第五概率与概率分布课件

第五概率与概率分布第五概率与概率分布1（优选）第五概率与概率分布（优选）第五概率与概率分布2第一节

随机事件与概率一、随机事件及其运算（一）基本概念随机现象（偶然现象、不确定现象）——在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。从一次观察来看，随机现象似乎没有什么规律，但大量观察的结果会呈现出某种明显的规律性。第一节随机事件与概率一、随机事件及其运算3随机试验－－－严格意义上的随机试验满足三个条件试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。随机试验－－－严格意义上的随机试验满足三个条件4随机事件－简称事件，随机试验（或随机现象）的每一个可能结果基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。基本事件的全体（全集）称为样本空间或基本空间复合事件－由某些基本事件组合而成的事件，也称为样本空间中的子集。随机事件－简称事件，随机试验（或随机现象）的每一个可能结果5必然事件－－在一定条件下，每次试验都必然发生的事件。

不可能事件－－在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件。

必然事件－－在一定条件下，每次试验都必然发生的事件。6

B（二）随机事件的关系和运算1、事件的包含事件B包含事件A，是指事件A发生必然导致事件B发生。AB（二）随机事件的关系和运算1、事件的7基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。连续随机变量——取值不能一一列举。或P(AB)＝P(B)P(A|B)有些概率是无法精确计算的。将离散型随机变量X的所有可能取值xi及其对应的概率P(xi)用函数式、表格或图形表示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。但最常用的是求在中心（均值μ）附近、标准差σ的1、2、3倍区间内的概率1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；均方差（或标准差σ）＝方差的平方根复合事件－由某些基本事件组合而成的事件，也称为样本空间中的子集。比如,你对别人说你下一个周末去公园的概率是百分之八十。由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的χ2分布，记为χ2(n);基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。均方差（或标准差σ）＝方差的平方根连续型随机变量的分布函数不同点t分布两边尾巴比较高而顶部比较低。(1)条件概率——在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，称为“事件A已经发生的条件下B发生的条件概率”，记为P(B|A)，并且有二项分布的特例——二点分布（0－1分布）它衡量某种事件在一定期间出现的数目的概率。t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。2、事件的并（和）指事件A与事件B至少一个发生。AB基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点83、事件的交（积）指事件A与事件B同时发生。AB3、事件的交（积）指事件A与事件B同时发生。AB94、事件的差（A－B）指事件A发生而事件B不发生。AB4、事件的差（A－B）指事件A发生而事件B不发生。AB10查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；设X为随机变量，x为任意实数，称函数F（x）＝P(X≤x)为X的累计分布函数，简称分布函数。2、χ2分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；连续随机变量——取值不能一一列举。常用的连续型随机变量分布连续型随机变量的概率密度具有下列性质曲线的陡缓程度取决于参数(方差)σ2。（一）概率的性质连续随机变量——取值不能一一列举。在古典概型中，事件A发生的概率等于该事件所包含的基本事件数m占基本事件总数n的比重，即P(A)=m/n。许多随机变量服从或近似服从正态分布；1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的χ2分布，记为χ2(n);连续型随机变量的概率密度具有下列性质t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。在相同条件下重复进行n次试验，随着n的增大，事件A出现的频率趋于稳定，这个稳定值就是事件A发生的概率。5、互不相容（互斥）事件指事件A与事件B不可能同时发生。AB查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。5、互不116、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点A6、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点12概率和机会你可能经常听到概率（probability）这个名词。例如在天气预报中会提到降水概率。因此，从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。换言之，概率是在0和1之间的一个数，说明某事件发生的机会有多大。概率和机会你可能经常听到概率（probability）这个名13（三）事件的概率1、概率的古典定义古典概型（等可能概型）——具有以下两特点每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）；每个试验结果出现的可能性相同。概率的古典定义在古典概型中，事件A发生的概率等于该事件所包含的基本事件数m占基本事件总数n的比重，即P(A)=m/n。（三）事件的概率1、概率的古典定义142、概率的统计定义在相同条件下重复进行n次试验，随着n的增大，事件A出现的频率趋于稳定，这个稳定值就是事件A发生的概率。根据概率的古典定义，通过大量重复试验，可以用事件发生的频率来近似代替其概率。2、概率的统计定义153、概率的主观定义有些概率是无法精确计算的。既不能由等可能性来计算，也不可能从试验得出。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。

