2019年2001-年江苏专转本高等数学真题(附答案)

PAGEPAGE492001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是 （ ）1 11 1 1A、lim(1)xe

B、xe

C、limxsin 1 D、limxsin 1x0 x

x x

x x

x0 x2、不定积分 11x2

dx （ ）1 11x21x21x2

c C、arcsinx D、arcsinxc3、若f(x)f(x)，且在0,内f'(x)0、f''(x)0，则在(,0)内必有 （ ）Af'(x)0,f''(x)0Cf'(x)0,f''(x)0

Bf'(x)0,f''(x)0Df'(x)0,f''(x)04、0

x1dx （ ）A、0

B、2

C、－1 D15x

y

4x在空间直角坐标系中表示 （ ）A、圆柱面 B、点 C、圆 D、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） xtet6、设 ，则y2tt2

dydxtdydx7y

6y

13y0的通解 8、交换积分次序2dx2

f(x,y)dy 0 x9、函数zxy的全微分dz 10f(x为连续函数，则1f(xf(xx]x3dx1三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）yarctan

2xcos ，求dy.x5xx12、计算lim

xet0 .x013、求f(x)

x2sinx(x1)sin

x(xx(x214y

x

lny，求x

.dydxx1,ydydx15、计算

e2x dx.1ex16、已知0

k dx

1，求k的值.1x2 217y'ytanxsecxy

0的特解.x018、计算siny2dxdyDx1y2yx1.D19、已知yf(x)过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线2xy30f(x)2bf(xx1a、byf(x.x z 2z20、设zf(x2,)，其中f具有二阶连续偏导数，求x、 .y xy四、综合题（4211022823、24630分）x221x2

的切线，求x2由x2

，切线及x轴围成的平面图形面积；xy轴旋转一周的体积。f(x)22、设g(x) x a

xx

，其中f(x)具有二阶连续导数，且f(0)0.（1）求ag(xx0处连续；（2）g(x).23f(x在

'(x)且f(0)0；试证明：对于满足不等式0ababc的a、bf(af(b)f(ab.24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、下列极限中，正确的是 （ ）1A、lim(1tanx)cotxex0

B、limxsin 1x0 xnC、cosx)secxe D、n)1enx02、已知f(x)是可导的函数，则h0

nf(h)f(h) （ ）hA、f(x) B、f(0) C、2f(0) D、2f(x)3、设f(x)有连续的导函数，且a0、1，则下列命题正确的是 （ ）Af(ax)dx1f(ax)CaC、f(ax)dx)af(ax)

Bf(ax)dxD、f(ax)dx

f(ax)Cf(x)C4、若yarctanex，则dy （ ）1A、 dx1e2x

exB、 dx1e2x

1 ex1e2x11e2x1e2x5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是 （ ）xyz0 x2 y4 zA、y2x B、x2yz1

C、 = =2 7 3

D、3x4z06、微分方程y2yy0的通解是 （ ）A、yc1

cosxc2

sinx B、ycex1

ce2x2

C、yc1

cxex D、yce2 1

cex27、已知f(x)在,内是可导函数，则(f(x)f(x))一定是 （ ）A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、不能确定奇偶性8、设I1 x4

dx，则I的范围是 （ ）0 1x2A、0I2

B、I1 C、I0 D、 I2 229、若广义积分21

1dx收敛，则p应满足 （ ）xpA、0p1

Bp1

C、p1 D、p0112e10、若f(x)11ex

，则x0是f的 （ ）A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点 D、连续点二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）yy(x是由方程exeysin(xyy

x012、函数f(x)

x的单调增加区间为ex13

1xtan2xdx1x214、设y(x)满足微分方程exyy1，且y(0)1，则y 15、交换积分次序1dye0 ey

f 三、计算题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）16、求极限x0

x2tanxttsintdt0dydxxttsintdydxt17、已知yttcostt4x2y2 zx2y218、已知zlnx

，求 ， 1 , x

x yx19、设f(x)

x1

, x

，求2f0ex20

2dxx

x2y2dy

dx

1x2

x2y2dy20 0 2 02221yesinxy(0)1的解.22、求积分xarcsinx2dx1x4 1x1, x0 23f

x xk ,

x0

，且f

x在x0点连续，求1）k 的值（）fx四、综合题（本大题共3小题，第24小题7分，第25小题8分，第26小题8分，共23分）24、从原点作抛物线f(x)x22x4的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为S（）S的面积；（2）图形S绕X. 125、证明：当 x 时，cosx1 x2成立.2 2 126、已知某厂生产x件产品的成本为C(x)25000200x x2（元，产品产量x与价格P1401之间的关系为：P(x)440 x（元）120求：(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品？(2).2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）f(x h)f(x h)1f(x

