(yy2h)2x 1经过分析可以确定h0y0，[1,2]。因为若1设管道将会使管道铺设费用小于实际值，显然这是不合乎逻辑的；若2，则意味着厂将会支付比各自独立铺设所需费用仍要高的费用。显然这是两家炼油厂所不愿承受的。故取值区间为[1，2]。f(h(yy(yy2h)2x 1

2(2hy0y1 f'(h0f(h024hy0242

f(h(yy (22f

1 44(yy y4通过求解，可以得到点H( 1,0 1 )即为汇点。又44为当

2(y1y0)

=yy，又因为dy

,4(y2y4(y2y2)(84)y 0V24f(hhy0242

用管道费用不同时，AB之间的距离dA，By0y1((yy)2x 1(

y

4(y2y2)4(y2y2)(84)y 0

y

d2y1y0 f(h) 1 0d Y44(y(yy)2x 04(y2y2)(84)y 0 d y

A(x0,y0

D(x,11 图IA(x0y0D(xhx(hy2h)2(hy2h)2 1f(h1) 上式当

x2

3(hy0)2

f(h的距离为dd(15,229.412(h5)max6，

h2525h)

2(h5)maxd

h2525h)

f

y0h2

Yfmin(hD(15，h)I接下来的问题就是如何确定D也即如何处理区域II的铺设路线使区域I和区IID点已经确定，但考虑到城区存在拆迁、安置等附加司中乙级资质公司的权重，则显然地甲级公司权重为12，且III(8h)2f(h)7.2fmin(h(8h)2

1)3

其中s为城镇的管线铺设附加费，即s21122024212(hh5153I (8h)2f(h7.2(h5153(8h)2 (7.2s)(h对(7.2s)(h(7.2s)2f(hf'(h(7.2s)2

sf(h

(8h)2f(h)7.2(h5153)(8h)2 (7.2s)2(7.2s)2(28.22)(28.22)2

f(h取最小值时，hhf(hf(h也是一个关于权重9(28.22)2(28.22)2f(h)9(28.22)2(28.22)22我们可以逐次调整权重f汇点坐标H'(xhh1D(x,权重f汇点坐标H'(xhh1D(x,表(三问题三的求解lingo软件，不断计算、优化从而给出最优解；模型一求解yIIA(0, E(x,cO图在整个求解的过程中，总路线分为AE+CE+DE+BD，其中CE为共用管线（6）ABA(05B(20,8x2(5(15x)2(h2x2(5(15x)2(h2F(x)

6

7.2h1(6s)其中s2112202421

，

[0,)3(15(15x)2(hh 25(8h2x2(5x2(5h1

x

7.2h1(6hhh

[0,3权重FE权重FE(x由数学上有这样一种问题，其表述为——费马点问题[1]：如图(7)平面上给定三个A、B、CPPA+PB+PCP点称为“费马点。费马问题可进一步推广，表述为的费马问题——费马—图运用物理上的平衡态公理（势能最小原理）和正弦定理即可证明费马—尔点IIH到点A、H到点D和H到铁点C的费马—尔路线最短y

A(0,H(x, 图即 g(x,y)5.6HA6.0HD因为HA(x,5y)、HC(0,y)、HD(x1x,y1y)，又根据费马—尔sinCHDsinCHAsin

通过向量的点积公式可求得各个角的余弦，又因为其中任意角均在(0,)1cos2所以sin1cos2sinCHDsin

(x 5.62[(xx)2(yy)2

36[x2(y5)2sinCHAsin HDD点坐标IIID点坐标的函数，模型的检B，CDA+DB+DCDABCDsin

sin

sinp1,p2,p3DA，DB，DCp1p2p3BDCBDAADCD 图HABCHAHCHB为最问题一中我们假设共用管道的费用为,题中运用了光反射原理列出函数关44(yy44A(0,y)，B（x,y

H( 1,0 1 )

sinAHE

AE