机械制图(第二版)课件第2章-投影的基本知识

第2章投影的基本知识2.1三投影面体系2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影第2章投影的基本知识2.1三投影面体系2.1三投影面体系

2.1.1投影法及其分类

1．投影法的基本概念

将投射线通过物体向选定的平面投射，并在该平面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法所得到的图形称为投影图(简称投影)。要得到投影必须有三个元素：光线、形体和投影面。光线可以是平行的(如日光)或者从一个中心点发出的(如白炽灯泡发出的光线)。形体可以是平面或者一个空间立体，投影法中得到投影的投影面通常采用平面，如图2-1所示。2.1三投影面体系

2.1.1投影法及其图2-1中心投影法图2-1中心投影法2．投影法的种类

1)中心投影法

投影线交汇于一点的投影法称为中心投影法，如图2-1所示。投影线的交汇点称为投影中心，如图2-1中的S点。用中心投影法绘制出的图形符合人的视觉规律，因此经常用此法绘制一些需要强调视觉效果的图形，比如建筑效果图等。由于用中心投影法绘制图形的方法复杂，效率低，又不容易进行尺寸标注，因此此方法在机械制图中很少使用。2．投影法的种类

1)中心投影法

投影线交汇2)平行投影法

投影线相互平行的投影法称为平行投影法。在平行投影法中，又根据投射线与投影面的相对位置不同分为正投影法和斜投影法。

投射线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法，由此法得到的投影图称为正投影图(正投影)，如图2-2(a)所示。

投射线不垂直于投影面的平行投影法称为斜投影法，由此法得到的图形称为斜投影图(斜投影)，如图2-2(b)所示。2)平行投影法

投影线相互平行的投影法称为平行投影图2-2平行投影法图2-2平行投影法由于正投影图能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性好，作图也比较方便，因此在机械工程图中得到了广泛应用。本课程主要研究正投影法。后面各章除特别说明外，所述投影均指正投影。由于正投影图能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性2.1.2正投影的特性

制作正投影时，当形体(平面或直线)与投影面之间处于某种特殊位置时，这些形体的投影会表现出不同的特性。研究这些特性对绘制和理解形体的投影图有非常重要的作用。2.1.2正投影的特性

制作正投影时，当形体(平面或

1．真实性

当物体上的平面(或直线)与投影面平行时，其投影反映实形(或实长)，这种投影特性称为真实性，如图2-3(a)所示。

2．积聚性

当物体上的平面(或直线)与投影面垂直时，在投影面上的投影积聚为一条线(或一个点)，这种投影特性称为积聚性，如图2-3(b)所示。1．真实性

当物体上的平面(或直线)与投影面平行时图2-3正投影的特性图2-3正投影的特性

3．类似性

当物体上的平面(或直线)与投影面倾斜时，其投影的面积变小(或长度变短)，但投影的形状仍与原来的形状类似，这种投影特性称为类似性，如图2-3(c)所示。3．类似性

当物体上的平面(或直线)与投影面倾斜时2.1.3三面投影

如图2-4所示，三个不同物体向同一投影面正投影后，所得投影相同，由此说明，一个投影是不能确定物体的唯一形状和结构的。为了确定物体的唯一结构和形状，需要采用多个投影面进行正投影。从多个方向对形体进行观察和描述，绘制出的视图可以确定形体的唯一形状和大小。2.1.3三面投影

如图2-4所示，三个不同物体向同图2-4不同形体可以得到相同的投影图2-4不同形体可以得到相同的投影

1．三投影面体系

通常选用三个互相垂直相交的投影面，建立一个三投影面体系，如图2-5所示。三个投影面分别称为：正立投影面，简称正面，以V表示；水平投影面，简称水平面，以H表示；侧立投影面，简称侧面，以W表示。三个投影面之间的交线OX、OY、OZ称为投影轴，三根互相垂直的投影轴的交点O称为原点。1．三投影面体系

通常选用三个互相垂直相交的投影面图2-5三面投影体系图2-5三面投影体系

2．三视图的形成

如图2-6所示，将物体放在三投影面体系中，用正投影法向三个投影面投影，就得到了物体的三面投影。这三面投影图也叫三面视图，简称三视图。其中：由前向后投射在V面所得的视图称为主视图；由上向下投射在H面所得的视图称为俯视图；由左向右投射在W面所得的视图称为左视图。2．三视图的形成

如图2-6所示，将物体放在三投影图2-6三视图的形成图2-6三视图的形成

3．三面投影体系的展开

为了方便画图和看图，假想三个投影面展开、摊平在同一平面(纸面)上，并且规定：正面V不动；水平面H绕OX轴向下旋转90°；侧面W绕OZ轴向右旋转90°，如图2-7所示。3．三面投影体系的展开

为了方便画图和看图，假想三个图2-7三面投影视图的展开图2-7三面投影视图的展开三视图的配置关系为：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方，如图2-8(a)所示。

画图时，投影面的边框线和投影轴均不必画出，同时按上述方法展开，即按投影关系配置视图时，也不需要说明视图名称，最后得到的三视图如图2-8(b)所示。三视图的配置关系为：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图2-8物体的三视图图2-8物体的三视图

4．视图与物体之间的关系

物体上有上、下、左、右、前、后六个方向的位置关系，如图2-9(a)所示。每一个视图只反映四个方向的位置关系，如图2-9(b)所示。其中：主视图反映了物体的左、右、上、下之间的位置关系，即反映了物体上的长度和高度；俯视图反映了物体的前、后、左、右之间的位置关系，即反映物体上的宽度和长度；左视图反映了物体的前、后、上、下之间的位置关系，即反映了物体上的宽度和高度，如图2-9(c)所示。4．视图与物体之间的关系

物体上有上、下、左、右、图2-9三视图中的尺寸与方向图2-9三视图中的尺寸与方向5．三视图之间的投影关系

由上面的讨论可知，在三视图中：主、俯视图同时反映了物体上的长度；主、左视图同时反映了物体上的高度；俯、左视图同时反映了物体上的宽度，如图2-10所示。同时，三视图又是按上述的规定方法展开的，所以，三个视图之间的投影关系可以总结如下：

主、俯视图——长对正；

主、左视图——高平齐；

俯、左视图——宽相等。

这个“三等”关系就是物体三视图的投影规律。它对于物体整体是如此，同时对于物体上的直线、点也都是适用的。5．三视图之间的投影关系

由上面的讨论可知，在三视图图2-10三视图之间的投影关系图2-10三视图之间的投影关系

6．画物体的三视图

下面举例来说明运用三视图之间的位置关系和投影关系画出三视图的方法和步骤。

(1)分析物体。分析物体上的面、线与三个投影面的位置关系，再根据正投影特性判断其投影情况，然后综合出各个视图。

(2)确定图幅和比例。根据物体上最大的长度、宽度和高度及物体的复杂程度确定绘图的图幅和比例。

(3)选择主视图的投影方向。以最能反映物体形状特征和位置特征且使三个视图投影虚线少的方向作为正投影方向。6．画物体的三视图

下面举例来说明运用三视图之间的位(4)布图，画底图。画作图基准线、定位线，画三视图底图。从主视图画起，三个视图配合着画图。

(5)检查、修改底图。

(6)加深描粗图线，完成三视图，如图2-11所示。

画三视图时，作图所需尺寸可在模型(在轴测图中可以沿前后、左右或上下三个方向)上去量，每个尺寸测量一次就够了。相邻视图之间相应的投影尺寸关系可用丁字尺来保持高相等，用三角板与丁字尺配合起来保持长相等，用分规或作45°斜线来保持宽相等。

