离散数学：代数系统的基本概念

1第三篇代数系统23近世代数

一般意义下，代数被认为是对符号的操作。代数的发展以其内容和研究问题的方法的不同分为两个历史阶段：古典代数：“每个符号总是代表一个数”；近世代数：在任意性质的元素上所进行的代数运算作为研究的基本对象。 代数系统又称作代数结构，是近世代数或抽象代数研究的中心问题。

代数系统的知识模块主要讨论：

代数系统的构成

代数系统的产生

代数系统间的关系

几类重要的代数系统4

代数系统的知识模块

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教材离散数学左孝凌李为鑑刘永才编著上海科学技术文献出版社

参考离散数学题解付艳芬编石油大学离散数学教程耿素云屈婉玲王捍贫北京大学出版社DiscreteMathematicsandItsApplications

KennethRosenMcGrawHillCompaniesMOOC学院：/coursestatic/course_6447.html6第五章代数系统代数系统的基本概念1半群与含幺半群（独异点）2群（阿贝尔群与循环群）3子群与陪集4同态与同构5环与域671.n元运算定义1：设A是非空集合，一个从An到B的映射f:AnB称为集合A上的一个n元运算，其中n是自然数，称为运算的元数或阶。 若BA，则称该n元运算是封闭的。特别的：当n=1时，称f为一元运算；

当n=2时，称f为二元运算。8设A是非空集合，函数f：A×A→A称为A上的二元运算，简称为二元运算.8

二元运算举例（1）加法、乘法是自然数集合N上的二元运算，减法和除法不是.（2）加法、减法和乘法是整数集合Z上的二元运算，而除法不是.（3）乘法、除法是非零实数集R*上的二元运算，加法、减法不是.（4）设S={a1,a2,…,an},aiaj=ai为S上二元运算.（5）S为任意集合，则∪、∩、－、

为P(S)上的二元运算.（6）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运算.（7）设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.9设A是非空集合，函数f：A→A称为A上的一元运算，简称为一元运算.（1）求相反数是整数集合Z，有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.

（2）求倒数是非零有理数集合Q*，非零实数集合R*上的一元运算.

（3）求共轭复数是复数集合C上的一元运算.

（4）在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算~是P(S)上的一元运算（5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算.（6）在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算.10

一元运算举例11可以用，∗，•，~，

，

，

等符号表示二元或一元运算，称为算符.公式表示一元运算的算符通常放在运算对象前面，如~a，–2；二元运算的算符通常放在运算对象中间，如(ai,aj)写成aiaj；n元运算的算符通常放在运算对象前面，如f(a1,a2,…,an)。n元运算的表示12运算表表示有穷集上的一元和二元运算n元运算的表示13

代数系统的组成代数载体(如实数集、整数集)运算法则如＋、－×………特异元素如×中的1和0代数系统2.代数系统142.代数系统定义2：一个非空集合A，连同定义在A上的若干个运算f1,f2,…,fk，组成的系统称为一个代数系统，记为<A,f1,f2,…,fk>。

常见代数系统举例<I+,+>正整数集合上的加法运算<R,+,->实数集上的加、减P(S),∪,∩,~>集合S的幂集上的并、交、补<P,*>P：石油大学的学生，*：是一个抽象运算，P1*P2的运算结果是P1和P2中年龄较小者2.代数系统定义2：一个非空集合A，连同定义在A上的若干个运算f1,f2,…,fk，组成的系统称为一个代数系统，记为<A,f1,f2,…,fk>。<N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>是代数系统，+和·分别表示普通加法和乘法.<Mn(R),＋,·>是代数系统，＋和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法.<Zn,,>是代数系统，Zn＝{0,1,…,n-1}，和分别表示模n的加法和乘法，对于x,y∈Zn，xy=(x＋y)modn，xy=(xy)modn<P(S),,,~>也是代数系统，和为并和交，~为绝对补<P,*>P：石油大学的学生，*：是一个抽象运算，P1*P2的运算结果是P1和P2中年龄较小者15