)2，则lim 0 0 （ ）0 h0 hA、2 B、4

C0 D、22、若已知F'(x)f(x)，且f(x)连续，则下列表达式正确的是 （ ）A、F(x)dxf(xcC、f(x)dxF(x)c

BddxDddx

F(x)dxf(x)cF(x)dxf(x)3、下列极限中，正确的是 （ ） A、x x

limarctanx B、

limx24 C、x C、

Dlimxx1x01x24、已知y1x2

)，则下列正确的是 （ ）x 1x 1x2

1 dx B、y' 1x2dx1x2x 1x21C、1x2x 1x215、在空间直角坐标系下，与平面xyz1垂直的直线方程为 （ ）xyz1A、

x2B、

y4 zx2yz0C、2x2y2z5

2 1 3Dx1y2z36、下列说法正确的是 （ ）A、级数1收敛nn1

B、级数n1

1n2n收敛C、级数n1

(1)nn

绝对收敛

D、级数n1

n!收敛7、微分方程y''y0满足y

0y' 1的解是x0 x0A、yc1

cosxc2

sinx

BysinxCycosx

sinax x

D、yccosx8、若函数f(x) 2 x0为连续函数，则a、b满足13x) x0bx1A、a2、b为任何实数 B、ab 123C、a2、b D、ab132二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）9、设函数yy(x)由方程ln(xy)exy所确定，则y' x010、曲线yf(x)x33x2x9的凹区间 、1x2(3xsinx)dx 112、交换积分次序1dy2

f(x,y)dx3dy3

f(x,y)dx 0 0 1 0三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 13、求极限lim(1x2)1cosxx0x14、求函数ztany的全微分 15、求不定积分

xlnxdx16、计算2

sind1cos2217、求微分方程xy'yx2ex的通解.xt2) dy d2y18、已知 ，求 、 .ytarctant dx dx219、求函数f(x)

sin(x1)

xx120、计算二重积分

x

y2)dxdyDx

y

2x及直线y0D所围成的区域.四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分）21、设有抛物线y4xx2，求：、抛物线上哪一点处的切线平行于X轴？写出该切线方程；、求由抛物线与其水平切线及Y轴所围平面图形的面积；X.22、证明方程xex

2在区间0,1内有且仅有一个实根.23、要设计一个容积为V立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？五、附加题（2000级考生必做，2001级考生不做）124将函数f(x) 展开为x的幂级数并指出收敛区间（不考虑区间端点（本小题4分）14x25y2y'3y3x1（6）2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）x3

x1、f(x)x3

x

0,2

，是： （ ）A、有界函数

B、奇函数

C、偶函数 D、周期函数2、当x0时，x2sinx是关于x的 （ ）A、高阶无穷小 B、同阶但不是等价无穷小 C、低阶无穷小 D、等价无穷小3、直线L与x轴平行且与曲线yxex相切，则切点的坐标是 （ ）A、B、C、D、4x2y28R2设所围的面积为S，则22R0

8R2x2dx的值为 （ ）A、S B、S4

CS2

D、2Sx2y25、设u(x,y)arctanx、vx2y2y

，则下列等式成立的是 （ ）Auv

Buv

Cuv

D、uvx y

x x

y x

y y6、微分方程y''3y'2yxe2x的特解y的形式应为 （ ）AAxe2x

B、AxB)e2x

C、Ax2e2x D、x(AxB)e2x二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）()2x()7、设f x ，3x

limx

f(x) 28、过点M(1,0,2)且垂直于平面4x2y3z2

的直线方程 9、设f(x)x(x1)(x2) (xn)，nN，则f'(0) 10、求不定积分arcsin3xdx 1x21、交换二次积分的次序1dx2

f(x,y)dy 0 x212、幂级数n1

(x1)n2n

的收敛区间为三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）13、求函数f(x)

x .sinxx(tantsint)dt14、求极限lim 0 .d2ydx2x0(ex21)d2ydx215yy(xyxey

1所确定，求

x0

的值.16f(x)ex

，计算xf

'(2x)dx.17、计算广义积分2

1x x

dx.z 2z18zf(xyxy)，且具有二阶连续的偏导数，求xxy.19、计算二重积分D

sinyy

dxdyDyxy

x所围成.20、把函数f(x)

1x2

展开为x2的幂级数，并写出它的收敛区间.四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）21、xf(sinx)dxf(sinx)dx，并利用此式求x

sinxdx.0 2 0

0 1cos2x22f(x可导，且满足方程(t)dtx21f(xf(x.023、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1x0f(x)xA、可去间断点

