2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷(理科)

2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷(理科)2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷(理科)2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷(理科)xxx公司2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷(理科)文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，则M∩N等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣3，1）2．（5分）i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．（5分）数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为8、2，则输出的n＝（）A．2 B．3 C．5 D．45．（5分）“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥26．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c•cosB＝2a+b，则∠C＝（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．（5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A．30种 B．50种 C．60种 D．90种8．（5分）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29π B．30π C． D．216π9．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，||＝||，则•等于（）A． B． C．3 D．10．（5分）已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则|PF|＝（）A．1 B．2 C．2 D．211．（5分）一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A．1 B． C． D．12．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），满足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）为f（x）的导函数，且（x﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）＝f（x2） D．不确定二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于．14．（5分）已知曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．15．（5分）设a＝（sinx+cosx）dx，则二项式（a）6展开式中含x2项的系数是16．（5分）在实数集R中定义一种运算“●”，具有性质：（1）对任意a，b∈R，a●b＝b●a；（2）对任意a∈R，a●0＝a；（3）对任意a，b∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．则函数f（x）＝x●（x＞0）的最小值为．三、解答题（每小题12分，共60分）17．（12分）已知等比数列{an}是递增数列，且a1+a5＝，a2a4＝4．（1）求数列{an}的通项公式（2）若bn＝nan（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．18．（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A，B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：寿命类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？

参考数据：．参考公式：回归直线方程为．19．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y＝k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在x＝1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，证明不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）选做题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求α．23．设函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣2|（x∈R，a∈R）．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）若f（x）≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．

2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，则M∩N等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣3，1）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】由二次不等式的解法得：M＝（﹣1，3），由集合交集及其运算得：M∩N＝（﹣1，1），得解．【解答】解：解二次不等式（x+1）（x﹣3）＜0得：﹣1＜x＜3，即M＝（﹣1，3），又集合N＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1），所以M∩N＝（﹣1，1），故选：C．【点评】本题考查了二次不等式的解法及集合交集及其运算，属简单题．2．（5分）i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（1+mi）（1+i）＝（1﹣m）+（1+m）i是纯虚数，∴，即m＝1．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y＝﹣2x，当过点（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最大，从而求出所求．【解答】解：x，y满足约束条件的平面区域如下图所示：平移直线y＝﹣2x，由图易得，当x＝0，y＝﹣1时，即经过A时，目标函数z＝2x+y的最小值为：﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为8、2，则输出的n＝（）A．2 B．3 C．5 D．4【考点】EF：程序框图．【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】根据条件进行模拟运算即可．【解答】解：n＝1，a＝8+4＝12，b＝4，a＜b否，n＝2，n＝2，a＝12+6＝18，b＝8，a＜b否，n＝3，n＝3，a＝18+9＝27，b＝16，a＜b否，n＝4，n＝4，a＝27+＝，b＝32，a＜b否，n＝5，n＝5，a＝+＝，b＝64，a＜b是，输出n＝5，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和识别，结合条件进行模拟运算是解决本题的关键．5．（5分）“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．【分析】由二次不等式恒成立问题得：：“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的充要条件为：“（﹣2）2﹣4m≤0“即”m≥1“，由充分必要条件得：“m≥2“是”m≥1“的充分不必要条件，即“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：”m≥2“，得解．【解答】解：“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的充要条件为：“（﹣2）2﹣4m≤0“即”m≥1“，又“m≥2“是”m≥1“的充分不必要条件，即“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：”m≥2“，故选：D．