比如,你对别人说你下一个周末去公园的概率是百分之八十。3、概率的主观定义16连续随机变量——取值不能一一列举。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。自由度n趋于无穷，t分布逐渐趋于标准正态分布。F（x）＝P(X≤x)＝落在总体均值附近某一区间内的概率其分布形状取决于自由度。对于逆事件，P()=1－P(A)根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。对于逆事件，P()=1－P(A)6、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点D(X)＝np(1－p)第一节随机事件与概率基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。随机事件－简称事件，随机试验（或随机现象）的每一个可能结果连续随机变量——取值不能一一列举。二、概率的性质与运算法则（一）概率的性质概率具有三条公理（基本性质）1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；2、必然事件的概率为1，P(Ω)＝1；3、对于两两互斥事件Ai，有P(A1+A2+…)＝P(A1)+P(A2)+…连续随机变量——取值不能一一列举。二、概率的性质与运算法则（17（二）概率的运算法则

1．概率的加法公式对于两个互斥事件，P(A+B)＝P(A)+P(B)。即如果两个事件不可能同时发生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概率的和。对于两个任意事件，P(A+B)＝P(A)+P(B)－P(AB)。

即如果两个事件有可能同时发生，则“P(A)+P(B)”中事件A和B同时发生的概率P(AB)被重复计算了一次，因此，应该减去。对于逆事件

，P()=1－P(A)（二）概率的运算法则182．概率的乘法公式(1)条件概率——在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，称为“事件A已经发生的条件下B发生的条件概率”，记为P(B|A)，并且有P(B|A)＝P(AB)/P(A)(2)概率的乘法公式的一般形式P(AB)＝P(A)P(B|A)或P(AB)＝P(B)P(A|B)(3)如果事件A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)2．概率的乘法公式19第二节随机变量及其分布第二节20一、随机变量的概念随机变量表示随机试验结果的变量。对于随机试验的样本空间中的每一个样本点（事件ω

）总有一个实数X(ω)与之对应，则称实数函数X(ω)为随机变量，简记为X。离散型随机变量——取值可以一一列举;连续随机变量——取值不能一一列举。一、随机变量的概念随机变量表示随机试验结果的变量。21二、随机变量的概率分布（一）离散型随机变量的概率分布将离散型随机变量X的所有可能取值xi及其对应的概率P(xi)用函数式、表格或图形表示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。离散型随机变量的概率分布具有下列性质P(xi)≥0；

X10P0.50.5二、随机变量的概率分布（一）离散型随机变量的概率分布X1022（二）连续型随机变量的概率密度连续变量的概率分布是用概率分布密度函数

f(x)表示的，简称概率密度。连续变量落入某个区间的概率就是该概率密度曲线在这个区间上所覆盖的面积，即密度函数在这个区间上的积分。（二）连续型随机变量的概率密度23对于连续变量，取某个特定值的概率都是零，而只有变量取值于某个（或若干个）区间的概率才有意义P(x1<X≤x2)＝P(x1≤X<x2)＝对于连续变量，取某个特定值的概率都是零，而只有变量取值于某个24其分布形状取决于自由度。由于它特有的数学性质，许多分布（如二项分布）可以用正态分布近似计算；连续型随机变量的数学期望显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。例1已知x~χ2(6),求或P(AB)＝P(B)P(A|B)2、事件的并（和）指事件A与事件B至少一个发生。1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的χ2分布，记为χ2(n);因此，从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。2、F（6）;曲线在x=μσ及x=μ+σ处有拐点；P(AB)＝P(A)P(B|A)6、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点二项分布与泊松分布的关系连续型随机变量的分布函数落在总体均值附近某一区间内的概率基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。（二）随机事件的关系和运算连续随机变量——取值不能一一列举。落在总体均值附近某一区间内的概率连续型随机变量的概率密度具有下列性质1、f(x)≥02、其分布形状取决于自由度。连续型随机变量的概率密度具有下列性质25（三）随机变量的分布函数设X为随机变量，x为任意实数，称函数F（x）＝P(X≤x)为X的累计分布函数，简称分布函数。已知X的分布函数，就可以求出X在任一区间上的概率P(x1<X≤x2)＝F(x2)－F(x1)（三）随机变量的分布函数设X为随机变量，x为任意实数，称函数26离散型随机变量的分布函数