1的 （ ）xB、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点12、若x2是函数yxln(12

ax)的可导极值点，则常数a （ ）A、1

1B2

C、12

D、13、若f(x)dxF(x)C，则sinxf(cosx)dx （ ）A、F(sinx)C B、F(sinx)C C、F(cos)C D、F(cosx)C4Dxoy、DD1在第一象限的部分，则：(xycosxsiny)dxdy （ ）DA、2(cosxsiny)dxdy B、2xydxdyDDC、D

1

(xycosxsiny)dxdy

D1D、0D1x2x2y25、设u(x,y)arctanv(x,y)lny

，则下列等式成立的是 （ ）Auv

Buv

Cuv

D、uvx y x x y x y y6、正项级(1) unn1

(2) unn1

，则下列说法正确的是 （ ）A、若发散、则必发散 、则必收C、若1）发散、则）可能发散也可能收敛 D（1）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、limexex2x ；x0 xsinx8、函数f(x)lnx在区间上满足拉格郎日中值定理的 ；9、1x11x2

；10、设向量、k；、互相垂直，则k ；x211、交换二次积分的次序x21

x1

f(x,y)dy ；12、幂级数n1

(2n1)xn的收敛区间；三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、设函数F(x)

f(x)2sinx xx

Rf(0)0f(0)6，求a. a

xxcost

dy d2y14、设函数yy(x)由方程 所确定，求 、 .ysinttcos

dx dx215、计算

tan3xsecxdx.16、计算1arctan0z 2z17zf(sinxy2)f(uv有二阶连续偏导数，求xxyx4 y3 z18、求过点2)且通过直线L: 的平面方.5 2 119、把函数f(x)

x22xx

展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间.20、求微分方程xy'yex0满足y e的特.x1四、证明题（本题8分）21x33x10在.五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）22yf(xP(2,43，又知该函数的二y''6xaf(x.23y22xx0y1所围成，求：、曲边三角形的面积；X.24、设f(x)为连续函数，且f(2)1，Fu)udyuf(xdx，u)1 y（1、交换F(u)的积分次序；（2、求F'().2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、若lim

xf( 2

(1(

（ ）x0 x 2

x0f x31 1A、 B、2 C、3 D、 2 3 1 2、函数f(x)x2sin 0A、连续但不可导

x0在x0处 （ ）x0B、连续且可导 C、不连续也不可导 D可导但不连续3、下列函数在上满足罗尔定理条件的是 （ ）1A、yex B、y1x

Cy1x2

Dy1x4、已知f(x)dxe2xC，则f'(x)dx （ ）11A、2e2xC B、 e211

C C、2e2xC D、e2xC5、设unn1

2 2为正项级数，如下说法正确的是 （ ）A、如果limun0

0

unn1

u必收敛 B、如果limnun

l(0l

unn1

必收敛C、如果unn1

收敛，则unn1

必定收敛D、如果n1

(1)nun

收敛，则unn1

必定收敛6xf(x,y)f(x,yDx,y|x2

y

y，D {(x,y)|x2y2xy，则 f(x,y)dxdy （ ）D1DA、0 B、

f(x,

y)dxdy C、2

f(x,

y)dxdy D、4

f(x,

y)dxdyD D D1 1 1二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知x0时，a(1cosx)与xsinx是等级无穷小，则a8limf(x)Af(xxxxx0

处有定义，则当A 时，f(x)在xx处连0续.9、设f(x)在上有连续的导数且f)2，10

f(x)dx3，则1xf'(x)dx010、设

1，ab，则a(ab) aua、设uexysinx，x 12、dxdy . 其中D为以点O(0,0)、、B(0,2)为顶点的三角形区.D三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）3xx113、计算lim 3xx1x1xt2) dy d2y14、若函数yy(x)是由参数方程 所确定，求 、 .ytarctant

dx dx21lnx1lnx16、计算20

dx.xx2cos.17x2y

xyy2的通解.18、将函数f(x)xln(1x)展开为x的幂函数（要求指出收敛区间）.19、求过点Mxyz70、4x3yz60.z 2zyx20、设zxf(x2,xy)其中f(u,v)的二阶偏导数存在，求y、 .yx四、证明题（本题满分8分）.21x23xx3

2.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22yf(x)过原点且在点(x,y处的切线斜率等于2xy.23yx2yx28围成.求此平面图形的面积；y.g(t)t24、设 fg(t)t24、设

是由xt、yt以及坐标轴围成的正方形区域， t函数f(x)连续.

a t0t（1）求a的值使得g(t)连续；t（2）g(t.2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、若x01A、4

f(2x)x

2，则limxf(1x 2x1B、2

) （ ）C、2 D、42、已知当x0时，x2x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1cosx的高阶无穷小，则正整数n （ A、1 B、2 C3 D43设函数f(x)x(x1)(x2)(x则方程f'(x)0的实根个数为 （ ）A、1 B、2 C3 D44、设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则f'(2x)dx （ ）A、cos4xC