【点评】本题考查了二次不等式恒成立问题及充分必要条件，属简单题．6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c•cosB＝2a+b，则∠C＝（）A．30° B．60° C．120° D．150°【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】结合题意，由余弦定理可得2c×＝2a+b，变形可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，根据余弦定理可求cosC的值，结合C的范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，若2c•cosB＝2a+b，则有：2c×＝2a+b，整理得：a2+b2﹣c2＝﹣ab，可得：cosC＝＝＝﹣，又在△ABC中，0°＜C＜180°，∴C＝120°．故选：C．【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题．7．（5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A．30种 B．50种 C．60种 D．90种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】32：分类讨论；5I：概率与统计．【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，所以总共有20+30＝50种．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，属于简单题．8．（5分）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29π B．30π C． D．216π【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：．该三棱锥的外接球的表面积为：，故选：A．【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，||＝||，则•等于（）A． B． C．3 D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．【解答】解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．则，故选：C．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．10．（5分）已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则|PF|＝（）A．1 B．2 C．2 D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标（，0），利用抛物线的简单性质求出直线方程，然后求出结果．【解答】解：抛物线的焦点坐标（，0），可得直线PF：y＝（x﹣），可得：，可得：x＝，则y＝，|PF|＝＝2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A．1 B． C． D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半．【解答】解：正方体的对角线长为2，故当正方体旋转的新位置的最大高度为2，又水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为．故选：C．【点评】本题考查了几何体的体积计算，属于基础题．12．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），满足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）为f（x）的导函数，且（x﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）＝f（x2） D．不确定【考点】3E：函数单调性的性质与判断；62：导数及其几何意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由“f（3﹣x）＝f（x）”，知函数图象关于直线x＝对称，再由“f′（x）＜0”可知：当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数，最后由“x1＜x2，且x1+x2＞3”，得知x1，x2∈（，+∞），应用单调性定义得到结论．【解答】解：∵f（3﹣x）＝f（x），∴函数图象关于直线x＝对称，又∵f′（x）＜0∴当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数∵x1＜x2，且x1+x2＞3∴x1，x2∈（，+∞）∴f（x1）＞f（x2）故选：B．【点评】本题主要考查函数的对称性和单调性，这里还考查了导数，当导数大于零时，函数是增函数，当导数小于零时，函数是减函数．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于﹣1．【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】利用斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1，解方程求出实数a的值．【解答】解：∵直线y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，∴他们的斜率之积等于﹣1，即a×（a+2）＝﹣1，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1．14．（5分）已知曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，求得f（x）在点（1，f（1））处切线斜率，利用同角三角函数关系式即可化简得解．【解答】解：因为：曲线f（x）＝x3．所以：函数f（x）的导函数f′（x）＝2x2，可得：f′（1）＝2，因为：曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，所以：tanα＝f′（1）＝2，所以：＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查三角函数化简求值，属于基础题．15．（5分）设a＝（sinx+cosx）dx，则二项式（a）6展开式中含x2项的系数是﹣192【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；52：导数的概念及应用；5P：二项式定理．【分析】根据题意，由定积分计算公式可得a＝（sinx+cosx）dx＝sinxdx+cosxdx＝（﹣cosx）+sinx＝2，即可得a的值，由二项式定理分析可得该二项式展开式的通项，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，a＝（sinx+cosx）dx＝sinxdx+cosxdx＝（﹣cosx）+sinx＝2，二项式（a）6即（2）6，其展开式的通项为Tr+1＝（2）6﹣r（﹣）r＝（﹣1）r××26﹣rx3﹣r，当r＝1时，有T2＝（﹣1）××25x2＝﹣192；故答案为：﹣192．【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及定积分的计算，属于基础题．16．（5分）在实数集R中定义一种运算“●”，具有性质：（1）对任意a，b∈R，a●b＝b●a；（2）对任意a∈R，a●0＝a；（3）对任意a，b∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．则函数f（x）＝x●（x＞0）的最小值为3．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】23：新定义；35：转化思想；59：不等式的解法及应用．【分析】令c＝0，代入得（a•b）•0＝0•（ab）+（a•0）+（b•0）＝ab+a+b．求出f（x）解析式，进而得到f（x）最小值．【解答】因为在（3）中，对任意对任意a∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．令c＝0，代入得（a•b）•0＝0•（ab）+（a•0）+（b•0）．由（1）中a●b＝b●a可得（a•b）•0＝0•（ab）+（a•0）+（b•0）．由（2）中a●0＝a，化简可得（a•b）•0＝ab+a+b．所以f（x）＝f（x）•0＝（x●）•0＝1+x+，因为x＞0，由基本不等式可得f（x）＝1+x+≥1+2＝3，故填：3．