模型的三视图举例如图2-12和图2-13所示。(4)布图，画底图。画作图基准线、定位线，画三视图底图图2-11三视图绘制方法图2-11三视图绘制方法图2-12模型三视图举例1图2-12模型三视图举例1图2-13模型三视图举例2图2-13模型三视图举例22.2点的投影

通过2.1节的学习及画图实践，可以体会到画一个物体的三视图实质上是画出组成物体的各个面的投影，而各个面是由各棱线围成的，棱线是由两个端点决定的，如图2-14所示。因此，为了迅速、正确地画出物体的视图，还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的投影。2.2点的投影

通过2.1节的学习图2-14三棱锥的三视图和立体图图2-14三棱锥的三视图和立体图如图2-15(a)所示，设有一空间点A，由点A分别向H、V和W面投影，可得到A点的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″。图中每两条投影线确定一个平面，它们与三投影轴分别相交于aX、aY和aZ，以空间点A、三个投影a、a′和a″以及aX、aY、aZ和原点O为顶点可构成一个长方体。

将各投影面展开(展开方法同2.1.3节)可得A点的投影图，如图2-15(b)所示。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称和投射线与投影轴的交点aX、aY、aZ等，而只画出坐标轴OX、OY、OZ(简称X、Y、Z轴)及点的投影a、a′和a″，如图2-15(c)所示。如图2-15(a)所示，设有一空间点A，由点A分别向H、图2-15点在三面投影体系中的投影图2-15点在三面投影体系中的投影如果把三投影面体系看做空间直角坐标系，把投影面H、V、W视为坐标面，投影轴OX、OY、OZ视为坐标轴，则空间点A分别到三个坐标面的距离Aa″、Aa′、Aa可用点A的三个直角坐标XA、YA和ZA表示，记为A(XA，YA，ZA)。同时，点A的三个投影a、a′、a″也可用坐标来确定，即水平投影a由XA和YA确定，反映了空间点A到W面和V面的距离Aa″和Aa′；正面投影a′由XA和ZA确定，反映了空间点A到W面和H面的距离Aa″和Aa；侧面投影a″由YA和ZA确定，反映了空间点A到V面和H面的距离Aa′和Aa。如果把三投影面体系看做空间直角坐标系，把投影面H、V、W根据上述分析，可以得到点在三面投影体系中的投影规律：

(1)点的正面、水平投影连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX轴。

(2)点的正面、侧面投影连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ轴。

(3)点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aaX＝a″aZ＝YA。

为了表示aaX＝a″aZ＝ YA的关系，常用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧把水平投影和侧面投影之间的投影连线联系起来，如图2-15(c)所示。根据上述分析，可以得到点在三面投影体系中的投影规律：

例2.1已知空间点A(20，10，15)，试作它的三面投影图。

作图步骤：

(1)如图2-16所示，在展开的三面投影体系中，由原点O向左沿轴OX量取20mm得aX，过aX作OX轴的垂线，在垂线上自aX向下量取10mm得水平投影a，再向上量取25mm得正面投影a′。例2.1已知空间点A(20，10，15)，试作它的三图2-16点的三面投影与坐标的关系图2-16点的三面投影与坐标的关系(2)过a′作OZ轴的垂线交OZ轴于aZ，在垂线上自aZ向右量取10mm得a″(a″也可由a通过作圆弧或45°斜线求得)。

a、a′、a″为A点的三面投影。

例2.2已知B点的正面投影b′和水平投影b，求该点的侧面投影b″，如图2-17(a)所示。(2)过a′作OZ轴的垂线交OZ轴于aZ，在垂线上自a图2-17已知点的两面投影绘制点的第三面投影图2-17已知点的两面投影绘制点的第三面投影

分析：

由点的投影规律可知：侧面投影和正面投影连线垂直于Z轴，即bb′⊥OZ轴，所以b″一定在过b′且垂直于OZ轴的直线上，又因为水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，所以可以求得b″，如图2-17所示。

作图：

如图2-17(b)所示，由b′作OZ轴的垂线与OZ轴相交于bZ，在此垂线上自bZ向右量取bbX＝b″bZ，即得B点的侧面投影。也可以过O点绘制45°斜线，然后过b点绘制水平线，交于45°斜线后，向上绘制OYW垂直线与过b′点绘制的水平线相交得到bbX＝b″bZ的关系。分析：

由点的投影规律可知：侧面投影和正面投影连线垂

例2.3已知空间点A(15，10，20)，B点在A点的正右方5，C点在A点的左方5、前方5、下方5，求作A、B、C点的三面投影。

分析：

A点的投影可根据投影与直角坐标之间的关系及点的三面投影规律作出。

B点在A点的正右方5，说明B点的Y、Z坐标值与A点相同，X坐标值比A点的X坐标值小5，则B点的投影可根据它们之间的关系作出。例2.3已知空间点A(15，10，20)，B点在A点从三视图所反映物体的位置关系可知，X轴方向是长度方向，通过X坐标的大小可知它们的左右相对位置；Y轴方向是宽度方向，通过Y坐标的大小可知它们的前后相对位置；Z轴方向是高度方向，通过Z坐标的大小可知它们的上下相对位置。对于两点的相对位置，可由两点各方向的坐标值大小来确定。所以，点C的投影可根据相对坐标作出。从三视图所反映物体的位置关系可知，X轴方向是长度方向，通作图方法如图2-18所示。

由于A、B两点的Y、Z坐标值相同，它们的侧面投影重合，因此此两点称为侧立投影面的重影点，此时，两点必位于该投影面的同一条投射线上。重影点的可见性由不重合投影的相对位置来判断(或由第三坐标大小来判断，大的可见，小的不可见，不可见的投影加括号)。作图方法如图2-18所示。

由于A、B两点的Y、Z坐图2-18根据点的坐标和相对坐标绘制点的三面投影图2-18根据点的坐标和相对坐标绘制点的三面投影

例2.4如图2-19(a)、(b)所示，根据立体图，完成立体上点的投影以及立体的三面投影。

分析：

因点在立体上的投影位置已知两面，故另一面投影可根据投影规律直接作出。例2.4如图2-19(a)、(b)所示，根据立体图，图2-19作立体上点的投影图2-19作立体上点的投影