F（x）＝P(X≤x)＝连续型随机变量的分布函数

F（x）＝P(X≤x)＝离散型随机变量的分布函数27三、随机变量的数字特征（一）随机变量的数学期望（均值）

记为E(X)或μ它是随机变量所有可能取值的平均水平是随机变量集中趋势的度量。三、随机变量的数字特征（一）随机变量的数学期望（均值）28（一）随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望E(X)＝连续型随机变量的数学期望E(X)＝注意数学期望与加权算术平均数的相似与区别。（一）随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望29（二）随机变量的方差记为D(X)或σ2它们是随机变量所有可能取值偏离其均值的离差的平均水平是随机变量离中趋势的度量（二）随机变量的方差记为D(X)或σ230离散型随机变量的方差D(X)＝E[xi－E(X)]2＝∑[xi－E(X)]2P(xi)连续型随机变量的方差D(X)＝均方差（或标准差σ）＝方差的平方根离散型随机变量的方差31四、常用的随机变量分布（一）常用的离散型随机变量分布1.二项分布贝努里试验的特点（1）每次试验只有两种结果——“成功”(事件A发生)和“失败”(事件A不发生)；（2）每次试验得到一种结果的概率不变（“成功”的概率总是p）；（3）每次试验互相独立。四、常用的随机变量分布（一）常用的离散型随机变量分布32如果进行n次贝努里试验，每次成功的概率为p，那么成功次数X是一个随机变量，其概率分布就是一个二项分布，记为X~B(n，p)，此时，有,二项分布的数学期望和方差E(X)＝npD(X)＝np(1－p)二项分布的特例——二点分布（0－1分布）即n＝1时的二项分布。如果进行n次贝努里试验，每次成功的概率为p，那么成功次数X是332.泊松分布它衡量某种事件在一定期间出现的数目的概率。比如说在一定时间内顾客的人数、打入电话总机电话的个数、放射性物质放射出来并到达某区域的粒子数等等。在一定时间（或长度）、区域、容积内，小概率事件（稀有事件）发生的次数的概率分布常常用泊松分布来描述。2.泊松分布34参数为λ的泊松分布记为P(λ)。若X~P(λ)，则X取各个值的概率为,泊松分布的数学期望和方差E(X)＝λ；D(X)＝λ二项分布与泊松分布的关系以n、p为参数的二项分布，当n趋于无穷大时，二项分布趋近于以λ为参数的泊松分布，且λ＝np。参数为λ的泊松分布记为P(λ)。35（二）常用的连续型随机变量分布（二）361、正态分布正态分布是最重要、最常用的连续型随机变量分布。主要原因在于许多随机变量服从或近似服从正态分布；由于它特有的数学性质，许多分布（如二项分布）可以用正态分布近似计算；根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；由正态分布可以导出其他许多有用的分布（如卡方分布、t分布、F分布）等等。1、正态分布37正态分布曲线图均值不同，方差相同均值相同，方差不同σ=0.5σ=2正态分布曲线图σ=0.5σ=238正态分布的概率密度正态分布也是一族分布，各种正态分布根据它们的均值和标准差不同而有区别.若X服从正态分布，其均值为μ，方差为σ2，则记为X~N(μ,σ2)，其概率密度为

