高中一年级(下)(清北班)资料8(均值不等式和不等式的证明)

..专题八：均值不等式和不等式的证明选讲一、基础梳理1．常用的基本不等式和重要的不等式：〔1当且仅当取""号；〔2；〔3,则。2．均值不等式：两个正数的均值不等式：；三个正数的均值不等式：；个正数的均值不等式：。3．四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是：。小结："算数平均数几何平均数"的多种表达形式：整式形式根式形式分式形式倒数形式4.均值不等式求最值：〔1如果〔定值,由______________,当时,有____________；〔2如果〔定值,由______________,当时,有____________；注：上述方法对三个正数也成立。利用均值不等式求最值必须注意："一正、二定、三相等"。三者缺一不可！5．不等式的证明方法：〔1比较法：作差比较：；作商比较：。作差〔商比较的步骤：①作差〔商：对要比较大小的两个数〔或式作差〔商；②变形：对差进行因式分解或配方成几个数〔或式的完全平方和〔对商式进行因式分解或约分等；③判断差的符号〔商与1的大小：结合变形的结果及题设条件判断差的符号〔商与1的大小。注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。〔2综合法：由因导果。〔3分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……,只需证……①"分析法"证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。②"分析法"证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用"综合法"进行表达。〔4反证法：正难则反。〔5放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：；；②将分子或分母放大〔或缩小；③利用基本不等式,如：；；④利用常用结论：Ⅰ；Ⅱ；〔程度大Ⅲ。〔程度小Ⅳ〔程度更小Ⅴ真分式放缩：；假分式放缩：〔6换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知,可设；已知,可设；已知,可设；已知,可设。〔7构造法：通过构造函数、图象与图形、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法、放缩法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点。二、能力巩固考点一：均值不等式与最值1.已知,,则的最小值______________。2．设,最大值是〔A.1B.C.D.3.已知,且,若,则的最大值为_____________。4.已知都在区间内,且,则函数的最小值是〔A． B． C． D．5.若是与的等比中项,则的最大值为〔A.B.1C.D.6．设是定义其中分别是的面积,的最小值是_______________。7．若a,b均为正实数,且恒成立,则m的最小值是______________。变式：〔1若不等式对任意正实数、都成立,则的最大值是〔A．1 B．2 C．3 D．5〔2若对于任意的实数且,不等式恒成立,则实数的最大值是___________。8.设都是整数,且满足,则的最大可能值为〔A.32 B.25 C.18 D.169.函数的值域为〔A. B. C. D.练习：使关于的不等式有解的实数的最大值是〔A．B．C．D．10．若实数满足,则的最小值为_______________。11．已知且,则的最小值为〔A.B.C.D.练习：若且,则的最小值为_______________。12.已知不等式对于恒成立,则的取值范围___________________。13.若实数满足,则的最大值是〔A.B.C.D.14．已知实数不全为零,设正数满足,令的最大值为,则的最小值为_______________。考点二：数列与不等式的证明选讲1．已知数列的前项和满足。〔1写出数列的前三项；〔2求数列的通项公式；〔3证明：对任意的整数,有。2．设各项为正的数列满足：令<Ⅰ>求<Ⅱ>求证：3.在数列中,已知,,。〔1证明数列为等比数列,并求数列的通项公式；〔2求证：,。4.已知。〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ设为数列的前项和,求证：；〔Ⅲ求证：。5．已知数列中,a1=1,且满足递推关系〔1当m=1时,求数列的通项〔2当时,数列满足不等式恒成立,求m的取值范围；〔3在时,证明6．古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为"河内宝塔问题"的游戏,其玩法如下：如图,设有个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在柱上,现要将套在柱上的盘