作图：

在立体的俯视图和左视图中找到同一个点的投影，如立体上后、右、下侧的点，各自绘制水平线和垂直线，交于一点，过此点绘制45°斜线，如图2-19(c)所示，利用这个斜线绘制折线，可找出点A的侧面投影，点C的正面投影可根据投影规律直接在主视图中得到。绘制过程中，如果已经知道点的投影在立体的某条线上，则可直接绘制，不必绘制连线。例如，A点的正面投影和侧面投影在立体的最高一条线上，不必绘制主视图和左视图中点A的投影连线；点B在立体上左、前、上侧，可直接在三视图中找到点B的投影，不必绘制连线。作图：

在立体的俯视图和左视图中找到同一个点的投影，2.3直 线 的 投 影

1．直线的投影规律

常见的直线是平面立体的棱线，即两平面的交线。直线的投影一般仍为直线，也有可能成为一个点。作直线的投影时，只需作出确定该直线的任意两点的投影，将这两点的同面投影相连，便可得直线的三面投影，如图2-20(b)所示。另外，已知直线上一点的投影和该直线的方向，也可作出该直线的投影。2.3直 线 的 投 影

1．直线的投影图2-20直线的投影图2-20直线的投影

2．直线的分类及其投影特性

根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线。后两类直线统称为特殊位置线。

空间直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角，本书中分别用α、β、γ表示，如图2-20(a)所示。2．直线的分类及其投影特性

根据直线相对投影面的位置1)一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。如图2-20所示，AB为一般位置直线，它与H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示，则直线的投影与其实长有如下关系：

ABcosα＝ab，ABcosβ＝a′b′，ABcosγ＝a″b″

由此可知，一般位置直线的投影特性如下：

三个投影都倾斜于投影轴，三个投影长度均小于实长，三个投影与各投影轴的夹角不反映直线对投影面的真实倾角。1)一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线称为一般2)投影面平行线

平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。投影面平行线有水平线、正平线和侧平线三种。表2-1列出了它们的直观图、投影图和投影特性。现归纳投影面平行线的投影特性如下：

(1)直线在所平行的投影面上的投影反映实长和对另两个投影面的真实倾角。

(2)直线的另两个投影分别平行于相应的投影轴，且均小于实长。2)投影面平行线

平行于一个投影面而与另外两个投影3)投影面垂直线

垂直于一个投影面(必与另两个投影面平行)的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线有铅垂线、正垂线和侧垂线三种。表2-2列出了它们的立体图、投影图和投影特性。现归纳投影面垂直线的投影特性如下：

(1)直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。

(2)直线在另两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴(或同平行于一个投影轴)，且反映实长。3)投影面垂直线

垂直于一个投影面(必与另两个投影表2-1投影面平行线的投影规律表2-1投影面平行线的投影规律续表

表2-2投影面垂直线表2-2投影面垂直线续表

3．直线上的点

直线上的点具有以下特性：

点在直线上，则点的各投影必在该直线的各同面(名)投影上，且点分割直线长度之比等于点的投影分割直线投影长度之比。反之，如果点的各面投影均在直线的同面投影上，且分割直线各投影长度成相同比例，则该点必在此直线上，如图2-21所示。如果点不在直线上，则点的投影中至少有一个投影不在直线的同面投影上，如图2-22所示。3．直线上的点

直线上的点具有以下特性：

点在直图2-21直线上点的投影图2-21直线上点的投影图2-22不在直线上点的投影图2-22不在直线上点的投影对于投影面的平行线，必须确定点的投影落在反映直线实长的同面投影上，才可确定点在直线上，否则还不能确定。如图2-23所示，点M和点K的H面投影和V面投影都在直线的同面投影上，仅根据H面投影和V面投影还不能确定这两个点是否在直线上，必须根据W面投影才能得出结论，确定点K在直线上，点M不在直线上。对于投影面的平行线，必须确定点的投影落在反映直线实长的同图2-23投影面平行线与点的投影关系图2-23投影面平行线与点的投影关系

4．两直线的相对位置

两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。平行和相交两直线均属于同一平面(共面)的直线，而交叉两直线则不属于同一平面(异面)的直线。表2-3列出了它们的投影图及投影特性。4．两直线的相对位置

两直线的相对位置有三种情况：平表2-3两直线的相对位置表2-3两直线的相对位置

5．一般位置直线求实长和倾角

从前面的内容可以了解投影面的平行线和垂直线，在三面投影中可以直接看出直线的实际长度和该直线与投影面的夹角。对于一般位置直线，直线实长以及该直线与投影面之间的夹角是不能直接看出的。有时为了空间度量和绘制形体实际形状的需要，必须求出直线的实际长度和直线与投影面之间的夹角。下面介绍两个求一般位置直线的实长和倾角的方法。5．一般位置直线求实长和倾角

从前面的内容可以了解投方法一：利用直角三角形法求直线的实长、直线和投影面的夹角。

观察直线两投影的直观图，如图2-24(a)所示，直线AB在H面和V面上分别有投影ab和a′b′，两个投影都不平行于投影轴，这是一条一般直线。过空间直线的一个端点B作一条平行于水平投影ab的直线，交A点的投影线于A0点，这样就构成一个直角三角形A0BA。这个三角形的构成情况是：一个直角边BA0长度等于直线的水平投影ab，另一个直角边长度等于直线两端点A、B到水平投影面的距离之差。方法一：利用直角三角形法求直线的实长、直线和投影面的夹角由于BA0是一条水平线，在正面的投影平行于OX轴，因此在正面投影中可以很容易地找到两端点A、B到水平投影面的距离之差。直角三角形A0BA的斜边即直线的空间实际长度，斜边AB与直角边BA0的夹角即直线与水平面的夹角α。利用这个直角三角形的关系，可以很容易地用直线的水平投影和正面投影求出直线的实长以及直线与水平面的夹角。由于BA0是一条水平线，在正面的投影平行于OX轴，因此在如图2-24(b)所示，已知直线的两个投影ab和a′b′，过直线的一个端点绘制一条与直线水平投影ab垂直的直线，在正面投影中求出直线AB到水平投影面距离之差(过直线的一个端点画直线平行于OX轴即可)，在水平投影中绘制的与ab垂直的直线上截取这段长度(可以用圆规画弧的方法)，找到A1点，连接A1点与另一个端点，绘制斜边，即可求得直线的实长。直线实长与直线水平投影ab之间的夹角就是直线的α角。如图2-24(b)所示，已知直线的两个投影ab和a′b′同样也可以利用直线的水平投影和另一个投影求直线的实长以及直线的β角。此时直角三角形的两个直角边分别是直线的正面投影和直线两端点到正面距离之差。直角三角形的空间概念和作图方法如图2-25所示。读者可以根据图2-25自己总结空间推理以及作图方法。同样也可以利用直线的水平投影和另一个投影求直线的实长以及图2-24利用直角三角形法求直线的实长、直线和水平面的夹角图2-24利用直角三角形法求直线的实长、直线和水平面的夹图2-25利用直角三角形法求直线的实长、直线和正投影面的夹角图2-25利用直角三角形法求直线的实长、直线和正投影面的同样的道理，可以利用直线的侧面投影和另一个投影求直线的实长以及直线的γ角，只是此时必须利用直线的侧面投影作直角三角形的一个直角边。读者可以自己总结空间推理和作图方法。同样的道理，可以利用直线的侧面投影和另一个投影求直线的实方法二：利用换面法求直线的实长、直线和投影面的夹角。