B1cos4xC2

C、2cos4xC D、sin4xC5、设f(x)x2sint2dt，则f'(x) （ ）1A、sinx4

B2xsinx2

C、2xcosx2

D、2xsinx4nnnn1A、2nn2n1

B、n1

C、n1

1(1)nn

D、()nnn1n二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 17f(x)kxx 2

x0，在点x0处连续，则常数k x08y5xmyx

3x2的一条切线，则常数m 4x294x22

xcos3x)dx的值 1 10、已知a，b均为单位向量，且ab ，则以向量ab为邻边的平行四边形的面积 2zx，则全微分dzy12、设yC1

e2xC2

e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限limexx1.x0 xtanx14yy(x由方程ex

e

xy确定，求dy 、 .d2ydx2dxxd2ydx2dx15、求不定积分

x2exdx.16、计算定积分122

1x2dx.x22z17zf(2x3yxyf具有二阶连续偏导数，求xy.18xy'y2007x2y

2008的特解.x1xyz20 19、求过点且垂直于直线2xyz10 20、计算二重积分D

x2y2dxdy，其中D(x,y)|x2y22x,y0.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21y1x2（x0）.x轴旋转所形成的旋转体的体积；求常数aya.22f(x)ax3bx2cx9具有如下性质：x1的左侧临近单调减少；x1的右侧临近单调增加；其图形在点)试确定abc的值.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设ba0，证明：bdybf(x)e2xydx(e3xe2xa)f(x)dx.a y a24x0(x

lnx(x1)2.2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、设函数f(x)在(,)上有定义，下列函数中必为奇函数的是 （ ）Ayf(x)C、yf(x)

Byx3f(x4)D、yf(x)f(x)2、设函数f(x)可导，则下列式子中正确的是 （ ）f(0)f(x)

f(x

2x)f(x)A、lim f'(0) B、lim 0 f'(x)x0

xf(x x)f(x x)

x0

x 0f(x x)f(x x)Climx0

0 0 f'(x)x 0

D、limx0

0 0 2f'(x)x 03f(x)12x

t2sintdt则f'(x)等于 （ ）A、4x2sin2x

B、8x2sin2x

C、4x2sin2x

D、8x2sin2x4、设向量a，b，则ab等于 （ ）A（2，5，4） B（2，－5，－4） C（2，5，－4） D5z

y在点（2，2）处的全微分dz为 （ ）xA、1dx

1 1dy B、dx

1 1 1 1 1 dy C、dx dy D、 dx dy 2 2 2 2 2 2 2 26y

3y

2y1的通解为 （ ）1Ayc1

ex

ce2x12

Byc1

exc2

e2x 21Cycex1

ce22

1 Dyce1

ce2x 2 2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）x21x(x1)7、设函数f(x) x(x1)ax,x0,8、设函数f(x) tan3x ,xx

在点x0处连续，则a＝ .9、已知曲线y2x33x24x5，则其拐点.10、设函数f(x)的导数为cosx，且f(0)

1，则不定积分f(x)dx＝ .211、定积分

12sinxdx的值.11x212、幂函数 xnn2n

的收敛域为 .n1三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）x213、求极限：lim( )3xx x14、设函数yy(x)由参数方程xtsint,t2n,nZ所决定，求dy,d2yy1cost,

dx dx215

x3 dxx1161exdx.017、设平面经过点（，00（030C0，，，求经过点P（，，）且与平面.y 2z18、设函数zf(xy,)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求 .x xy19、计算二重积分D

x2dxdy，其中D是由曲线y ，直线yx,x2及y0所围成的平1x1面区域.20xy'2yx2的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）121y(x0.1x22yx2y2x2x1.x.求常数axa.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23f(x在闭区间0,2a(a0f(0)f(2a)f(a(0a)上至少存在一点f()fa).24xx)ex

1.2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1已知limx2axb3则常数a,b的取值分别为 （ ）x2 x2A、ab2 B、a2,b0 C、ab0 D、a2,b1x23x22、已知函数f(x) ，则x2为f(x)的x24A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、震荡间断点3f(x)

,x 1

x0

x0

的取值范围为 （ ）A、01

2x1

sin

,x0xB、01 C、1 D、14、曲线y 的渐近线的条数为 （ ）(x2A、1 B、2 C3 D45设F(x)ln(3x是函数f(x)的一个原函数则 f'(2x （ ）A、 1 C6x4

B、 3 C6x4

C、 1 C12x8

D、3 C12x86、设为非零常数，则数项级数n1

n（ ）n2A、条件收敛

B、绝对收敛 C、发散 D、敛散性与有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）x7、已知lim( )