常见代数系统举例163.代数系统中的运算性质1）*是定义在A上的二元运算，对于A中任意元素x,y，都有x*y∈A，则称*在A上是封闭的。 例：加、减运算在整数集合上是封闭的；

除在整数集合上是不封闭的；

减在自然数集合上也是不封闭的。2）*是定义在A上的二元运算，对于A中任意元素x,y，都有x*y=y*x，则称*在A上是可交换的。3）*是定义在A上的二元运算，对于A中任意元素x,y,z都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称*在A上是可结合的。 例：加运算在正整数集合上是可交换的、可结合的；

减运算在正整数集合上是不可交换的、不可结合。17例1：设Q是有理数集，*是Q上的二元运算，对于Q上的任意元素a,b，有a*b=a+b-a•b，问*是否可交换、可结合？(注：+、-、•是普通的加减乘运算)证明：

(1)∵对Q上的任意元素a,b，有

a*b=a+b-a•b=b+a-b•a=b*a ∴*可交换

(2)取任意的a,b,c∈Q (a*b)*c=(a*b)+c-(a*b)•c=(a+b-a•b)+c-(a+b-a•b)•c =a+b-a•b+c-a•c-b•c+a•b•c a*(b*c)=a+(b*c)-a•(b*c)=a+(b+c-b•c)-a•(b+c-b•c) =a+b-a•b+c-a•c-b•c+a•b•c=(a*b)*c ∴*可结合184）*是定义在A上的二元运算，若对于A中任意元素x,都有x*x=x，则称*在A上是等幂的。 例：对任意集合A，有A∪A=A，A∩A=A，∪和∩在全集上是等幂的。19例

Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有无无Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法有无有有无无P(B)并交相对补对称差有有无有有有无有有有无无AA函数符合无有无5）*是定义在A上的二元运算，也是定义在A上的二元运算，若 x*(yz)=(x*y)(x*z)， (yz)*x=(y*x)(z*x)，

则称*对是可分配的。例：∪对∩是可分配的，∩对∪是可分配的；

×对+是可分配的；+对×是不可分配的注意：定义中的顺序，*对是可分配的，对*不一定是可分配的。20216）*和是A上可交换的二元运算，若x*(xy)=x，x(x*y)=x，则称*和满足吸收律。 例：∪和∩满足吸收律。注意：

*和都是可交换的，两个式子要同时成立。例2：在自然数集上定义如下两个运算*和

x*y=max{x,y}xy=min{x,y}，则*，是否满足吸收律？解：x*y=y*x，xy=yx即*和可交换

x*(xy)=max(x,xy)=max(x,min(x,y))=x x(x*y)=min(x,x*y)=min(x,max(x,y))=x

所以，*和满足吸收律。例Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|222

集合

运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配无P(B)并与交

对可分配对可分配有

交与对称差

对可分配无237)

a,b,cA，若a*b=a*c(b*a=c*a)，则b=c，则称*满足左（右）消去律，若*满足左消去律又满足右消去律则称*满足消去律。 例：代数系统<I,+>,<R,+>,<I,

>,<R,>满足消去律<Mn(R),+>满足消去律,<Mn(R),>不满足消去律244.代数常元定义3：设*是集合A上的二元运算若elA，对于xA

，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的左幺元；若erA，对于xA

，都有x*er=x，则称er为A中关于运算*的右幺元；若eA，对于xA

，都有e*x=x*e=x，则称e为A中关于运算*的幺元。例：代数系统<I,+>中，0是I中关于+的幺元，

<I+,+>中没有幺元，<I,>中1是I中关于乘法的幺元 ∴幺元与集合有关，与运算有关。

幺元25定理1：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左幺元el和右幺元er，则el=er=e，且A中幺元是唯一的。证明：