如图2-26(a)所示，作一个新的投影面V1，该面与H面垂直并平行于直线AB，V1与H面的交线为O1X1，O1X1与直线的水平投影ab平行。将直线两端点A、B分别向新投影面V1投影，得到投影、，从前面已经总结出的投影规律可以得出：到O1X1的距离反映A点的高度，与a′到OX轴的距离相等；到O1X1的距离反映B点的高度，与b′到OX轴的距离相等；与a点的连线垂直于O1X1；与b点的连线垂直于O1X1。方法二：利用换面法求直线的实长、直线和投影面的夹角。

可以利用前面学过的作图方法对图2-26(b)中的直线投影求实长和夹角。如图2-26(b)所示，作轴线O1X1平行于ab，分别过a点和b点作轴线O1X1的垂线，截取到O1X1等于a′到OX轴的距离，截取到O1X1等于b′到OX轴的距离，得到投影、，连接和，即可得到直线AB的实长。与O1X1的夹角即为直线的α角。可以利用前面学过的作图方法对图2-26(b)中的直线投影图2-26利用换面法求直线的实长、直线和水平面的夹角图2-26利用换面法求直线的实长、直线和水平面的夹角同样也可以利用换面法求出直线的实长，同时求出直线的β角。这时要求新投影面垂直于V面，同时平行于直线。作图时，要利用直线的正面投影a′b′绘制轴线O1X1，新的投影a1b1度量时要利用直线的水平投影ab。空间构思过程和绘图方法如图2-27所示，读者可利用此方法求出直线的实长，同时求出直线的β角。

同样的道理，也可以利用换面法求出直线的实长，同时求出直线的γ角。构思过程和绘图方法请读者自行练习解决。同样也可以利用换面法求出直线的实长，同时求出直线的β角。图2-27利用换面法求直线的实长、直线和正面的夹角图2-27利用换面法求直线的实长、直线和正面的夹角2.4平 面 的 投 影

1．平面的表示法

平面可以用各种几何要素表示。图2-28画出了用不同几何要素表示平面的直观图和投影图。

图(a)表示不在同一条直线上的三点确定一个平面；

图(b)表示一直线与直线外一点确定一个平面；

图(c)表示相交两直线确定一个平面；

图(d)表示平行两直线确定一个平面；

图(e)表示任意平面图形如三角形、四边形、圆形等确定一个平面。2.4平 面 的 投 影

1．平面的表示法

图2-28用不同几何要素表示平面的直观图和投影图图2-28用不同几何要素表示平面的直观图和投影图

2．各种位置平面的投影特性

根据空间平面对三个投影面的相对位置，平面可分为三类：投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面。前两类平面称为特殊平面。2．各种位置平面的投影特性

根据空间平面对三个投影面1)投影面平行面

平行于一个投影面而垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。投影面平行面分为水平面、正平面和侧平面三种。表2-4列出了它们的直观图、投影图和投影特性。现归纳投影面平行面的投影特性如下：

(1)平面在所平行的投影面上的投影反映空间平面的实形。

(2)平面的另两个投影均积聚为平行于相应投影轴的直线。1)投影面平行面

平行于一个投影面而垂直于另外两个表2-4投影面平行面的直观图、投影图和投影特性表2-4投影面平行面的直观图、投影图和投影特性续表

2)投影面垂直面

垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面的垂直面。投影面垂直面分为铅垂面、正垂面和侧垂面三种。表2-5列出了它们的直观图、投影图和投影特性。现归纳投影面垂直面的投影特性如下：

平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，该投影与投影轴的夹角分别反映平面与另两个投影面的真实倾角。

平面的另两个投影均为类似形。2)投影面垂直面

垂直于一个投影面而倾斜于另外两个表2-5投影面垂直面的直观图、投影图和投影特性表2-5投影面垂直面的直观图、投影图和投影特性续表

3)一般位置平面

对三个投影面都倾斜的空间平面称为一般位置平面。其投影特性为：三个投影都为缩小的类似形，如图2-29所示。3)一般位置平面

对三个投影面都倾斜的空间平面称图2-29一般位置平面的投影图2-29一般位置平面的投影

3．平面上的直线和点

1)平面上的直线

欲完成平面上直线的投影，需通过该平面内的已知两点，或通过该平面上的已知点且平行于该平面内的任一直线。如图2-30所示，在平面ABC中的两条边线AB和AC上分别选择点M、N，找到这两个点的两面投影，连接这两个投影即可完成直线MN的两面投影。由于M、N两点都在平面ABC上，因此直线MN一定在平面ABC上。在平面DEF中选择点K，找到点K的两面投影，在两个投影中都过点K绘制平面内一条直线的平行线，图中显示与直线EF平行，完成直线KL的两面投影，由于点K在平面DEF中，直线KL又与平面内的一条直线平行，因此直线KL一定在平面DEF内。3．平面上的直线和点

1)平面上的直线

欲完成图2-30平面上的直线图2-30平面上的直线2)平面上的点

欲完成平面上点的投影，可先在该平面内绘制直线，然后按照直线上点的投影方法，完成平面内点的投影，如图2-31所示。2)平面上的点

欲完成平面上点的投影，可先在该平面图2-31平面上用辅助线取点的投影图2-31平面上用辅助线取点的投影图2-31(a)中显示已知平面内点K的一面投影，可过该点绘制平面内的直线MN，完成平面内直线MN的两面投影，然后完成点K的另一面投影。图2-31(b)中显示已知平面内点K的一面投影，可过该点与平面内的已知点(A点)绘制平面内的直线AD，完成平面内直线AD的两面投影，然后完成点K的另一面投影。图2-31(c)中显示已知平面内点K的一面投影，可过该点绘制与平面内已知直线平行的直线MN，完成平面内直线MN的两面投影，然后完成点K的另一面投影。

例2.5已知平面的投影和点的投影，判断点是否在平面内，如图2-32(a)所示。图2-31(a)中显示已知平面内点K的一面投影，可过该点图2-32判断点是否在平面内图2-32判断点是否在平面内

分析：

尽管点K的两面投影都在平面ABC的范围内，但点K也不一定在平面ABC内。如果点K在平面ABC内，则其投影一定符合平面内点的投影规律，因此可以用作平面上辅助线取点的投影的方法来判断点K是否在平面ABC内。分析：

尽管点K的两面投影都在平面ABC的范围内，但

作图：

过k′和平面上已知点A的正面投影a′绘制直线，交直线b′c′于d′点，d′即为D点的正面投影，完成直线AD的两面投影。由于点D在平面ABC内，因此直线AD一定在平面ABC内。观察点K的水平投影k是否在直线AD的水平投影ad上，如果在，则点K在平面ABC内，否则K点不在平面ABC内，如图2-32(b)所示。作图：

