函数与方程复习讲义全

...函数与方程复习讲义一．[目标要求]①结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．③会理解函数零点存在性定理,会判断函数零点的存在性.二．[基础知识]1．函数零点的概念：对于函数,我们把方程的实数根叫做函数的零点。2．函数零点与方程根的关系：方程有实数根函数的图象与有点函数有零点3．函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根。注：若恒成立,则没有零点。三．[技巧平台]1.对函数零点的理解及补充〔1若在处其函数值为0,即,则称为函数的零点。〔2变号零点与不变号零点①若函数在零点左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数的变号零点。②若函数在零点左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数的不变号零点。③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线,则是在区间内有零点的充分不必要条件。〔3一般结论：函数的零点就是方程的实数根。从图像上看,函数的零点,就是它图像与交点的横坐标。〔4更一般的结论：函数的零点就是方程的实数根,也就是函数与的图像交点的横坐标。2.函数零点个数〔或方程实数根的个数确定方法代数法：函数的零点的根几何法：有些不容易直接求出的函数的零点或方程的根,可利用的图像和性质找出零点。画注意二次函数的零点个数问题有2个零点有两个不等实根有1个零点有两个相等实根无零点无实根对于二次函数在区间上的零点个数,要结合图像进行确定对于函数的零点个数问题,可画出两个函数图像,看其交点个数有几个,则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。方程的根或函数零点的存在性问题,要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定,但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性,在给定的区间上,如果函数是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续细分出小的单调区间,再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负,作出正确的判断。要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。为学习的方便,在解一元二次不等式和一元二次方程时,把二次项系数化为正数,〔1恒成立,恒成立〔2的解集为R的解集为R〔3对于二次函数在区间上的最值问题,参照第1.5〔1和1.5〔2节4.用二分法求方程的近似解㈠给定精确度,用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：1.精确区间,使.令.2.取区间的中点,计算一般步骤<1>如果,则就是的零点,计算终止；<2>如果,则零点位于区间,令；<3>如果,则零点位于区间令。3.取区间的中点,计算<1>如果,则就是的零点,计算终止；<2>如果,则零点位于区间,令；<3>如果,则零点位于区间令。……4．判断是不是达到精确度,即如果,则得到零点近似值a或<b>；否则就重复步骤2-4函数与方程复习题1.<2015XX2>下列函数中,既是偶函数又存在零点的是〔〔A〔B〔C〔D[答案]A2.<2015天津8>已知函数函数,其中,若函数恰有4个零点,则的取值范围是<>〔A〔B〔C〔D[答案]D[解析]由得,所以,即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解,即函数与函数的图象的4个公共点,由图象可知.[考点定位]求函数解析、函数与方程思、数形结合.3.<2015XX15>已知,若存在实数,使函数有两个零点,则的取值范围是.[答案].[解析]试题分析：分析题意可知,问题等价于方程与方程的根的个数和为,若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解,∴,从而；若方程无解,方程有2个根：则可知关于的不等式组有解,从而,综上,实数的取值范围是.4.<2015北京14>设函数①若,则的最小值为；②若恰有2个零点,则实数的取值范围是．[答案]<1>1,<2>或.[解析]①时,,函数在上为增函数,函数值大于1,在为减函数,在为增函数,当时,取得最小值为1；〔2①若函数在时与轴有一个交点,则,并且当时,,则,函数与轴有一个交点,所以；②若函数与轴有无交点,则函数与轴有两个交点,当时与轴有无交点,在与轴有无交点,不合题意；当时,,与轴有两个交点,和,由于,两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.5.<2015XX13>已知函数,,则方程实根的个数为[答案]4[解析]由题意得：求函数与交点个数以及函数与交点个数之和,因为,所以函数与有两个交点,又,所以函数与有两个交点,因此共有4个交点6.<2014XX08已知函数,.若方程有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是〔A〔B〔C〔D[答案]B[解析]画出的图象最低点是,过原点和时斜率最小为,斜率最大时的斜率与的斜率一致。7.<2014天津14已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为_____________.[答案]或.[解析]在同一坐标系内分别作出y＝f<x>与y＝a|x－1|的图像如图所示．