冲击波基本理论

2022/12/121

①波：在弹性介质中，某个局部受到作用后，由于物质点的相互作用，由近及远地使物质质点陆续发生扰动，这种扰动在介质的传播就称为波。常见的如：水波，音波，电磁波···

②波阵面：介质的原始状态与扰动状态的交界面称波阵面

③纵波与横波：波阵面移动方向与介质质点振动方向平行的波称纵波。

波阵面移动方向与介质质点振动方向垂直的波称横波。

④波速：波阵面在介质中传播的速度。

⑤波的传播方向：波阵面的移动方向。

2.1一维等熵流动波的基本概念(复习）第一页，共82页。2022/12/122⑥压缩波：波阵面到达之处，介质的状态（P、ρ、T）参数增加的波称压缩波，波的传播方向与介质运动方向相同。（图5.1）

⑦膨胀波（稀疏波）：波阵面到达之处，介质的状态（P、ρ、T）参数减小的波称膨胀波，波的传播方向与介质运动方向相反。（下图5.2）

第二页，共82页。2022/12/123⑧音波：介质质点在原来的位置振动，而波向左右传播，这种波称音波，音波是弱压缩波或膨胀波的合成。

⑨冲击波：是波面以突跃面的形式在弹性介质中传播的压缩波，波阵面上介质的状态参数变化是突跃的。

⑩爆轰波：是含有化学反应能量支持的冲击波，因为有化学反应能量的支持，因此爆轰波所以具有稳定的传播特性。第三页，共82页。2022/12/124完全气体，量热完全气体与等熵关系（补物理化学知识）理想气体(完全气体perfectgas)：不考虑分子间的作用力和分子的体积情况下，一种理想化后的气体。它满足：PV=nRT，e=e(T)和Cv=Cv(T)世上无理想气体，热完全气体是真实气体在一定温度，压力范围内的近似，即近似看成理想气体来处理。对于热完全气体，有：de=CvdT=Cv(T)dT，dh=CpdT=Cp(T)dT，e=e(T)，h=h(T)可近似认为一定温度范围内，Cv，Cp，

（Cp-

Cv=R）保持不变。但一般说来，Cv=Cv(T)，Cp=Cp(T)第四页，共82页。2022/12/125多方气体就是指量热完全气体(caloricallyperfectgas)：

Cp

，Cv

，保持不变的完全气体。

e=Cv(T)，h=Cp(T)e=Cv(T)，h=Cp(T)第五页，共82页。6

：分子平动和转动的总自由度（不包括振动）(因为，)所以：对单原子分子气体：，，对双原子分子气体：，，对三原子分子气体：，，

——γ为多方指数或绝热指数adiabaticexponent）自由度解释：决定一个物体位置所需要的独立坐标数，这里指的是热力学自由度亦称准自由度，不同于一般的力学自由度。第六页，共82页。2022/12/127等熵关系的建立：一般地：