2，则常数C .x

xC8、设函数(x)2xtetdt，则'(x).0 9、已知向量a，b2,，则ab与a的夹角.z10、设函数zz(x,y)由方程xz2yz1所确定，则x.11、若幂函数

n1

a xn(a0)的收敛半径为 ，则常数a .1nn2 21n12、微分方程x2)ydx(2y)xdy0的通解为 .三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：lim x3x0xsinxxt)14yy(x由参数方程yt2

dy,d2y.dx dx215

sin 2x.2x216、求定积分：1 2x20

dx.17x

y1

z2且垂直于平面xyz20的平面方程.3 2 118、计算二重积分D

yd

Dx,y0x2,xy2,x

y

2}.2z19zf(sinx,xyf(x具有二阶连续偏导数，求xy.20y

yx的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21f(xx33x1，试求：f(x)的单调区间与极值；yf(x的凹凸区间与拐点；f(x在闭区间[2.22设D是由抛物线y2x2和直线xa,y0所围成的平面区域，D 是由抛物线y2x2和1 2xa,x2y0所围成的平面区域，其中0a2.试求：D1

绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1

，以及D2

x轴旋转所成的旋转体的体积V.2求常数aD1

D2

的面积相等.五、证明题（2918分）ex, x023、已知函数f(x) ，证明函数f(x)在点x0处连续但不可.x, x024、证明：当1x2时，4xlnxx22x3.2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1 1 1 设当x0时，函数f(x)xsinx与g(x)axn是等价无穷小，则常数a,n的值为1 1 1 A. a,n3 B. a,n3 C. a ,n4 D. a,n6 3 12 6x23x4曲线y 的渐近线共有 ( )x25x6A.1条 B.2条 C.3条 D.4条设函数(x)2etcostdt，则函数(x)的导数(x)等于 ( )x2A. 2xex2cosx2 B. 2xex2cosx2 C. 2xexcosx D. ex2cosx2下列级数收敛的是 ( )A.

nn1

B. 2n1 C. 1(1nnn2nn

D. n22nn1

n1

n1

n1二次积分1dyy0 1

f(x,y)dx交换积分次序后得 ( )A. 1xx

f(x,y)dy B. 2xx

f(x,y)dy0 1 1 0C. 2xx

f(x,y)dy D. 2dx1

f(x,y)dy1 1

x16.设f(x)x33x，则在区间(0,1)内 ( )A.函数f(x)单调增加且其图形是凹的 B.函数f(x)单调增加且其图形是凸的C.函数f(x)单调减少且其图形是凹的 D.函数f(x)单调减少且其图形是凸二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）x17. lim( )x xx18.f(0)1，则limf(xf(x)x0 x9.定积分

x311 dx的值11x2110.设ab(2,5,k)，若a与b垂直，则常数k x24yzx24y

，则dz

x1y0

n0

(1)n xn的收敛域 n三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限lim( 1

1)x0

xtanx x214yy(xyexy

dy d2y2x所确定，求 , dx dx215、求不定积分

xarctanxdx16、计算定积分40

x3dx2x1x2t17、求通过点(1,1,1)，且与直线y32t垂直，又与平面2xz50平行的直线的方程。z53t2z18zy2f(xyexf具有二阶连续偏导数，求11y219、计算二重积分D

xdxdy

，其中D是由曲线x

，直线yx及x轴所围成的闭区域。20yexye2xy"py'qy0的两个解，试确定常数p,q的值，并求微分方程y"py'qyex的通解。四、证明题（每小题9分，共18分）1 121x1ex1

x2 2 2(x), x0,22、设f(x)

x 其中函数(xx0处具有二阶连续导数，且 1,

x0,(0)0,'(0)1，证明：函数f(x)在x0处连续且可导。五、综合题（每小题10分，共20分）23yx2(x0)ya2(0a1)与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V(a)，由抛物线yx2(x0)，直线ya2(0a1)与直线x11所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V

(a)，另V(a)V(a)V

(a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值。

2 1 224、设函数f(x)满足方程f(xf(x)2ex

f'(x) ，且f(0) 记由曲线y f(x)y1,xttyA(tlimA(t)t2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1C 2、D 3、B 4D 5、A 6、27、ye3x(C1

cos2xC2

sin2x)，其中C、C1 2

为任意实数8、dy

f(x,ydxdy2f(x,ydx

649、yxy1dx xylnxdy 10、0 y 2 y 52 2 1 1 2xlnx 1、dy

dx

12、 2 x1x 12x 2 x13、x1是第二类无穷间断点；x0是第一类跳跃间断点；x1是第一类可去间断点.e2x e2xexex 114、1 15、 dx1ex

1ex

dxex

ex)C

16、

xC17、yetanxdx secx

tanxdxdxC

elncos

secxelncosxdxC

，cosxyx0

00CC0y x 18、解：原式0

siny2dy1

1cos4dx 219、解“在原点的切线平行于直线2xy30”