正态分布的概率密度39f(x)与F(x)1、f(x)概率密度函数；F(x):分布函数。2、函数表达式的区别f(x)与F(x)1、f(x)概率密度函数；403、图示的区别中3、图示的区别中41正态曲线正态分布的概率密度所对应的图形简称正态曲线正态曲线的主要特征钟型；对称（以X=μ为对称轴）；以X轴为渐近线；曲线在x=μσ及x=μ+σ处有拐点；曲线的陡缓程度取决于参数(方差)σ2。正态曲线42试验的所有可能结果是明确可知的；由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。连续变量的概率分布是用概率分布密度函数f(x)表示的，简称概率密度。2、χ2分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。（优选）第五概率与概率分布将离散型随机变量X的所有可能取值xi及其对应的概率P(xi)用函数式、表格或图形表示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。t分布还可以用χ2分布导出。（3）每次试验互相独立。显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；（二）连续型随机变量的概率密度不同点t分布两边尾巴比较高而顶部比较低。连续型随机变量的数学期望卡方(c2)分布的特点一般正态分布化为标准正态分布试验可以在系统条件下重复进行；＝∑[xi－E(X)]2P(xi)随机现象（偶然现象、不确定现象）——在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。标准正态分布特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。常用φ（x）、Ф（x）分别表示标准正态分布的概率密度和分布函数。任何正态分布变量都可以用简单的线性变换（减去其均值、再除以标准差）而成为标准正态分布。X~N(μ,σ2)，则Z=(X－

μ)/σ~N(0,1)试验的所有可能结果是明确可知的；标准正态分布43一般正态分布化为标准正态分布一般正态分布化为标准正态分布446、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。自由度n趋于无穷，t分布逐渐趋于标准正态分布。若X~P(λ)，则X取各个值的概率为,若X服从正态分布，其均值为μ，方差为σ2，则记为X~N(μ,σ2)，其概率密度为是随机变量离中趋势的度量常用φ（x）、Ф（x）分别表示标准正态分布的概率密度和分布函数。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。不可能事件－－在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件。离散型随机变量的分布函数但最常用的是求在中心（均值μ）附近、标准差σ的1、2、3倍区间内的概率连续变量落入某个区间的概率就是该概率密度曲线在这个区间上所覆盖的面积，即密度函数在这个区间上的积分。由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。例1已知x~χ2(6),求通常用tα表示对应于右尾概率α的t分布变量的值，即有P(t>tα)=α第一节随机事件与概率或P(AB)＝P(B)P(A|B)t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。例已知x~N(3,16),求:1、x≤8的概率;2、F（6）;3、f(6);4、5≤x≤8的概率6、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点45落在总体均值附近某一区间内的概率几乎所有的统计学书后都附有标准正态分布的函数值。查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。但最常用的是求在中心（均值μ）附近、标准差σ的1、2、3倍区间内的概率落在总体均值附近某一区间内的概率几乎所有的统计学书后都附有标46标准正态分布（图）及其概率标准正态分布（图）及其概率472、χ2分布(卡方分布)2、χ2分布48卡方

(c2)分布的定义卡方(c2)分布的定义49卡方

(c2)分布的图示不同自由度的卡方分布曲线n=1n=4n=10n=20卡方(c2)分布的图示n=1n=4n=10n=2050卡方

(c2)分布的特点1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的χ2分布，记为χ2(n);

卡方(c2)分布的特点1、n个独立的标准正态随机变量的平512、χ2

分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；3、随着自由度n的增大，χ2分布逐渐趋于正态分布;4、χ2分布适用于对总体方差的统计推断、拟合优度检验、独立性检验等等。2、χ2分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于52例1已知x~χ2(6),求1、x≥2.2的概率；2、若x≥a的概率为0.75，a值为多少？例1已知x~χ2(6),求53例2、例2、543.t分布3.t分布55第五概率与概率分布课件56t分布（图）N(0,1)t(n)t分布（图）N(0,1)t(n)57显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）；连续型随机变量的概率密度具有下列性质1、f(x)概率密度函数；例如在天气预报中会提到降水概率。落在总体均值附近某一区间内的概率2、χ2分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。即如果两个事件不可能同时发生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概率的和。连续型随机变量的概率密度具有下列性质三、随机变量的数字特征2．概率的乘法公式正态分布的概率密度所对应的图形简称正态曲线基本事件的全体（全集）称为样本空间或基本空间在相同条件下重复进行n次试验，随着n的增大，事件A出现的频率趋于稳定，这个稳定值就是事件A发生的概率。（二）随机事件的关系和运算有些概率是无法精确计算的。（一）随机变量的数学期望2、F（6）;但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。t分布的特点t分布也是一个以自由度为参数的分布族。其分布形状取决于自由度。标准正态曲线与t分布曲线异同相同点都是关于X=0对称的、取值范围都是∞<x<+∞。不同点t分布两边尾巴比较高而顶部比较低。自由度n趋于无穷，t分布逐渐趋于标准正态分布。因此，在大样本时，可以用标准正态分布来近似t分布。t分布还可以用χ2分布导出。显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。t分58t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。对于t分布，一般书上的t分布概率表给出的都是尾概率α，即t分布密度曲线尾部（单边或两边）的概率。通常用tα表示对应于右尾概率α