（1）对可逆过程：（2）比较（1）和（2）有：（3）第七页，共82页。2022/12/128对焓、Helmholtz自由能、Gibbs自由焓的表达式分别微分：

（4）

（5）

（6）而：，，，

——（7）hePVfeTSghTS=+=-=-第八页，共82页。2022/12/129将（2）的第一式、（4）、（5）、（6）与（7）的4个式子比较有：

—（8）又因为：

（）

所以：第九页，共82页。2022/12/1210即：类似有：

——（9）（Maxwell关系）将（9）的第二式代入（1）的第一式有：[（1）的第一式]又由（3）式：，代入上式：有：（10）若，

，（11）

第十页，共82页。2022/12/1211而类似有：代入（11）的第1式：

（12）（10），（12）就是熵函数的一般表达式（微分形式），也可以写成积分形式：

（13）第十一页，共82页。2022/12/1212理想气体：

（14）

（15）定义：——绝热指数又因为：，

，代入（15）式：第十二页，共82页。2022/12/1213

对绝热可逆过程（必等熵）：，所以有：又因为：，所以：

或

或

——多方气体的等熵关系，亦为绝热关系。

（***）（***）（*****）第十三页，共82页。2022/12/1214定容比热，定压比热以及两者之间的关系比热的定义：，质量比热单位为：

由热力学第一定律：（16）热焓定义：

（17）对定容过程，由（16）得：对定压过程，由（17）得：

（18）第十四页，共82页。2022/12/1215因为：，所以：（19）即：（20）由（18）～（20）有：（21）与（1），（2）式比较，有：(22)

（2）（1）（22）第十五页，共82页。2022/12/1216又由Maxwell关系：（23）故有：（24）对理想气体：

故：，代入（24）式：(25)由定义（比热比）：故:第十六页，共82页。流场：流体运动所占据的空间，流场中任一质点流体的物理量如等是空间的位置（）（或）和时间t的函数：或,

或

等。如果流场中的物理量只是位置函数，而与时间无关，则称为定常流场，这种流动就称为定常流动（steadyflow）,否则为不定常(unsteadyflow)的。如果流场中各物理量在空间分布只与一个几何坐标x有关，那么就称为一维(onedimensional)流场，相应的流动称为一维流动(onedimensionalflow)。推导条件：忽略气体的粘性，热传导（绝热），无化学变化，不考虑体积力（如重力（对气体可忽略），电磁力）对流动的影响，只有体积膨胀功。流场和定常流动方程组第十七页，共82页。连续性方程的推导（质量守恒方程）：取如下图所示的控制体（开口系，当地观点即Euler方法），变截面流管。变截面流管中x1处的截面积为A，密度为，气体流速为u单位时间内流入控制体的质量为：同样时间内从x2面流出的质量为：微元dx中气体质量的变化率为：由质量守恒，单位时间内流入微元体Δx的质量－流出Δx的质量＝微元体Δx的质量对时间的变化率。

Δxx1x2ρAuρAu+第十八页，共82页。即：即：

（控制体体积不变，与t无关）

（1）

（，，）——连续方程（当地观点）物质导数（Lagrange导数）的变换关系：称为Euler导数。物理量的物质导数（或称随体导数）是指某个封闭系统中的流体在运动过程中，它所具有的物理量F（如：）对时间的变化率,是物理量F随流体质点运动时的变化率。第十九页，共82页。物质导数的定义：以求加速度为例，给出物质导数的微分变换关系：设流体质点在流场中沿运动轨迹C运动，从当地观点出发，流体速度为：假定t时刻，流体微团在M点，速度为，经时刻后，运动到N点，速度为：加速度：（2）由于流场的非均匀性和不定常性，该微团的速度在运动过程中不止经历了的变化，而且也经历了的变化。当然也与时间长短有关。MN第二十页，共82页。（2）式可写为：

（3）代表沿S方向移动单位长度引起的速度变化，而如今单位时间移动了u的距离，所以S方向的速度变化为。对一维情况有：（4）第二十一页，共82页。对于等，亦有同样的变化关系：

（5）这里，：全导数，物质导数，随体导数，Lagrange导数。：当地时间导数，局部导数，Euler导数。反映了流场的不定常性，反映了流体微团流过空间固定点上量F对时间的变化率。：迁移导数，对流导数，反映了流场的非均匀性，是流体微团运动到不同位置时所引起的F的变化。实际上，F=F(x,y,z,t),而x=x(t),y=(t),z=z(t)所以：三维（直角坐标系）第二十二页，共82页。由（5）式，可将（1）式化为：（6）

——随体观点的连续方程注：第二十三页，共82页。欧拉方程—动量守恒方程（运动方程）的推导：取下图的控制体（闭口系，随体观点，即Lagrange方法），设微元体dx的侧面积为S，该质点具有的速度为u，β为管壁切线与x轴的夹角（如果管壁是光滑的，则β是无穷小量）显然：