'(x)

x0

2即b2b 2f(xx1

'0，即3ab0，得a 3 3故f'(x)2x

2，两边积分得f(x) x232

2xcyf(x过原点，所以c0yf(x)2x3

2xz 1 2z 2x2 x 11201

f'

2xf

' ， f''2 y y2

f''y3

f'y2 21211）2yx10）3）V13 x

，V6

6522、limx0

f'(x)xf(x)1

limx0

f'(x)xf(x)(x)2 limf''(x)xf'(x)f'(x)limf''(x)

''(0).x0

2x

x0

2x 223、由拉格朗日定理知：f(ab)f(b)af(a)f(0)

f'(

) (b1

ab)， f'a

) (b2

a)f(x在(0cfff(0)0，故1 2f(a)f(b)f(ab).24、解：设每月每套租金为20010x，则租出设备的总数为40x，每月的毛收入为：(20010x)(40x20(40x.于是利润为：L(x)10x)(40x)7200220x10x2 (0x40)L'(x)0x11x0x11x40L(0L(40，故租金为(2001011310.2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案01－05ACABD 06－10CBABB 、1 12、(13、014、

15edxln

32ex3f2ex3

17、1z18、

1 0 21 2z yx2yx2y2(x2y2)419、解：令tx1x2时t1x0t1，所以2f0

dx1

dx1ln(1e1)ln(e1)02 y

11e

01x120、原式

dy

x2y2dx4drrdr 0 y 0 0 12121、yecosx(x22、 arcsin2x2C423（1）ke

1 1 x)x)x

x0（2）

'(x)

x)

x2 ex0 224（1）S

0dxx22x4dy2dxx22x4dy162 6

0 2x 3（2）V2(x22x4)2dx0(6x)2dx2(2x)2dx

5122 2

0 1525、证明：F(x)1x

cosx，因为F(xF(x，所以F(x是偶函数，我们只需要考虑2x 2

，则F'(x)2

sinx，F''(x)

cosx. 2 2xarccosF(x)0，即表明F(x)arccos内单调递增，所以函数F(x)

0,arccos2

内严格单调递增； 2 2 xarccos

,2时，F''(x)0，即表明F'(x)在arccos

, 内单调递减，又因为2 2 F'2)0F(x在arccos

, .2

综上所述，F(x)的最小值是当x0时，因为F(0)0，所以F(x)在 , 内满足F(x)0.26（1）x件产品时，平均成本最小，则平均成本

2 2C(x)

C(x)

25000

200

1x，C'(x)0x1000件）x x 40（2）设生产x件产品时，企业可获最大利润，则最大利润xP(x)C(x)x440

x25000200x

1x2 ， 20

40 xP(xC(x)'0x1600. xP(xC(x)167000（元）.2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B 2C 3、D 4、C 5、D 6、B 7、B 8C 9、e21 10、、0122dx3

f(x,y)dy 13、原式x2

1 1]x2]2

lim

x21x2

e20 x x02

x 1cos

2x01 x x x 1 114、dz

sec2 dxy y

sec2 dy 15、 x2lnxy2 y 2 216

0 sin

sin

d21cos2 01cos2 22217yx(ex

dyt d2y 1 tdyt d2y 1 tdx 2 dx2 x1x1sin(x1) sin(x1) sin(x1x1x119、x1是f(x1

lim

1，lim 1x1是f(x)

sin(x1)

xx1x2y2x2y2

1620、(1

)dxdy2

r)dr 0 0 2 D

2 821（i）y4；

（ii）S0

4(4xx2)dx 3（iii）V

VVx 1

4222(4xx2)dx2240 1522、证明：令f(x)xex

2f(0)20fe20f(x在内连续，f(x在内至少存在一个实数f)0

(x)exx在内大于零，所以f(x)在内单调递增，所以在.23、解：设圆柱形底面半径为r，高位h，侧面单位面积造价为l Vr2h ) lyr2

r

rhl (2)2V 1 由（1）得h

r

代入yl2r34342V3

r2r2 r

V2V2令y'l5r 0，得：r

；此时圆柱高h

3 . r2

53535

，高为h

时造价最低.341 2 23424、解：f

'(x) ，f''(x) ，f'''(x) ，…(4x)2 (4x)3 (4x)3f(n)(x)(1)n (4x)n11 1 2 f(0)，f'(0) ，f''(0) ，…，f(n)(x)(1)n 4 42 431 1 1

4n1xnf(x) x x

n ，收敛区间4,425

4 42230

4311

4n13yC1

exC2

e3x，因为01不是特征方程的根，设特解方程为yb0

xb1

C1

exC2

e3xx.32004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A 2、B 3、C 4、B 5、A 6、D 7、e1x1 y z2 18、 4 2 3