的t分布变量的值，即有P(t>tα)=α

t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时59例1若t~t(12),求1、t≥3.05的概率；2、t＜2.18的概率.例1若t~t(12),求604、F分布4、F分布61第五概率与概率分布课件62因此，从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。对于两个互斥事件，P(A+B)＝P(A)+P(B)。即如果两个事件有可能同时发生，则“P(A)+P(B)”中事件A和B同时发生的概率P(AB)被重复计算了一次，因此，应该减去。许多随机变量服从或近似服从正态分布；连续型随机变量的概率密度具有下列性质标准正态曲线与t分布曲线异同常用的连续型随机变量分布曲线的陡缓程度取决于参数(方差)σ2。曲线在x=μσ及x=μ+σ处有拐点；根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；二、随机变量的概率分布P(B|A)＝P(AB)/P(A)2、必然事件的概率为1，P(Ω)＝1；1．概率的加法公式连续变量的概率分布是用概率分布密度函数f(x)表示的，简称概率密度。即n＝1时的二项分布。在古典概型中，事件A发生的概率等于该事件所包含的基本事件数m占基本事件总数n的比重，即P(A)=m/n。连续型随机变量的数学期望F分布图F(10,8)F(6,8)F(2,8)因此，从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。F分布图63第五概率与概率分布第五概率与概率分布64（优选）第五概率与概率分布（优选）第五概率与概率分布65第一节

随机事件与概率一、随机事件及其运算（一）基本概念随机现象（偶然现象、不确定现象）——在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。从一次观察来看，随机现象似乎没有什么规律，但大量观察的结果会呈现出某种明显的规律性。第一节随机事件与概率一、随机事件及其运算66随机试验－－－严格意义上的随机试验满足三个条件试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。随机试验－－－严格意义上的随机试验满足三个条件67随机事件－简称事件，随机试验（或随机现象）的每一个可能结果基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。基本事件的全体（全集）称为样本空间或基本空间复合事件－由某些基本事件组合而成的事件，也称为样本空间中的子集。随机事件－简称事件，随机试验（或随机现象）的每一个可能结果68必然事件－－在一定条件下，每次试验都必然发生的事件。