，即：Δx微元体x1面受到压力为PA，x2面受到的压力为：侧面所受力为：，即：ΔxPnPn第二十四页，共82页。该力在x方向投影为：在与x垂直方向投影为：（互相抵消）微元体受到的总压力为（不考虑粘性力，重力等）：＝忽略二阶小量，总压力为：按Newton第二定律：(F＝ma)第二十五页，共82页。即：（7）或：（8）——欧拉方程（动量守恒方程）由开口体系（Euler观点推导动量方程）：由x1面流入dx的动量：由x2面流出dx的动量：

（忽略二阶以上小量）＝

＝第二十六页，共82页。微元体dx受的合外力为：单位时间内，微元体动量变化为：

（忽略二阶小量）净流入的动量：流入－流出＝dxx1x2ρAuρAu+x第二十七页，共82页。动量定理：动量的增加率＝净增加动量+微元体受的外力，即：

（与t无关）即：

（1）式，质量守恒方程第二十八页，共82页。能量方程的推导（忽略热损失，不考虑非体积力做功，只计体积功;开口系，Euler方法）：单位质量气体总能量为：（e：单位质量内能，：单位质量动能）单位时间内通过x1面进入微元体Δx的能量：单位时间内通过x2面流出微元体Δx的能量：x1面上，外力单位时间内对微元所做的功为：（功率）x2面上微元体单位时间内克服外力所做的功为：微元体Δx的总能量变化率为：第二十九页，共82页。由能量守恒：微元体Δx的总能量变化率应等于单位时间内流进的净能量加上外力做功的和。

与时间无关，（控制体体积不变）

（9）ΔxρAuρAu+x第三十页，共82页。因为：((1)式－连续方程)故上式可简化为：

或：（10）

——能量守恒方程

再由（8）式（动量方程）（11）第三十一页，共82页。由热力学第一定律：：环境给封闭系统传递的热量，：系统内能的增加，：系统对外界（环境）所做的功。微分形式为：若只考虑体积功，则有：（E：内能；Q：热量；P：压力）或：

（q：单位质量的供热量；e：单位质量内能；P：压强）又因为：（对封闭体系的可逆过程），，

（12）（同除以dt

)第三十二页，共82页。将（11）式、（6）式代入（12）式有：即：或（13）可见，某封闭体系（流体微团）绝热可逆条件下的流动是等熵的（对于无粘流体）（完全气体的绝热流动必为等熵流动）：因为：所以：由以上推导的非定常流动的基本方程组为（变截面，一维）。(6)第三十三页，共82页。

连续方程（质量守恒方程）

运动方程（动量守恒方程）

能量方程

方程组（І）

或

状态方程守恒方程是普遍适用的，对任何流体都相同。状态方程则反映了流体在流动中的特殊性。四个方程，四个未知数：，方程组封闭，可求解。对等熵过程（完全气体的绝热过程），方程组中的第三式（能量方程）（完全气体的绝热流动必为等熵流动）可用或来代替。对多方气体，可用代替第三十四页，共82页。对定常流动，所有物理量（等）对时间的偏导数为零。同时用热焓代替e，可得定常流动方程组：

或

或

或（等截面流管）或方程组（Ⅱ）质量动量能量状态第三十五页，共82页。2022/12/1236

音波是弱的压缩波或膨胀波合成的结果，波的传播速度仅取决于介质状态。音速可以看作是介质的状态参数，音速是弱扰动在介质中的传播速度。声音的传播第三十六页，共82页。2022/12/1237（1）①质量守恒定律:流入波阵面的质量等于流出波阵面的质量音速公式推导（先以压缩波）