9、

10、arcsin4xC4y1、1dyy0 0

f(x,ydx2dy21 0

f(x,y)dx

12、13间断点为xkZ当x0时f(x)lim x 1为可去间断点当xk，k0kZlim

x0x .

x0sinxx0sinxx(tantsint)dt tanxsinx tansin

x x212 1114、原式lim0 lim lim lim .x0

3x4

x0

12x3

x0

12x3

x0

12x3 2415x0y(0)1y'e

xeyy0，对上式求导并将x0、y1代入，解得：y''2e2.ex ex' (xx16、因为f(x)的一个原函数为 ，所以f(x)

，x x x2

'(2x)dx12

'(2x)d(2x)

1xdf(2x)2

1xf(2x)12 2

f(2x)dx 1xf(2x)1f(2x)d(2x)x(2x1)e2xe2x 2x2 4 8x2 8x 4x17、 1

dxt x1 t dt2

1 dt2arctant2 x x1z

1 t(t

1 t

1 1 218

f'f1

'y；22z f

(1)f''

xf

'yf

(1)f''xxy 11

12 2 21 22f''11

(xy)f''12

xyf''22

f219、原式sinydxdy1dyysinydx11ysindyy 0 y2 y 0D(ycosy101cosydy1sin101 1 1 1

(x2)n 20、f(x) n ，(2x 4x2

1x2 4

4nn021、证明：令tx，xf(sinx)dx0t)f(sint)dtt)f(sint)dt0 0f(sinx)dxxf(sinx)dx0 00 20x sinx dx0 20x sinx dx sinx dx 01cos2x201cos2x2

f(sinx)dx

arctan(cosx) 2 0 422、等式两边求导的xf(x2x

'(x)即f

'(x)xf(x)2x且f(0)1，px，q2x，

pdxx2

e 2，

x2xe2，

dx

2xq

22dx2e

x22f(x)

x22

C)e

x22

2x2Ce2x

f(0)1，x2x解得C3f(x)2223、设污水厂建在河岸离甲城x公里处，则402(50x)2M(x)500x700 402(50x)21 2(x50)402(50x)2M'500700402(50x)22x50

500

6（公里.62005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A 2、C 3、D 4、A 5、A 6、C 7、2 8、e1 9、 2

10、5y21、1dyy2

f(x12、0 13F(xx0处连续，所以limF(x)F(0)，x0f(x)2sinx f(x)f(0)limF(x)lim lim 2f'(0)2628，x0 x0 xF(0)a，故a8.

x0 xdydy dt costcosttsint d2y (y')' 114、 t， t csct.dx dx sintdt

dx2

x' sintt15、原式tan2xtanxsecxdx(sec2xsecxsec2xdsecxsecx

1sec3xsecxC.131 x 11dx2)16、原式xarctanx10

dx 01x2 4 20 1x2 1 x2)14 2 01ln24 2z 2z17、 cosxf'， cosx(f

2y)2ycosxf''x 1

12 1218、lBABi j klAB5 2 11 4 2平面点法式方程为：8(x9y22(z2)0，即8x9y22z59. x2 19、f(x) ( ) 3 2x 1x 6 1

x 3 1x2x2()n 3 n，收敛域为1x1.3n0

2n1 20y'

y ，通解为1 exx1 ex

1dx ex

1dx C exye

x ex dxC xxx xxx eeeC，所以C0yex.x21f(x)x3

3x1xf()30f)10f()f)0，f(x在.22yf(x)f(2)4

'(2)3，

''(2)0.y

6xay(2)0得a12y''

6x12.y

6x12y

3x

12xC1

y(23，解得C1

9.故yx3

6x29xC ，由y(2)4，解得C 2.2 2所求函数为：yx3

6x

9x2.11 1 123（1）S

y2dy y3112002 6 0 1201 （2）Vx

22x)dx(xx2) 0 424、解：积分区域D为：1yu，yxu（1）Fu)f(xdudxxf(xdyu(x)f(x)dx；1 1 1D（2）F'(u)(uf(u)，F'(2)(21)f(2)f(2)1.2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1C 2、B 3、C 4C 5、C 6、A 7、2 8、f(x) 9、1 10、10、exy(ysinxcosx) 12、11x433 13、原式lim3 2 x1

1 x x2

31 dy 114、dy y'

11t2

t d2y

( )' dx 2

1t2 t ， dx x' t

2 dx

x' t1t2 1t215、原式

1lnxd(1lnx)

2(1lnx)3C23220 2016、原式2

x2dsinxx2sinx

22xsin 22cosx24

02xcosx0

0 4 022cosxdx2220 4y y2 y17y

，令p 则y'pxp'，代入得：xp'p2，分离变量得：x x x1p2

dp

1dx1x

lnx

，y x .18、令

lnxCg(x)lnxC

g(0)0

g'(x)

(1)nxndx

(1) n1

2，故f(x)

n0

(1)nn

xn2，1x1.

n0 n019、n1

、n2

ilnn 31 2

j k1 13jkx3直线方程为

y1

z2.

