新高中数学(人教B版选修2-3)练习132杨辉三角(含答案解析)

第一章1.3第2课时一、选择题1．(2011重·庆理)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的张开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A．6B．7C．8D．9[答案]B[剖析]本题主要观察二项式定理中二项张开式的通项公式的应用．二项式(1＋3x)n展开式的通项公式为Tr＋1＝3rCnrxr，∴x5与x6的系数分别为35Cn5，36Cn6.由条件知：35Cn5＝36Cn6，即Cn5＝3Cn6，∴n！＝3·n！，∴n＝7，选B.5！n－5！6！n－6！a712．(2014湖·北理，2)若二项式(2x＋x)的张开式中x3的系数是84，则实数a＝()A．2B．542C．1D．4[答案]C[剖析]a7的通项公式为r7－rarr7－rr7－2r，令7－2r＝－3，二项式(2x＋)Tr＋1＝C7(2x)()＝C72axxx得r＝5.故张开式中1525＝84，解得a＝1.3的系数是C72axa8张开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则张开式中各项系数的和3．已知x－x是()88A．2B．3C．1或38D．1或28[答案]Cr8－rarrr8－2r4[剖析]Tr＋1＝C8·x·－x＝C8·(－a)·x.当r＝4时，Tr＋1为常数项，此时T5＝C8(－a)4＝70a4＝1120.∴a＝±2.令x＝1，则x－a8＝(1±2)8＝1或38.应选C.x4．233除以9的余数是()A．1B．2C．4D．8[答案]D[剖析]233＝811＝(9－1)11＝911－C111910＋＋C11109－1，∴余数为8.应选D.n1n－1n－1nn为()5．若9＋Cn＋1·9＋＋Cn＋1·9＋Cn＋1是11的倍数，则自然数A．偶数B．奇数C．3的倍数D．被3除余1的数[答案]B[剖析]原式＝1[(9＋1)n＋1－1]＝1n＋1n＋1是99的倍数，∴9[10－1]是11的倍数，∴10－19n为奇数．应选B.6．在(1－x)11的张开式中，含x奇次幂的各项系数的和是()A．－210B．2101111C．－2D．2[答案]A[剖析]令f(x)＝(1－x)11＝a0＋a1x＋＋a11x11，f(1)＝a0＋a1＋＋a11＝0，f(－1)＝a0－a1＋－a11＝211，f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋＋a11)＝－211.∴含x奇次幂的系数的和为a1＋a3＋＋a11＝－210.应选A.7．(1－x)4n＋1的张开式中系数最大的项是()A．第2n项B．第2n＋1项C．第2n项和第2n＋1项D．第2n＋2项[答案]B[剖析]令n＝1则(1－x)5张开式中系数最大的项为第3项．应选B.二、填空题8．(x－1)18的张开式中含x15的项的系数为________．(结果用数值表示)3x[答案]17[剖析]本题观察二项张开式通项公式的应用．r18－r1r1rr18－3r.3r152Tr＋1＝C18x(－3x)＝(－3)C18x令18－2＝15，得r＝2.∴含x的项的系数为122(－)C18＝17.39．若(x＋1)n＝xn＋＋ax3＋bx2＋＋1(n∈N＋)，且ab＝31，那么n＝____________.[答案]11[剖析]由二项式定理可得a＝Cn3，b＝Cn2.又ab＝31，∴Cn3Cn2＝31.得n＝11.三、解答题28的张开式中，10．在x－2x(1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项．[剖析](1)设第r＋1项系数的绝对值最大，即rrr－1r－12≥1，C8·2≥C，r9－r8·2∴rrr＋1r＋112C8·2≥C8·2.≥8－rr＋1.从而有5≤r≤故6.系数绝对值最大的项是第6项和第7项．(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．4－241120T5＝C8(x)·x2＝x6.(3)由(1)知张开式中的第6项及第7项的系数绝对值最大，而第6项系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T＝C6226＝17928·(x)－211.7xx(4)系数最小的项为5x)325x17T6＝C8·(－2＝－1792x9＝－1792x－.x2一、选择题1．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的张开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的第几项()A．13B．18C．11D．20[答案]D[剖析]含x4项的系数为C54＋C64＋C74＝C85－1＝55.设它为等差数列的第k项，则－2＋3(k－1)＝55.∴k＝20.应选D.2．(2013长·春十一高中高二期中12014的张开式中各项系数的和)若a为正实数，且(ax－x)为1，则该张开式第2014项为()11A.x2014B．－x20144028D．－4028C.2012x2012x[答案]D[剖析]由条件知，(a－1)2014＝1，∴a－1＝±1，∵a为正实数，∴a＝2.∴张开式的第2014项为：T2014＝C20142013·(2x)(·－1)2013x－2012＝－4028x－2012，应选D.＝－2C20141·x3．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋＋bnan，且b0＋b1＋b2＋＋bn＝30，则自然数n的值为()A．3B．4C．5D．6[答案]B[剖析]令a＝1得：b0＋b1＋b2＋＋bn＝2＋22＋23＋＋2nn＝22－1＝2n＋12－1－2＝30.2n＋1＝32.∴n＝4.应选B.二、填空题4．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋＋|a6|＝________.[答案]729[剖析]∵|a0|＋|a1|＋＋|a6|就是(2x＋1)6张开式中各项系数的和，∴应为36＝729.5．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，，a5为实数，则a3＝________.[答案]10[剖析]本题观察二项式定理的张开式．x5＝[(x＋1)－1]5＝(x＋1)5－C51(x＋1)4＋C52(x＋1)3－C35(x＋1)2＋C54(x＋1)－C55(x＋1)0，∴a3＝C25＝10.合适的变形将问题简化．三、解答题6．已知(2x－3)7＝a0(x－1)7＋a1(x－1)6＋＋a6(x－1)＋a7.(1)求a0＋a1＋a2＋＋a7；(2)求a0－a7.[剖析](1)令x＝2，得a0＋a1＋a2＋＋a7＝(4－3)7＝1.(2)令x＝1，得a7＝(2×1－3)7＝－1，7070x的系数a0＝C72(－3)＝128，∴a0－a7＝129.17．已知x＋n的张开式中偶数项的二项式系数的和比(a＋b)2n张开式中奇数项的二3x项式系数的和小120，求第一个张开式的第三项．[剖析](a＋b)2n张开式中奇数项的二项式系数的和为2n－1，x＋1n张开式中偶数23x项的二项式系数的和为2n－1.依题意，有2n－1＝22n－1－120，即(2n)2－2n－240＝0.解得2n＝16，或2n＝－15(舍)．∴n＝4.于是，第一个张开式中第三项为22T3＝C4(x)8．已知(1＋2x)n中2

1233＝6x.(1)若张开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求张开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若张开式前三项的二项式系数和等于79，求张开式中系数最大的项．[剖析](1)∵C4n＋C6n＝2C5n，n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14.当n＝7时，张开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数＝C37(1)423＝35，224134T5的系数＝C7()2＝70.当n＝14时，二项式系数最大的项是T8.177T8的系数＝C14(2)2＝