不可能事件－－在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件。

必然事件－－在一定条件下，每次试验都必然发生的事件。69

B（二）随机事件的关系和运算1、事件的包含事件B包含事件A，是指事件A发生必然导致事件B发生。AB（二）随机事件的关系和运算1、事件的70基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。连续随机变量——取值不能一一列举。或P(AB)＝P(B)P(A|B)有些概率是无法精确计算的。将离散型随机变量X的所有可能取值xi及其对应的概率P(xi)用函数式、表格或图形表示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。但最常用的是求在中心（均值μ）附近、标准差σ的1、2、3倍区间内的概率1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；均方差（或标准差σ）＝方差的平方根复合事件－由某些基本事件组合而成的事件，也称为样本空间中的子集。比如,你对别人说你下一个周末去公园的概率是百分之八十。由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的χ2分布，记为χ2(n);基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。均方差（或标准差σ）＝方差的平方根连续型随机变量的分布函数不同点t分布两边尾巴比较高而顶部比较低。(1)条件概率——在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，称为“事件A已经发生的条件下B发生的条件概率”，记为P(B|A)，并且有二项分布的特例——二点分布（0－1分布）它衡量某种事件在一定期间出现的数目的概率。t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。2、事件的并（和）指事件A与事件B至少一个发生。AB基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点713、事件的交（积）指事件A与事件B同时发生。AB3、事件的交（积）指事件A与事件B同时发生。AB724、事件的差（A－B）指事件A发生而事件B不发生。AB4、事件的差（A－B）指事件A发生而事件B不发生。AB73查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；设X为随机变量，x为任意实数，称函数F（x）＝P(X≤x)为X的累计分布函数，简称分布函数。2、χ2分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；连续随机变量——取值不能一一列举。常用的连续型随机变量分布连续型随机变量的概率密度具有下列性质曲线的陡缓程度取决于参数(方差)σ2。（一）概率的性质连续随机变量——取值不能一一列举。在古典概型中，事件A发生的概率等于该事件所包含的基本事件数m占基本事件总数n的比重，即P(A)=m/n。许多随机变量服从或近似服从正态分布；1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的χ2分布，记为χ2(n);连续型随机变量的概率密度具有下列性质t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。在相同条件下重复进行n次试验，随着n的增大，事件A出现的频率趋于稳定，这个稳定值就是事件A发生的概率。5、互不相容（互斥）事件指事件A与事件B不可能同时发生。AB查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。5、互不746、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点A6、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点75概率和机会你可能经常听到概率（probability）这个名词。例如在天气预报中会提到降水概率。因此，从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。换言之，概率是在0和1之间的一个数，说明某事件发生的机会有多大。概率和机会你可能经常听到概率（probability）这个名76（三）事件的概率1、概率的古典定义古典概型（等可能概型）——具有以下两特点每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）；每个试验结果出现的可能性相同。概率的古典定义在古典概型中，事件A发生的概率等于该事件所包含的基本事件数m占基本事件总数n的比重，即P(A)=m/n。（三）事件的概率1、概率的古典定义772、概率的统计定义在相同条件下重复进行n次试验，随着n的增大，事件A出现的频率趋于稳定，这个稳定值就是事件A发生的概率。根据概率的古典定义，通过大量重复试验，可以用事件发生的频率来近似代替其概率。2、概率的统计定义783、概率的主观定义有些概率是无法精确计算的。既不能由等可能性来计算，也不可能从试验得出。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。

比如,你对别人说你下一个周末去公园的概率是百分之八十。3、概率的主观定义79连续随机变量——取值不能一一列举。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。自由度n趋于无穷，t分布逐渐趋于标准正态分布。F（x）＝P(X≤x)＝落在总体均值附近某一区间内的概率其分布形状取决于自由度。对于逆事件，P()=1－P(A)根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。对于逆事件，P()=1－P(A)6、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点D(X)＝np(1－p)第一节随机事件与概率基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。随机事件－简称事件，随机试验（或随机现象）的每一个可能结果连续随机变量——取值不能一一列举。二、概率的性质与运算法则（一）概率的性质概率具有三条公理（基本性质）1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；2、必然事件的概率为1，P(Ω)＝1；3、对于两两互斥事件Ai，有P(A1+A2+…)＝P(A1)+P(A2)+…连续随机变量——取值不能一一列举。二、概率的性质与运算法则（80（二）概率的运算法则

1．概率的加法公式对于两个互斥事件，P(A+B)＝P(A)+P(B)。即如果两个事件不可能同时发生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概率的和。对于两个任意事件，P(A+B)＝P(A)+P(B)－P(AB)。

即如果两个事件有可能同时发生，则“P(A)+P(B)”中事件A和B同时发生的概率P(AB)被重复计算了一次，因此，应该减去。对于逆事件

，P()=1－P(A)（二）概率的运算法则812．概率的乘法公式(1)条件概率——在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，称为“事件A已经发生的条件下B发生的条件概率”，记为P(B|A)，并且有P(B|A)＝P(AB)/P(A)(2)概率的乘法公式的一般形式P(AB)＝P(A)P(B|A)或P(AB)＝P(B)P(A|B)(3)如果事件A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)2．概率的乘法公式82第二节随机变量及其分布第二节83一、随机变量的概念随机变量表示随机试验结果的变量。对于随机试验的样本空间中的每一个样本点（事件ω