过k′和平面上已知点A的正面投影a′绘制直线

例2.6已知平面ABCD的水平投影和直线AB、BC的正面投影，完成平面ABCD的正面投影，如图2-33(a)所示。

分析：

平面上的点A、B、C已经在正面绘制出，平面的位置已经确定，因此可利用平面上点和直线的投影规律完成平面轮廓的投影。例2.6已知平面ABCD的水平投影和直线AB、BC的

作图：

在水平投影中作辅助线ac与bd，两线交于k，找到K点的正面投影k′，连接b′k′，D点是直线BK上的点，因此可找到D点的正面投影d′，连接c′d′和a′d′，即可完成平面ABCD的正面投影，如图2-33(b)所示。作图：

在水平投影中作辅助线ac与bd，两线交于k，图2-33利用平面上点、直线的投影规律完成平面轮廓的投影图2-33利用平面上点、直线的投影规律完成平面轮廓的投影

4．求投影面垂直位置平面的实形

前面学习平面投影特性时已经了解，投影面的垂直位置平面有一个投影成为直线，另两个投影都为类似形，不能直接看到平面的实形。在学习直线投影时，学习过用换面法求直线的实长，这里同样可以利用换面法求平面的实形。4．求投影面垂直位置平面的实形

前面学习平面投影特性本节只介绍利用换面法求投影面垂直位置平面实形的方法，即对铅垂面、正垂面和侧垂面求实形。可以想象，要得到平面的实形投影，新作出的投影面必须与垂直位置平面平行，这个新投影面当然也就与垂直位置平面所垂直的投影面垂直，与铅垂面平行，自然也就与H面垂直，要与正垂面平行，自然也就与V面垂直。本节只介绍利用换面法求投影面垂直位置平面实形的方法，即对如图2-34(a)立体图所示，需要求实形的平面ABC为铅垂面，必须制作一个新的投影面V1，垂直于H面并与平面ABC平行。其他要进行的工作与直线求实长一样，将各个点向新投影面投影，然后连点成线，即可完成平面求实形的操作。该平面求实形的作法如图2-34(b)所示，绘制轴线O1X1平行于平面ABC的积聚投影abc，分别过a、b、c点作直线垂直于O1X1轴线，截取到O1X1等于a′到OX轴的距离，截取

到O1X1等于b′到OX轴的距离，截取到O1X1等于c′到OX轴的距离，得到投影、、，连接、

和，即可得到平面ABC的实形。如图2-34(a)立体图所示，需要求实形的平面ABC为铅图2-34利用换面法求铅垂面的实形图2-34利用换面法求铅垂面的实形同样可以利用换面法求正垂面的实形，如图2-35所示。图2-35中要求实形的平面ABC为正垂面，积聚投影在正面，因此新作的投影面必须要垂直于V面并平行于平面ABC，即轴线O1X1平行于平面ABC的积聚投影a′b′c′。作图方法如图2-35所示。同样可以利用换面法求正垂面的实形，如图2-35所示。图2图2-35利用换面法求正垂面的实形图2-35利用换面法求正垂面的实形换面法还可以用来解决侧垂面求实形的问题，这时要作的新投影面必须垂直于W面并与要求实形的平面，即轴线O1X1平行于平面的侧面投影。读者可以参考铅垂面和正垂面的解决方法，推理出侧垂面求实形问题的作图方法。换面法还可以用来解决侧垂面求实形的问题，这时要作的新投影第2章投影的基本知识2.1三投影面体系2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影第2章投影的基本知识2.1三投影面体系2.1三投影面体系

2.1.1投影法及其分类

1．投影法的基本概念

将投射线通过物体向选定的平面投射，并在该平面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法所得到的图形称为投影图(简称投影)。要得到投影必须有三个元素：光线、形体和投影面。光线可以是平行的(如日光)或者从一个中心点发出的(如白炽灯泡发出的光线)。形体可以是平面或者一个空间立体，投影法中得到投影的投影面通常采用平面，如图2-1所示。2.1三投影面体系

2.1.1投影法及其图2-1中心投影法图2-1中心投影法2．投影法的种类

1)中心投影法

投影线交汇于一点的投影法称为中心投影法，如图2-1所示。投影线的交汇点称为投影中心，如图2-1中的S点。用中心投影法绘制出的图形符合人的视觉规律，因此经常用此法绘制一些需要强调视觉效果的图形，比如建筑效果图等。由于用中心投影法绘制图形的方法复杂，效率低，又不容易进行尺寸标注，因此此方法在机械制图中很少使用。2．投影法的种类

1)中心投影法

投影线交汇2)平行投影法

投影线相互平行的投影法称为平行投影法。在平行投影法中，又根据投射线与投影面的相对位置不同分为正投影法和斜投影法。

投射线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法，由此法得到的投影图称为正投影图(正投影)，如图2-2(a)所示。

投射线不垂直于投影面的平行投影法称为斜投影法，由此法得到的图形称为斜投影图(斜投影)，如图2-2(b)所示。2)平行投影法

投影线相互平行的投影法称为平行投影图2-2平行投影法图2-2平行投影法由于正投影图能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性好，作图也比较方便，因此在机械工程图中得到了广泛应用。本课程主要研究正投影法。后面各章除特别说明外，所述投影均指正投影。由于正投影图能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性2.1.2正投影的特性

制作正投影时，当形体(平面或直线)与投影面之间处于某种特殊位置时，这些形体的投影会表现出不同的特性。研究这些特性对绘制和理解形体的投影图有非常重要的作用。2.1.2正投影的特性

制作正投影时，当形体(平面或

1．真实性

当物体上的平面(或直线)与投影面平行时，其投影反映实形(或实长)，这种投影特性称为真实性，如图2-3(a)所示。

2．积聚性

当物体上的平面(或直线)与投影面垂直时，在投影面上的投影积聚为一条线(或一个点)，这种投影特性称为积聚性，如图2-3(b)所示。1．真实性

当物体上的平面(或直线)与投影面平行时图2-3正投影的特性图2-3正投影的特性

3．类似性

当物体上的平面(或直线)与投影面倾斜时，其投影的面积变小(或长度变短)，但投影的形状仍与原来的形状类似，这种投影特性称为类似性，如图2-3(c)所示。3．类似性

当物体上的平面(或直线)与投影面倾斜时2.1.3三面投影

如图2-4所示，三个不同物体向同一投影面正投影后，所得投影相同，由此说明，一个投影是不能确定物体的唯一形状和结构的。为了确定物体的唯一结构和形状，需要采用多个投影面进行正投影。从多个方向对形体进行观察和描述，绘制出的视图可以确定形体的唯一形状和大小。2.1.3三面投影

如图2-4所示，三个不同物体向同图2-4不同形体可以得到相同的投影图2-4不同形体可以得到相同的投影

1．三投影面体系

通常选用三个互相垂直相交的投影面，建立一个三投影面体系，如图2-5所示。三个投影面分别称为：正立投影面，简称正面，以V表示；水平投影面，简称水平面，以H表示；侧立投影面，简称侧面，以W表示。三个投影面之间的交线OX、OY、OZ称为投影轴，三根互相垂直的投影轴的交点O称为原点。1．三投影面体系