当y＝a|x－1| 与y＝f<x>的图像相切时,由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<－ax＋a＝－x2－3x,,a>0,>>整理得x2＋<3－a>x＋a＝0,则 Δ＝<3－a>2－4a＝a2－10a＋9＝0,解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f<x> 的图像有四个交点时,0<a<1或a>9.8.<2014XX13已知是定义在上且周期为3的函数,当时,在区间上有10个零点〔互不相同,则实数的取值范围是．[答案][解析]根据题目条件,零点问题即转化为数形结合,通过找与的图象交点去推出零点,先画出[0,3]上的图像,再将轴下方的图象对称到上方,利用周期为3,将图象平移至,发现若图象要与有10个不同的交点,则9．已经函数,则在[0,2]上的零点个数为〔BA．1 B．2 C．3 D．410．下列函数中,在上有零点的函数是〔DA．B．C．D．11. 设定义在R上的函数,若关于x的方程f2<x>+af<x>+b=O有5个不同实数解,则实数a的取值范围是〔DA.<0,1> B.<-,-1>C.<1,+> D.<-,—2>U<—2,—1>12.已知函数与g<x>=x3+t,若f<x>与g<x>的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是〔BA.<-6,0] B.<-6,6> C.<4,+> D.<-4,4>13．"m＜1"是"函数f<x>＝x2＋2x＋m有零点"的〔AA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设函数f<x>＝eq\f<1,x>,g<x>＝ax2＋bx〔a,b∈R,a≠0,若y＝f<x>的图象与y＝g<x>的图象有且仅有两个不同的公共点A<x1,y1>,B<x2,y2>,则下列判断正确的是〔DA．当a＜0时,x1＋x2＜0,y1＋y2＜0B．当a＜0时,x1＋x2＞0,y1＋y2＞0C．当a＞0时,x1＋x2＞0,y1＋y2＜0D．当a＞0时,x1＋x2＜0,y1＋y2＞015.设函数f〔x〔xR满足f〔－x＝f〔x,f〔x＝f〔2－x,且当x［0,1］时,f〔x＝x2,又函数g〔x＝｜xcos〔x｜,则函数h〔x＝g〔x－f〔x在上的零点个数为〔BA、5B、6C、7D、816．〔20XXXX若,则函数的两个零点分别位于区间<>A.和内B.和内C.和内D.和内[答案]A17．〔20XXXX函数的图像与函数的图像的交点个数为〔A.3B.2C.1D.0[答案]B18．〔20XX天津数学函数的零点个数为〔

<A>1 <B>2 <C>3 <D>4[答案]B19．〔2013上海方程的实数解为________[答案].20.<2012XX11>设函数f<x>满足f<>=f<x>,f<x>=f<2x>,且当时,f<x>=x3.又函数g<x>=|xcos|,则函数h<x>=g<x>-f<x>在上的零点个数为〔<A>5<B>6<C>7<D>8[答案]B21.<2012XX9>函数在区间上的零点个数为〔A．4B．5C．6D．7[答案]C22.<2012天津14>已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_________.[答案]或23、已知,在上都有且只有一个零点,的零点为,的零点为,则〔AA．B．C．D．24.<2012XX17>曲线上,其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．〔1求炮的最大射程；〔2不超过多少时,炮弹可以击中它？请说明理由．[答案]解：〔1在炮的最大射程是10,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使的方程。此时,〔不考虑另一根。∴当不超过6炮弹可以击中目标。25．用"二分法"求方程在区间的实数根,取区间中点为,那么下一个有根的区间是；[2,2.5]26．用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到,,,则函数的零点落在区间〔BA．〔1,1.25B．〔1.25,1.5C．〔1.5,2D．无法确定27．已知函数在区间上有唯一的零点,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,,,则下列说法中正确的是〔BA．函数在区间内一定有零点B．函数在区间或有,或零点是C．函数在区间内无零点D．函数在区间或有零点28．下列函数中能用二分法求零点的是〔BA．B．C．D．29．已知函数的图象是连续不断的,有如下的,对应值表123456123.5621.45-7.8211.57-51.76-126.49函数在区间[1,6]上的零点至少有〔BA．2 B．3个 C．4个 D．5个30.如果函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算,起参考数据如下11.51.251.3751.43751.4062520.625-0.984-0.2600.162-0.054则方程的一个近似解〔精确到0.1为CA、1.2B、1.3C、1.4D、1.531.求方程在区间内的近似根,用二分法计算到到达精确度要求,那么所取误差是＿＿C＿＿A、0.05B、0.005C、0.0005D、0.0000532.若是方程的解,则属于区间〔DA．〔0,1 B．〔1,1.25 C．〔1.25,1.75 D．〔1.75,233．已知方程,下列说法正确的是〔CA．方程的解在内B．方程的解在内C．方程的解在内D．方程的解在内34．若关于的方程的一个根在内,另一根在内,求的取值范围。<>解：关于x的方程3x2﹣5x+a=0的一个根在〔﹣2