【点评】本题为新定义题，理解好定义并合理使用定义中的条件，是解题关键．还考查了基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题（每小题12分，共60分）17．（12分）已知等比数列{an}是递增数列，且a1+a5＝，a2a4＝4．（1）求数列{an}的通项公式（2）若bn＝nan（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据{an}是递增等比数列，a1+a5＝，a2a4＝4．即可求解数列{an}的通项公式（2）由bn＝nan（n∈N*），可得数列{bn}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和Sn．【解答】解：（1）由{an}是递增等比数列，a1+a5＝，a2a4＝4＝a32＝4∴a1+a1q4＝，；解得：a1＝，q＝2；∴数列{an}的通项公式：an＝2n﹣2；（2）由bn＝nan（n∈N*），∴bn＝n•2n﹣2；∴S1＝；那么Sn＝1×2﹣1+2×20+3×21+……+n•2n﹣2，①则2Sn＝1×20+2×21+3×22+……+（n﹣1）2n﹣2+n•2n﹣1，②将②﹣①得：Sn＝+n•2n﹣1；即：Sn＝﹣（2﹣1+20+2+22+2n﹣2）+n•2n﹣1＝+n•2n﹣1．【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18．（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A，B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：寿命类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？

参考数据：．参考公式：回归直线方程为．【考点】BK：线性回归方程．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】（1）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；（2）分别计算相应的数学期望，即可得出结论．【解答】解：（1）由折现图可知统计数据（，）共6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21），计算可得＝（1+2+3+4+5+6）＝，＝yi＝•96＝16，故＝＝2，故＝﹣＝16﹣2•＝9，∴x关于y的线性回归方程为＝2x+9，故x＝11时，则＝2×11+9＝31，即预测公司2018年1月份（即x＝7时）的利润为31百万元；（2）由频率估计概率，A型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为，，，，∴A型材料利润的数学期望为（5﹣10）×+（10﹣10）×+（15﹣10）×+（20﹣10）×＝万元；B型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为，，，，∴B型材料利润的数学期望为（5﹣12）×+（10﹣12）×+（15﹣12）×+（20﹣12）×＝万元；∵＞，∴应该采购A型材料．【点评】本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD，进而BD⊥DE，由此能证明BD⊥平面ADE，从而AE⊥BD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD＝DE＝1，四边形EDCF是正方形，∠ADC＝∠DCB＝120°．∴AD＝DC＝BC＝1，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，∠ADE＝90°，∴AD⊥DE，DC⊥DE，又AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥DE，∵AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE，∵AE⊂平面ADE，∴AE⊥BD．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），F（0，1，1），B（0，，0），D（0，0，0），E（0，0，1），＝（1，﹣1，﹣1），＝（0，，0），＝（0，0，1），平面BDE的法向量＝（1，0，0），设直线AF与平面BDF所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y＝k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得＝3，以及直线y＝﹣与椭圆C相切，可得b＝，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵在＝1（a＞b＞0）中，令x＝c，可得y＝±，∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，∴＝3，∵直线y＝﹣与椭圆C相切，∴b＝，∴a＝2∴a2＝4，b2＝3．故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c＝1，则直线l的方程为y＝k（x+1），联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，则△＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴y1y2＝k2（x1+1）（x2+1）＝﹣，∵（）＜1，∴•＜1，∴（x2﹣1，y2）（x1﹣1，y1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜1，即++1﹣＜1，整理可得k2＜4，解得﹣2＜k＜2，∴直线l存在，且k的取值范围为（﹣2，2）．【点评】本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在x＝1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e﹣1时，证明不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；15：综合题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（1）由f（x）＝ax﹣1﹣lnx，求得f′（x）＝．然后分a≤0与a＞0两种情况讨论，从而得到f′（x）的符号，可得f（x）在其定义域（0，+∞）内的单调性，最后综合可得答案；（2）函数f（x）在x＝1处取得极值，由（1）的讨论可得a＝1．将不等式f（x）≥bx﹣2化简整理得到1+﹣≥b，再构造函数g（x）＝1+﹣，利用导数研究g（x）的单调性，得到[g（x）]min＝1﹣]．由此即可得到实数b的取值范围；（3）设函数F（t）＝，其中t＞e﹣1．利用导数研究F（x）的单调性，得到得F（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数．从而得到当x＞y＞e﹣1时，F（x）＞F（y）即＞，变形整理即可得到不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）成立．【解答】解：（1）∵f（x）＝ax﹣1﹣lnx，∴f′（x）＝a﹣＝，当a≤0时，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x≤，f'（x）＞0得x＞，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．（2）∵函数f（x）在x＝1处取得极值，∴根据（1）的结论，可得a＝1，∴f（x）≥bx﹣2，即x+1﹣lnx≥bx，两边都除以正数x，得1+﹣≥b，令g（x）＝1+﹣，则g′（x）＝﹣﹣＝﹣（2﹣lnx），由g′（x）＞0得，x＞e2，∴g（x）在（0，e2）上递减，由g′（x）＜0得，0＜x＜e2，∴g（x）在（e2，+∞）上递增，∴g（x）min＝g（e2）＝1﹣，可得b≤1﹣，实数b的取值范围为（﹣∞，1﹣]．（3）令F（t）＝，其中t＞e﹣1可得F'（t）＝＝再设G（t）＝ln（1+t）﹣，可得G'（t）＝+＞0在（e﹣1，+∞）上恒成立∴G（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数，可得G（t）＞G（e﹣1）＝lne﹣＝1﹣＞0因此，F'（t）＝＞0在（e﹣1，+∞）上恒成立，可得F（t）＝是（e﹣1，+∞）上的增函数．∵x＞y＞e﹣1，∴F（x）＞F（y），可得＞∵ln（1+x）＞0且ln（1+y）＞0，∴不等式两边都乘以ln（1