通常选用三个互相垂直相交的投影面图2-5三面投影体系图2-5三面投影体系

2．三视图的形成

如图2-6所示，将物体放在三投影面体系中，用正投影法向三个投影面投影，就得到了物体的三面投影。这三面投影图也叫三面视图，简称三视图。其中：由前向后投射在V面所得的视图称为主视图；由上向下投射在H面所得的视图称为俯视图；由左向右投射在W面所得的视图称为左视图。2．三视图的形成

如图2-6所示，将物体放在三投影图2-6三视图的形成图2-6三视图的形成

3．三面投影体系的展开

为了方便画图和看图，假想三个投影面展开、摊平在同一平面(纸面)上，并且规定：正面V不动；水平面H绕OX轴向下旋转90°；侧面W绕OZ轴向右旋转90°，如图2-7所示。3．三面投影体系的展开

为了方便画图和看图，假想三个图2-7三面投影视图的展开图2-7三面投影视图的展开三视图的配置关系为：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方，如图2-8(a)所示。

画图时，投影面的边框线和投影轴均不必画出，同时按上述方法展开，即按投影关系配置视图时，也不需要说明视图名称，最后得到的三视图如图2-8(b)所示。三视图的配置关系为：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图2-8物体的三视图图2-8物体的三视图

4．视图与物体之间的关系

物体上有上、下、左、右、前、后六个方向的位置关系，如图2-9(a)所示。每一个视图只反映四个方向的位置关系，如图2-9(b)所示。其中：主视图反映了物体的左、右、上、下之间的位置关系，即反映了物体上的长度和高度；俯视图反映了物体的前、后、左、右之间的位置关系，即反映物体上的宽度和长度；左视图反映了物体的前、后、上、下之间的位置关系，即反映了物体上的宽度和高度，如图2-9(c)所示。4．视图与物体之间的关系

物体上有上、下、左、右、图2-9三视图中的尺寸与方向图2-9三视图中的尺寸与方向5．三视图之间的投影关系

由上面的讨论可知，在三视图中：主、俯视图同时反映了物体上的长度；主、左视图同时反映了物体上的高度；俯、左视图同时反映了物体上的宽度，如图2-10所示。同时，三视图又是按上述的规定方法展开的，所以，三个视图之间的投影关系可以总结如下：

主、俯视图——长对正；

主、左视图——高平齐；

俯、左视图——宽相等。

这个“三等”关系就是物体三视图的投影规律。它对于物体整体是如此，同时对于物体上的直线、点也都是适用的。5．三视图之间的投影关系

由上面的讨论可知，在三视图图2-10三视图之间的投影关系图2-10三视图之间的投影关系

6．画物体的三视图

下面举例来说明运用三视图之间的位置关系和投影关系画出三视图的方法和步骤。

(1)分析物体。分析物体上的面、线与三个投影面的位置关系，再根据正投影特性判断其投影情况，然后综合出各个视图。

(2)确定图幅和比例。根据物体上最大的长度、宽度和高度及物体的复杂程度确定绘图的图幅和比例。

(3)选择主视图的投影方向。以最能反映物体形状特征和位置特征且使三个视图投影虚线少的方向作为正投影方向。6．画物体的三视图

下面举例来说明运用三视图之间的位(4)布图，画底图。画作图基准线、定位线，画三视图底图。从主视图画起，三个视图配合着画图。

(5)检查、修改底图。

(6)加深描粗图线，完成三视图，如图2-11所示。

画三视图时，作图所需尺寸可在模型(在轴测图中可以沿前后、左右或上下三个方向)上去量，每个尺寸测量一次就够了。相邻视图之间相应的投影尺寸关系可用丁字尺来保持高相等，用三角板与丁字尺配合起来保持长相等，用分规或作45°斜线来保持宽相等。

模型的三视图举例如图2-12和图2-13所示。(4)布图，画底图。画作图基准线、定位线，画三视图底图图2-11三视图绘制方法图2-11三视图绘制方法图2-12模型三视图举例1图2-12模型三视图举例1图2-13模型三视图举例2图2-13模型三视图举例22.2点的投影

通过2.1节的学习及画图实践，可以体会到画一个物体的三视图实质上是画出组成物体的各个面的投影，而各个面是由各棱线围成的，棱线是由两个端点决定的，如图2-14所示。因此，为了迅速、正确地画出物体的视图，还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的投影。2.2点的投影

通过2.1节的学习图2-14三棱锥的三视图和立体图图2-14三棱锥的三视图和立体图如图2-15(a)所示，设有一空间点A，由点A分别向H、V和W面投影，可得到A点的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″。图中每两条投影线确定一个平面，它们与三投影轴分别相交于aX、aY和aZ，以空间点A、三个投影a、a′和a″以及aX、aY、aZ和原点O为顶点可构成一个长方体。

将各投影面展开(展开方法同2.1.3节)可得A点的投影图，如图2-15(b)所示。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称和投射线与投影轴的交点aX、aY、aZ等，而只画出坐标轴OX、OY、OZ(简称X、Y、Z轴)及点的投影a、a′和a″，如图2-15(c)所示。如图2-15(a)所示，设有一空间点A，由点A分别向H、图2-15点在三面投影体系中的投影图2-15点在三面投影体系中的投影如果把三投影面体系看做空间直角坐标系，把投影面H、V、W视为坐标面，投影轴OX、OY、OZ视为坐标轴，则空间点A分别到三个坐标面的距离Aa″、Aa′、Aa可用点A的三个直角坐标XA、YA和ZA表示，记为A(XA，YA，ZA)。同时，点A的三个投影a、a′、a″也可用坐标来确定，即水平投影a由XA和YA确定，反映了空间点A到W面和V面的距离Aa″和Aa′；正面投影a′由XA和ZA确定，反映了空间点A到W面和H面的距离Aa″和Aa；侧面投影a″由YA和ZA确定，反映了空间点A到V面和H面的距离Aa′和Aa。如果把三投影面体系看做空间直角坐标系，把投影面H、V、W根据上述分析，可以得到点在三面投影体系中的投影规律：

(1)点的正面、水平投影连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX轴。

(2)点的正面、侧面投影连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ轴。

(3)点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aaX＝a″aZ＝YA。

为了表示aaX＝a″aZ＝ YA的关系，常用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧把水平投影和侧面投影之间的投影连线联系起来，如图2-15(c)所示。根据上述分析，可以得到点在三面投影体系中的投影规律：

例2.1已知空间点A(20，10，15)，试作它的三面投影图。

作图步骤：

(1)如图2-16所示，在展开的三面投影体系中，由原点O向左沿轴OX量取20mm得aX，过aX作OX轴的垂线，在垂线上自aX向下量取10mm得水平投影a，再向上量取25mm得正面投影a′。例2.1已知空间点A(20，10，15)，试作它的三图2-16点的三面投影与坐标的关系图2-16点的三面投影与坐标的关系(2)过a′作OZ轴的垂线交OZ轴于aZ，在垂线上自aZ向右量取10mm得a″(a″也可由a通过作圆弧或45°斜线求得)。

a、a′、a″为A点的三面投影。

例2.2已知B点的正面投影b′和水平投影b，求该点的侧面投影b″，如图2-17(a)所示。(2)过a′作OZ轴的垂线交OZ轴于aZ，在垂线上自a图2-17已知点的两面投影绘制点的第三面投影图2-17已知点的两面投影绘制点的第三面投影