PC,P+dPC-u,c（1）第三十七页，共82页。2022/12/1238②动量守恒定律（动量的变化=压力变化×时间）公式变形化简：（2）

由动量分析：流入的动量流出的动量（2）第三十八页，共82页。2022/12/1239

由（1）得

代入（2）所以第三十九页，共82页。2022/12/1240∵弱扰动

（3）∴同样膨胀波也可导出（3）式∴弱的压缩波的传播速度只与压力和介质密度的比值有关。第四十页，共82页。2022/12/1241如果弱扰动的传播与周围介质是绝热的。压缩和膨胀过程可以看成是等熵的（物化）传播表达式为：如果音波的传播介质是理想气体由于，则由以上可知：则（4）

第四十一页，共82页。2022/12/1242在等熵过程中有：

代入（4）理想气体∴（5）∴音速与介质的温度、压力有关，与介质种类有关。K-绝热指数第四十二页，共82页。2022/12/12432.2正冲击波基本关系式*#

活塞原理

图2.1冲击波形成原理示意图

第四十三页，共82页。冲击波的基本性质

压缩→密度↑→速度↑→压缩迭加→P、、T↑→压缩追赶→强压缩波形成→阶跃变化（即冲击波）∴介质状态发生突跃变化的波即是冲击波。也就是说，冲击波的波阵面是一个突跃面。第四十四页，共82页。2022/12/1245②特点

a.波阵面的两边介质状态参数差别很大，是突变的或称有较大梯度。

b.波阵面运动的方向与介质的运动方向相同。

c.波阵面传播以压缩波形式传播的。∴波后的>波前第四十五页，共82页。2022/12/1246③冲击波与音波的区别①传播速度：（未扰动介质的音速）②状态参数变化形式:突跃----接近于零③介质移动:位移－平衡位置来回振动④波速影响因素：强度有关－仅与介质状态参数有关、T、P

⑤周期性：无周期－周期⑥热力学特征：熵增大－等熵第四十六页，共82页。2022/12/1247

波阵面两侧介质状态参数（T、、P）和运动参数（、）之间的关系称冲击波基本关系式。建立依据，三大定律:

质量守恒动量守恒能量守恒

第四十七页，共82页。2022/12/12482.2.2冲击波的三大守恒定律

①质量守恒（物质量相等，物质不灭）

——介质扰动前的密度

——介质扰动后的密度

——冲波的速度

——波阵面前介质的移动速度——波阵面后介质的移动速度（2-1）第四十八页，共82页。2022/12/1249②动量守恒动量的变化等于外合力作用的冲量（力×时间）（2-2）∴第四十九页，共82页。2022/12/1250（能量变化等于对外所作的功）能量=内能+动能

流入能量

流出

③能量守恒

右侧做功左侧：

因作用力与运动方向相反，为负号

第五十页，共82页。2022/12/1251化简整理

（2-3）

冲击波基本关系式（2-1）、（2-2）、（2-3）第五十一页，共82页。2022/12/1252

由冲击波的三个基本关系式可导出冲击波的有关参数计算公式由状态参数（P、V、）计算冲击波相关系数（）8个2.2.3冲击波参数计算

第五十二页，共82页。2022/12/1253

由（5-11）式

解出有∴则(2-4)(2-5)第五十三页，共82页。2022/12/1254把（5-16）代入（5-13）

（5-17）（5-18）∴（2-6）（2-7）第五十四页，共82页。2022/12/1255由（2-3）整理得将（2－6）式代入得（5-19）把（2-2）代入化简整理（2-8）第五十五页，共82页。2022/12/1256

计算冲击波参数计算公式冲击波速度方程式（米海尔逊方程）瑞利线冲击波绝热方程（冲击波雨果尼奥方程）第五十六页，共82页。2022/12/1257扰动前后气体介质当成理想气体状态下来处理：（2-9）

代入（2-8）式，整理得：∴由气体状态初始参数（）可利用冲击波关系式，计算冲击波波阵面参数（）。第五十七页，共82页。[例1]已知一未扰动空气的初始参数为：=9.8

