行列式线性代数教程

线性代数行列式.矩阵的概念和运算.逆矩阵.矩阵的初等变换.一般线性方程组.1行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第1页!7.1行列式主要内容：1.二阶行列式.2.三阶行列式.3.n阶行列式.4.行列式的性质.5.克莱姆法制.2行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第2页!我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算．考虑二元线性方程组一、二阶行列式3行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第3页!如果那么方程组的解为

4行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第4页!例1计算下列各行列式5行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第5页!的系数所构成的行列式规定为此式的右端称为三阶行列式按行的展开式．6行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第6页!下面介绍三阶行列式的展开式：7行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第7页!例2计算下列三阶行列式：8行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第8页!三、n阶行列式一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，……，依此类推，一般地，可以用n个n-1阶行列式来定义n阶行列式，下面给出n阶行列式的定义：定义设n-1阶行列式已经定义，规定n阶行列式9行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第9页!由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式．这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第1行展开．10行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第10页!例4计算行列式.11行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第11页!行列式D与它的转置行列式DT的值相等．如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和．四、行列式的性质性质1性质212行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第12页!13行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第13页!04320-1-11044714行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第14页!15行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第15页!行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1,2,…,n）．行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+…+ajnAin=0（i,j=1,2,…,n,

i≠j）．例８按第三行展开计算行列式性质7推论16行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第16页!设n元n个方程组为其系数行列式为五、克莱姆法则.17行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第17页!关于线性方程组（1）的解有下述法则：当线性方程组（1）的系数行列式D≠0时，该方程组有且只有唯一解：例９用克莱姆法则解方程组克莱姆法则18行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第18页!经计算还可得到19行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第19页!方程组的解为20行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第20页!如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表

引入记号||那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为此式的右端称为二阶行列式的展开式

aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列．21行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第21页!类似地，三元线性方程组

二、三阶行列式22行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第22页!三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号．这种展开法称为对角线展开法．这种展开法称为对角线展开法23行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第23页!其中A11、A12、A13分别称为a11、a12、a13的代数余子式，24行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第24页!25行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第25页!其中A1j=(-1)1+jM1j(j=1,2,………n)这里M1j为元素a1j的余子式，即为划掉A的第1行第j列后所得的n-1阶行列式，A1j称为a1j的代数余子式．26行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第26页!解因为a12=a13=0所以由定义27行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第27页!解由定义，将Dn

按行展开，得28行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第28页!如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于kD．也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反．如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零．如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零．“行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数k，使ali=kalj(l=1,2…n)．

性质3性质4推论性质529行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第29页!如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的值相等．由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：1.以（r）代表行，（c）代表列．2.把第i

行（或第i列）的每一个元素加上第j行（或第j列）对应元素的k倍，记作（ri）+k（rj）[或（ci）+k（cj）]．3.互换i

行（列）和j行（列），记作（ri）↔（rj）[或（ci）↔（cj）]．性质630行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第30页!00-160001131行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第31页!32行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第32页!33行列式线性代数教程共37页，您现在浏览的是第33页!在系数行列式D中第j列的元素依次改换为b1，b2，…bn，得到的行列式记作Dj，即：34行