分析：

由点的投影规律可知：侧面投影和正面投影连线垂直于Z轴，即bb′⊥OZ轴，所以b″一定在过b′且垂直于OZ轴的直线上，又因为水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，所以可以求得b″，如图2-17所示。

作图：

如图2-17(b)所示，由b′作OZ轴的垂线与OZ轴相交于bZ，在此垂线上自bZ向右量取bbX＝b″bZ，即得B点的侧面投影。也可以过O点绘制45°斜线，然后过b点绘制水平线，交于45°斜线后，向上绘制OYW垂直线与过b′点绘制的水平线相交得到bbX＝b″bZ的关系。分析：

由点的投影规律可知：侧面投影和正面投影连线垂

例2.3已知空间点A(15，10，20)，B点在A点的正右方5，C点在A点的左方5、前方5、下方5，求作A、B、C点的三面投影。

分析：

A点的投影可根据投影与直角坐标之间的关系及点的三面投影规律作出。

B点在A点的正右方5，说明B点的Y、Z坐标值与A点相同，X坐标值比A点的X坐标值小5，则B点的投影可根据它们之间的关系作出。例2.3已知空间点A(15，10，20)，B点在A点从三视图所反映物体的位置关系可知，X轴方向是长度方向，通过X坐标的大小可知它们的左右相对位置；Y轴方向是宽度方向，通过Y坐标的大小可知它们的前后相对位置；Z轴方向是高度方向，通过Z坐标的大小可知它们的上下相对位置。对于两点的相对位置，可由两点各方向的坐标值大小来确定。所以，点C的投影可根据相对坐标作出。从三视图所反映物体的位置关系可知，X轴方向是长度方向，通作图方法如图2-18所示。

由于A、B两点的Y、Z坐标值相同，它们的侧面投影重合，因此此两点称为侧立投影面的重影点，此时，两点必位于该投影面的同一条投射线上。重影点的可见性由不重合投影的相对位置来判断(或由第三坐标大小来判断，大的可见，小的不可见，不可见的投影加括号)。作图方法如图2-18所示。

由于A、B两点的Y、Z坐图2-18根据点的坐标和相对坐标绘制点的三面投影图2-18根据点的坐标和相对坐标绘制点的三面投影

例2.4如图2-19(a)、(b)所示，根据立体图，完成立体上点的投影以及立体的三面投影。

分析：

因点在立体上的投影位置已知两面，故另一面投影可根据投影规律直接作出。例2.4如图2-19(a)、(b)所示，根据立体图，图2-19作立体上点的投影图2-19作立体上点的投影

作图：

在立体的俯视图和左视图中找到同一个点的投影，如立体上后、右、下侧的点，各自绘制水平线和垂直线，交于一点，过此点绘制45°斜线，如图2-19(c)所示，利用这个斜线绘制折线，可找出点A的侧面投影，点C的正面投影可根据投影规律直接在主视图中得到。绘制过程中，如果已经知道点的投影在立体的某条线上，则可直接绘制，不必绘制连线。例如，A点的正面投影和侧面投影在立体的最高一条线上，不必绘制主视图和左视图中点A的投影连线；点B在立体上左、前、上侧，可直接在三视图中找到点B的投影，不必绘制连线。作图：

在立体的俯视图和左视图中找到同一个点的投影，2.3直 线 的 投 影

1．直线的投影规律

常见的直线是平面立体的棱线，即两平面的交线。直线的投影一般仍为直线，也有可能成为一个点。作直线的投影时，只需作出确定该直线的任意两点的投影，将这两点的同面投影相连，便可得直线的三面投影，如图2-20(b)所示。另外，已知直线上一点的投影和该直线的方向，也可作出该直线的投影。2.3直 线 的 投 影

1．直线的投影图2-20直线的投影图2-20直线的投影

2．直线的分类及其投影特性

根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线。后两类直线统称为特殊位置线。

空间直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角，本书中分别用α、β、γ表示，如图2-20(a)所示。2．直线的分类及其投影特性

根据直线相对投影面的位置1)一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。如图2-20所示，AB为一般位置直线，它与H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示，则直线的投影与其实长有如下关系：

ABcosα＝ab，ABcosβ＝a′b′，ABcosγ＝a″b″

由此可知，一般位置直线的投影特性如下：

三个投影都倾斜于投影轴，三个投影长度均小于实长，三个投影与各投影轴的夹角不反映直线对投影面的真实倾角。1)一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线称为一般2)投影面平行线

平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。投影面平行线有水平线、正平线和侧平线三种。表2-1列出了它们的直观图、投影图和投影特性。现归纳投影面平行线的投影特性如下：

(1)直线在所平行的投影面上的投影反映实长和对另两个投影面的真实倾角。

(2)直线的另两个投影分别平行于相应的投影轴，且均小于实长。2)投影面平行线

平行于一个投影面而与另外两个投影3)投影面垂直线

垂直于一个投影面(必与另两个投影面平行)的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线有铅垂线、正垂线和侧垂线三种。表2-2列出了它们的立体图、投影图和投影特性。现归纳投影面垂直线的投影特性如下：

(1)直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。

(2)直线在另两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴(或同平行于一个投影轴)，且反映实长。3)投影面垂直线

垂直于一个投影面(必与另两个投影表2-1投影面平行线的投影规律表2-1投影面平行线的投影规律续表

表2-2投影面垂直线表2-2投影面垂直线续表

3．直线上的点

直线上的点具有以下特性：

点在直线上，则点的各投影必在该直线的各同面(名)投影上，且点分割直线长度之比等于点的投影分割直线投影长度之比。反之，如果点的各面投影均在直线的同面投影上，且分割直线各投影长度成相同比例，则该点必在此直线上，如图2-21所示。如果点不在直线上，则点的投影中至少有一个投影不在直线的同面投影上，如图2-22所示。3．直线上的点

直线上的点具有以下特性：

点在直图2-21直线上点的投影图2-21直线上点的投影图2-22不在直线上点的投影图2-22不在直线上点的投影对于投影面的平行线，必须确定点的投影落在反映直线实长的同面投影上，才可确定点在直线上，否则还不能确定。如图2-23所示，点M和点K的H面投影和V面投影都在直线的同面投影上，仅根据H面投影和V面投影还不能确定这两个点是否在直线上，必须根据W面投影才能得出结论，确定点K在直线上，点M不在直线上。对于投影面的平行线，必须确定点的投影落在反映直线实长的同图2-23投影面平行线与点的投影关系图2-23投影面平行线与点的投影关系