）总有一个实数X(ω)与之对应，则称实数函数X(ω)为随机变量，简记为X。离散型随机变量——取值可以一一列举;连续随机变量——取值不能一一列举。一、随机变量的概念随机变量表示随机试验结果的变量。84二、随机变量的概率分布（一）离散型随机变量的概率分布将离散型随机变量X的所有可能取值xi及其对应的概率P(xi)用函数式、表格或图形表示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。离散型随机变量的概率分布具有下列性质P(xi)≥0；

X10P0.50.5二、随机变量的概率分布（一）离散型随机变量的概率分布X1085（二）连续型随机变量的概率密度连续变量的概率分布是用概率分布密度函数

f(x)表示的，简称概率密度。连续变量落入某个区间的概率就是该概率密度曲线在这个区间上所覆盖的面积，即密度函数在这个区间上的积分。（二）连续型随机变量的概率密度86对于连续变量，取某个特定值的概率都是零，而只有变量取值于某个（或若干个）区间的概率才有意义P(x1<X≤x2)＝P(x1≤X<x2)＝对于连续变量，取某个特定值的概率都是零，而只有变量取值于某个87其分布形状取决于自由度。由于它特有的数学性质，许多分布（如二项分布）可以用正态分布近似计算；连续型随机变量的数学期望显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。例1已知x~χ2(6),求或P(AB)＝P(B)P(A|B)2、事件的并（和）指事件A与事件B至少一个发生。1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的χ2分布，记为χ2(n);因此，从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。2、F（6）;曲线在x=μσ及x=μ+σ处有拐点；P(AB)＝P(A)P(B|A)6、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点二项分布与泊松分布的关系连续型随机变量的分布函数落在总体均值附近某一区间内的概率基本事件－不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。（二）随机事件的关系和运算连续随机变量——取值不能一一列举。落在总体均值附近某一区间内的概率连续型随机变量的概率密度具有下列性质1、f(x)≥02、其分布形状取决于自由度。连续型随机变量的概率密度具有下列性质88（三）随机变量的分布函数设X为随机变量，x为任意实数，称函数F（x）＝P(X≤x)为X的累计分布函数，简称分布函数。已知X的分布函数，就可以求出X在任一区间上的概率P(x1<X≤x2)＝F(x2)－F(x1)（三）随机变量的分布函数设X为随机变量，x为任意实数，称函数89离散型随机变量的分布函数

F（x）＝P(X≤x)＝连续型随机变量的分布函数

F（x）＝P(X≤x)＝离散型随机变量的分布函数90三、随机变量的数字特征（一）随机变量的数学期望（均值）

记为E(X)或μ它是随机变量所有可能取值的平均水平是随机变量集中趋势的度量。三、随机变量的数字特征（一）随机变量的数学期望（均值）91（一）随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望E(X)＝连续型随机变量的数学期望E(X)＝注意数学期望与加权算术平均数的相似与区别。（一）随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望92（二）随机变量的方差记为D(X)或σ2它们是随机变量所有可能取值偏离其均值的离差的平均水平是随机变量离中趋势的度量（二）随机变量的方差记为D(X)或σ293离散型随机变量的方差D(X)＝E[xi－E(X)]2＝∑[xi－E(X)]2P(xi)连续型随机变量的方差D(X)＝均方差（或标准差σ）＝方差的平方根离散型随机变量的方差94四、常用的随机变量分布（一）常用的离散型随机变量分布1.二项分布贝努里试验的特点（1）每次试验只有两种结果——“成功”(事件A发生)和“失败”(事件A不发生)；（2）每次试验得到一种结果的概率不变（“成功”的概率总是p）；（3）每次试验互相独立。四、常用的随机变量分布（一）常用的离散型随机变量分布95如果进行n次贝努里试验，每次成功的概率为p，那么成功次数X是一个随机变量，其概率分布就是一个二项分布，记为X~B(n，p)，此时，有,二项分布的数学期望和方差E(X)＝npD(X)＝np(1－p)二项分布的特例——二点分布（0－1分布）即n＝1时的二项分布。如果进行n次贝努里试验，每次成功的概率为p，那么成功次数X是962.泊松分布它衡量某种事件在一定期间出现的数目的概率。比如说在一定时间内顾客的人数、打入电话总机电话的个数、放射性物质放射出来并到达某区域的粒子数等等。在一定时间（或长度）、区域、容积内，小概率事件（稀有事件）发生的次数的概率分布常常用泊松分布来描述。2.泊松分布97参数为λ的泊松分布记为P(λ)。若X~P(λ)，则X取各个值的概率为,泊松分布的数学期望和方差E(X)＝λ；D(X)＝λ二项分布与泊松分布的关系以n、p为参数的二项分布，当n趋于无穷大时，二项分布趋近于以λ为参数的泊松分布，且λ＝np。参数为λ的泊松分布记为P(λ)。98（二）常用的连续型随机变量分布（二）991、正态分布正态分布是最重要、最常用的连续型随机变量分布。主要原因在于许多随机变量服从或近似服从正态分布；由于它特有的数学性质，许多分布（如二项分布）可以用正态分布近似计算；根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；由正态分布可以导出其他许多有用的分布（如卡方分布、t分布、F分布）等等。1、正态分布100正态分布曲线图均值不同，方差相同均值相同，方差不同σ=0.5σ=2正态分布曲线图σ=0.5σ=2101正态分布的概率密度正态分布也是一族分布，各种正态分布根据它们的均值和标准差不同而有区别.若X服从正态分布，其均值为μ，方差为σ2，则记为X~N(μ,σ2)，其概率密度为