，=1.25，

=0，如果

波阵面的超压=

Pa，试用冲击波的关系式计算冲击波的其他参数（假设气体为热容不变的理想气体）解：由于空气可以看成是双原子气体，因此我们可以取=1.4。将，，，，和代入冲击波有关的关系式中进行计算，得：第五十八页，共82页。第五十九页，共82页。第六十页，共82页。2022/12/1261①冲击波阵面上已扰动介质的状态参数主要与冲击波波速有关；②冲击波相对于未扰动介质是超音速的，即，相对于已扰动的介质是亚音速的，即。③冲击波速度大于介质移动速度且与介质运动方向相同。④冲击波衰减最终变为音波。⑤冲击波的冲击压缩过程是熵增大过程，波阵面介质的状态参数变化是突跃的。⑥极强冲击波阵面上，已扰动介质的密度取决于波阵面上的温度。2.3冲击波雨贡纽曲线及冲击波的性质

第六十一页，共82页。2022/12/1262证明：冲击波相对于未扰动介质是超音速的，即，相对于已扰动的介质是亚音速，即。举例[证]：由冲击波基本关系式可导出：，∴∵得证命题一，同样可证命题二第六十二页，共82页。例2冲击波的传播速度不仅与介质的初始状态有关，而且与冲击波的强度有关。证明：令称为激波强度将其代入有：

即：故式中表示了介质初始状态的音速，对于声波，有，，因此声波传播速度只与介质状态有关。第六十三页，共82页。2022/12/1264冲击波参数计算导出下面两式:

冲击波速度方程式（米海尔直线）

冲击波绝热方程式（雨果尼奥曲线）

将过程和状态表示在P-V图上（P—纵坐标，V—横坐标）冲击波雨贡纽曲线第六十四页，共82页。2022/12/1265

当为一定数时，为一直线

满足:i)过A（P0，V0）

ii）斜率

当为一定数，不同，不同，↑，↑①波速线∴a.波速线为通过介质初始状态A（P0，V0）的不同斜率直线与冲击波波速相对应。

b.波速线反映冲击波以固定波速V0通过初始状态（P0，V0）传播时所有终起点的轨迹。

第六十五页，共82页。冲击波的波速线第六十六页，共82页。2022/12/1267

介质的内能变化与波阵面P1和比容V1之间的关系。②冲击绝热线

在P-V图上，为一条以介质初始状态（P0，V0）凹向P轴和V轴的曲线，线上的每一点为不同波速冲击波经过同一初始状态A（P0，V0）的介质后所达到的终点状态。第六十七页，共82页。2022/12/1268*a.介质由A点（P0，V0）受冲击压缩到B点（P1，V1），其状态不是沿着冲击波绝热曲线变化，而是突跃地从A点压缩到B点。（∴冲击波传播时，终点既满足波速线又满足冲击绝热线）*b.冲击波绝热曲线不是冲击压缩过程线，只是具有初始状态，受到冲击波压缩时，一切可能到达的终态点B（P1，V1）状态的集合。*c.由式在冲击绝热线上A点以上所对应的冲击波，压缩波A点以下所对应的冲击波，膨胀波→A点，弱冲击波，波速线与冲击绝热线相切→音波第六十八页，共82页。2022/12/1269冲击波是强缩波，是波速线斜A点以后的斜率均大于切线，强冲击波*d音波传播是等熵的∴等熵线与冲击绝热线相切于A点*e冲击波传播过程是熵增大的∴冲击波绝热线在等熵线（过程线）上方

第六十九页，共82页。沿冲击波绝热线的熵值变化第七十页，共82页。例2：绝热线A-B是熵增加过程证明：对激波压缩过程，由热力学第一定律知：或者(A)如上图所示，分析由Hugoniot曲线熵初态点A-B熵值的变化情况。由激波的Hugoniot方程：(B)两边取微分得：(C)将式(C)代入式(A)，得：

(D)