(1)er=el

*er

=el=e (2)设e’也是A中关于*的幺元，则e*e’=e

又∵

e是A中关于*的幺元，∴e*e’=e’ ∴e=e’26定义4：设*是集合A上的二元运算若lA，对于xA

，都有l*x=l

，则称l为A中关于运算*的左零元；若rA，对于xA

，都有x*r=r

，则称r为A中关于运算*的右零元；若A，对于xA

，都有*x=x*=，则称为A中关于运算*的零元。例：代数系统<I,+>是否有零元？

<I,>中0是I中关于乘法的零元

零元27定理2：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左零元l和右零元r，则l=r=

，且A中零元是唯一的。证明：(1)

r=

l

*

r=

l= (2)设’也是A中关于*的零元，则

*’=’

又∵

是A中关于*的零元，∴

*’=

∴=’定理3：设<A,*>是一个代数系统，且|A|>1，若<A,*>中存在幺元e和零元，则e≠。证明：假设

=e，则 对于A中任意元素，有x=e*x=*x==e

即A中所有元素都是，也都是e，所有元素都相同， ∴|A|=1与已知矛盾，假设错 ∴e≠28例3：写出下列代数系统中关于运算的幺元、零元，并判断是否有等幂性。代数系统幺元零元等幂性<I+,+><I

,><P(S)

,∩><P(S)

,∪><I+,max>×××10×SØØS1×29定义5：设代数系统<A,*>，e是关于*的幺元，若对A中一个元素a，存在着A中的某个元素b，使得b*a=e成立，则称b为a的左逆元；使得a*b=e成立，则称b为a的右逆元；使得b*a=e=a*b成立，则称b为a的逆元，记为b=a-1。例：

<I,+>中，0是幺元，对I中任意元素x，

有-x+x=0=x+(-x) ∴x-1=-x (-x)-1=x注意：幺元和零元是对代数系统而言，

例如：0是<I,+>中I关于+的幺元；逆元是对系统中某个具体元素而言，

例如：<I,+>中元素1的逆元是-1。

逆元30例4：集合S={a,b,c,d,e}，定义在S上二元运算*的运算表如下，指出<S,*>中各元素的左右逆元情况。解：a是幺元；

b有两个左逆元c和d，右逆元是c，逆元是c；

c的左、右逆元都是b，逆元是b；b和c互为逆元；

d的左逆元是c，右逆元是b；

e没有左逆元，右逆元是c。*abcdeaabcdebbdacdccababddacdceedace31

注意若a是b的逆元，则b也是a的逆元，即a与b互为逆元；若b是a的左逆元，则a是b的右逆元；一个元素左逆元不一定等于它的右逆元；一个元素可以只有一个左(右)逆元，没有右(左)逆元；或者有多个左逆元，多个右逆元；或者既没有左逆元，也没有右逆元。32定理4：设代数系统<A,*>，这里*是定义在A上的一个二元运算，A中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元。如果*是可结合的运算，那么，这个代数系统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。证明：设aA,且bA是a的左逆元，cA是b的左逆元。

a*b=(e*a)*b =((c*b)*a)*b =(c*(b*a))*b =c*((b*a)*b) =c*b=e ∴b也是a的右逆元设元素a有两个逆元b和d，则b=b*e =b*(a*d) =(b*a)*d =e*d=d ∴a的逆元是唯一的。33<A,*>是代数系统，*是A上的二元运算，那么该运算的有些性质可以从运算表中直接看出。方法如下：1)*有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A；2)*有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线对称；3)*有等幂性，当且仅当每个对角线元素与它所在行（列）的表头元素相同；4)A中关于*有零元，当且仅当该元素对应的行和列中的元素都与该元素相同；5)A中关于*有幺元，当且仅当该元素对应的行和列依次与运算表的行和列一致；6)设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所在列的对应元素以及b所在行，a所在列的对应元素都是幺元。