正态分布的概率密度102f(x)与F(x)1、f(x)概率密度函数；F(x):分布函数。2、函数表达式的区别f(x)与F(x)1、f(x)概率密度函数；1033、图示的区别中3、图示的区别中104正态曲线正态分布的概率密度所对应的图形简称正态曲线正态曲线的主要特征钟型；对称（以X=μ为对称轴）；以X轴为渐近线；曲线在x=μσ及x=μ+σ处有拐点；曲线的陡缓程度取决于参数(方差)σ2。正态曲线105试验的所有可能结果是明确可知的；由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。连续变量的概率分布是用概率分布密度函数f(x)表示的，简称概率密度。2、χ2分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。（优选）第五概率与概率分布将离散型随机变量X的所有可能取值xi及其对应的概率P(xi)用函数式、表格或图形表示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。t分布还可以用χ2分布导出。（3）每次试验互相独立。显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；（二）连续型随机变量的概率密度不同点t分布两边尾巴比较高而顶部比较低。连续型随机变量的数学期望卡方(c2)分布的特点一般正态分布化为标准正态分布试验可以在系统条件下重复进行；＝∑[xi－E(X)]2P(xi)随机现象（偶然现象、不确定现象）——在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。标准正态分布特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。常用φ（x）、Ф（x）分别表示标准正态分布的概率密度和分布函数。任何正态分布变量都可以用简单的线性变换（减去其均值、再除以标准差）而成为标准正态分布。X~N(μ,σ2)，则Z=(X－

μ)/σ~N(0,1)试验的所有可能结果是明确可知的；标准正态分布106一般正态分布化为标准正态分布一般正态分布化为标准正态分布1076、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点1、对任一事件A，有0≤P(A)≤1；根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。自由度n趋于无穷，t分布逐渐趋于标准正态分布。若X~P(λ)，则X取各个值的概率为,若X服从正态分布，其均值为μ，方差为σ2，则记为X~N(μ,σ2)，其概率密度为是随机变量离中趋势的度量常用φ（x）、Ф（x）分别表示标准正态分布的概率密度和分布函数。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。不可能事件－－在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件。离散型随机变量的分布函数但最常用的是求在中心（均值μ）附近、标准差σ的1、2、3倍区间内的概率连续变量落入某个区间的概率就是该概率密度曲线在这个区间上所覆盖的面积，即密度函数在这个区间上的积分。由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。例1已知x~χ2(6),求通常用tα表示对应于右尾概率α的t分布变量的值，即有P(t>tα)=α第一节随机事件与概率或P(AB)＝P(B)P(A|B)t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。例已知x~N(3,16),求:1、x≤8的概率;2、F（6）;3、f(6);4、5≤x≤8的概率6、A的对立（逆）事件指样本空间中所有不属于事件A的样本点108落在总体均值附近某一区间内的概率几乎所有的统计学书后都附有标准正态分布的函数值。