4．两直线的相对位置

两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。平行和相交两直线均属于同一平面(共面)的直线，而交叉两直线则不属于同一平面(异面)的直线。表2-3列出了它们的投影图及投影特性。4．两直线的相对位置

两直线的相对位置有三种情况：平表2-3两直线的相对位置表2-3两直线的相对位置

5．一般位置直线求实长和倾角

从前面的内容可以了解投影面的平行线和垂直线，在三面投影中可以直接看出直线的实际长度和该直线与投影面的夹角。对于一般位置直线，直线实长以及该直线与投影面之间的夹角是不能直接看出的。有时为了空间度量和绘制形体实际形状的需要，必须求出直线的实际长度和直线与投影面之间的夹角。下面介绍两个求一般位置直线的实长和倾角的方法。5．一般位置直线求实长和倾角

从前面的内容可以了解投方法一：利用直角三角形法求直线的实长、直线和投影面的夹角。

观察直线两投影的直观图，如图2-24(a)所示，直线AB在H面和V面上分别有投影ab和a′b′，两个投影都不平行于投影轴，这是一条一般直线。过空间直线的一个端点B作一条平行于水平投影ab的直线，交A点的投影线于A0点，这样就构成一个直角三角形A0BA。这个三角形的构成情况是：一个直角边BA0长度等于直线的水平投影ab，另一个直角边长度等于直线两端点A、B到水平投影面的距离之差。方法一：利用直角三角形法求直线的实长、直线和投影面的夹角由于BA0是一条水平线，在正面的投影平行于OX轴，因此在正面投影中可以很容易地找到两端点A、B到水平投影面的距离之差。直角三角形A0BA的斜边即直线的空间实际长度，斜边AB与直角边BA0的夹角即直线与水平面的夹角α。利用这个直角三角形的关系，可以很容易地用直线的水平投影和正面投影求出直线的实长以及直线与水平面的夹角。由于BA0是一条水平线，在正面的投影平行于OX轴，因此在如图2-24(b)所示，已知直线的两个投影ab和a′b′，过直线的一个端点绘制一条与直线水平投影ab垂直的直线，在正面投影中求出直线AB到水平投影面距离之差(过直线的一个端点画直线平行于OX轴即可)，在水平投影中绘制的与ab垂直的直线上截取这段长度(可以用圆规画弧的方法)，找到A1点，连接A1点与另一个端点，绘制斜边，即可求得直线的实长。直线实长与直线水平投影ab之间的夹角就是直线的α角。如图2-24(b)所示，已知直线的两个投影ab和a′b′同样也可以利用直线的水平投影和另一个投影求直线的实长以及直线的β角。此时直角三角形的两个直角边分别是直线的正面投影和直线两端点到正面距离之差。直角三角形的空间概念和作图方法如图2-25所示。读者可以根据图2-25自己总结空间推理以及作图方法。同样也可以利用直线的水平投影和另一个投影求直线的实长以及图2-24利用直角三角形法求直线的实长、直线和水平面的夹角图2-24利用直角三角形法求直线的实长、直线和水平面的夹图2-25利用直角三角形法求直线的实长、直线和正投影面的夹角图2-25利用直角三角形法求直线的实长、直线和正投影面的同样的道理，可以利用直线的侧面投影和另一个投影求直线的实长以及直线的γ角，只是此时必须利用直线的侧面投影作直角三角形的一个直角边。读者可以自己总结空间推理和作图方法。同样的道理，可以利用直线的侧面投影和另一个投影求直线的实方法二：利用换面法求直线的实长、直线和投影面的夹角。

如图2-26(a)所示，作一个新的投影面V1，该面与H面垂直并平行于直线AB，V1与H面的交线为O1X1，O1X1与直线的水平投影ab平行。将直线两端点A、B分别向新投影面V1投影，得到投影、，从前面已经总结出的投影规律可以得出：到O1X1的距离反映A点的高度，与a′到OX轴的距离相等；到O1X1的距离反映B点的高度，与b′到OX轴的距离相等；与a点的连线垂直于O1X1；与b点的连线垂直于O1X1。方法二：利用换面法求直线的实长、直线和投影面的夹角。

可以利用前面学过的作图方法对图2-26(b)中的直线投影求实长和夹角。如图2-26(b)所示，作轴线O1X1平行于ab，分别过a点和b点作轴线O1X1的垂线，截取到O1X1等于a′到OX轴的距离，截取到O1X1等于b′到OX轴的距离，得到投影、，连接和，即可得到直线AB的实长。与O1X1的夹角即为直线的α角。可以利用前面学过的作图方法对图2-26(b)中的直线投影图2-26利用换面法求直线的实长、直线和水平面的夹角图2-26利用换面法求直线的实长、直线和水平面的夹角同样也可以利用换面法求出直线的实长，同时求出直线的β角。这时要求新投影面垂直于V面，同时平行于直线。作图时，要利用直线的正面投影a′b′绘制轴线O1X1，新的投影a1b1度量时要利用直线的水平投影ab。空间构思过程和绘图方法如图2-27所示，读者可利用此方法求出直线的实长，同时求出直线的β角。

同样的道理，也可以利用换面法求出直线的实长，同时求出直线的γ角。构思过程和绘图方法请读者自行练习解决。同样也可以利用换面法求出直线的实长，同时求出直线的β角。图2-27利用换面法求直线的实长、直线和正面的夹角图2-27利用换面法求直线的实长、直线和正面的夹角2.4平 面 的 投 影

1．平面的表示法

平面可以用各种几何要素表示。图2-28画出了用不同几何要素表示平面的直观图和投影图。

图(a)表示不在同一条直线上的三点确定一个平面；

图(b)表示一直线与直线外一点确定一个平面；

图(c)表示相交两直线确定一个平面；

图(d)表示平行两直线确定一个平面；

图(e)表示任意平面图形如三角形、四边形、圆形等确定一个平面。2.4平 面 的 投 影

1．平面的表示法

图2-28用不同几何要素表示平面的直观图和投影图图2-28用不同几何要素表示平面的直观图和投影图

2．各种位置平面的投影特性

根据空间平面对三个投影面的相对位置，平面可分为三类：投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面。前两类平面称为特殊平面。2．各种位置平面的投影特性

根据空间平面对三个投影面1)投影面平行面

平行于一个投影面而垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。投影面平行面分为水平面、正平面和侧平面三种。表2-4列出了它们的直观图、投影图和投影特性。现归纳投影面平行面的投影特性如下：

(1)平面在所平行的投影面上的投影反映空间平面的实形。

(2)平面的另两个投影均积聚为平行于相应投影轴的直线。1)投影面平行面

平行于一个投影面而垂直于另外两个表2-4投影面平行面的直观图、投影图和投影特性表2-4投影面平行面的直观图、投影图和投影特性续表

2)投影面垂直面

垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面的垂直面。投影面垂直面分为铅垂面、正垂面和侧垂面三种。表2-5列出了它们的直观图、投影图和投影特性。现归纳投影面垂直面的投影特性如下：

平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，该投影与投影轴的夹角分别反映平面与另两个投影面的真实倾角。

平面的另两个投影均为类