4 3 12 3 1z 2z20、 x2

'， 2xf

'x2(f''

2xf''

y)2xf

'2x3f''

x2yf''.y 2

2 21 22

2 21 2221f(x)3xx3xf(x)33x20x1f)2f2，f(2)2，f(2)2；所以f 2，f 2，故2f(x)2，即3xx32.min max22y'2xyy(0)0y(2x2Cexy(0)0得C2y2x22ex.23（1）S

2x2x2)dx 642 364（2）V4( y)2dy8( 8y)2dy124

0f(x)dxdytx

4f(xdyt

f(x)dxDtt

0 0 0f(x) t0g(t)0 a

t0limg(t)limtf(x)dx0g(t的连续性可知ag(0)limg(t)0t0 t0 0（2）当t0g(t)f(t，

t0g(h)g(0)

f(x)dx当t0时，g'(0)lim lim0 limf(h)f(0)g(t)f(t

h0 h

h0 h

h02007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案31、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、ln2 8、1 9、10、321 、 dx dy 12、y''5y'6y01 y y2113、解：limexx1limexx1limex1limex .1x0 xtanx x0 x

x0 2x

x02

dy exy14、解：方程exeyxy，两边对x求导数得ex

eyy'yxy'，故 y' .d2ydx2dydx又当x0时，yd2ydx2dydxx0

x0

2.

dx eyx15x2exdxx2d(ex)x2e

2xexdxx2e

2(ex)x2ex2xex2exC.16

xsin

，则1

1x2dx

cos2tdt1.2 x2

sin2t 442z 2z217、解： 2f

yf

'， 2(f

3f''

x)f

'y(f''

3f''

x)x 1

2

11

2 21 226f''11

(2x3y)f''12

xyf''22

f218y

y2007x，相应的齐次方程y' y0的通解为yCx.可1 x 1 设原方程的通解为yC(x)x.将其代入方程得C'(x)xC(x)C(x)2007xC'(x)2007，从而C(x)2007xCy(2007xC)x.)2008，所以C1，于是y(2007x1)x.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下）19、解：由题意，所求平面的法向量可取为i j kn1 1 1.2 1 1故所求平面方程为2(xy23(x)0，即2xy3z50.20x20

y2dxdy22cos2

8cos3162 0 0 32 D D211）V0

(1x2)2dx8；15（2）由题意得a1y)1dy11y)1dy. 由此得1a)311a)3

. 2 2 2 20 a11a1()3.422、解：f'(x)3ax22bxc，f''(x)6ax2b.f0f0f2，解得a1、b3、c9ayb axb 23、证明：积分域D y x b

，积分域又可表示成D bdybf(x)e2xydxf(x)e2xy

bx

f(x)e2xydy

f(x)e2xdxxe2ydya y a a a Db

f(x)e2x(exeadxb(e3xe2xa)f(xdx.a ax1

x2124、证明：令F(x)lnx ，显然，F(x)在0,上连.由于F'(x) 0，x1 x(x1)2F(x在上单调递增，x1于是当0x1时(x)F0即lnx 又xx1

10(x

lnx(x1)2；x1当x1时，F(x)F0，即lnx ，又xx1

10，故(x

lnx(x1)2.x0时，总有(x

lnx(x1)2.2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B 2、A 3、D 4C 5、A 6、B 7、0 8、3 10、cosx1xc 、 12、22x2 2

2x6 x13、lim( )3x)3

)2 ，令y ，那么x x

x

x x 21 1

x

)3x

)y6 .x x

x

y e614、‘t)sintxt)1costt)costt)sint.dy

yt)

sint d2y，

y，t)xt)yt)t)

1 .dx xt) 1cost dx2x3 x31 d(x

‘t)3

cost)215

dx dx dx(x2xlnx1Cx1 x1 x1x3

x

xlnx1C.3 21 1 11 1116、ex2dxex2d(x222ex2x2dx1 1 11 11

1 1111 12ex2de22(x2ex21ex2dx2)1 1111 10 0 0

0 0 01 1 1＝2e21ex2dx20

2e2ex210

2e2e22.17、由题意得：AB0AC(,)，那么法向量为 3 0 2 2nABAC0 5，－0

， 03 0z y 2z 1 y 118、

f，.

，＋ f，－ (f’ f’)x 1 x

2

11 2

x2 21

x 22y＝fy

1 1 f''－ f

' f''

y f''11 x

x2

x2

x3 22x19、x2dxdy1dxxx2dy