流体力学-第3版-第六章-粘性流体动力学基础新课件

第六章粘性流体动力学基础流体微团的运动形式与速度分解定理粘性流体的应力状态广义牛顿内摩擦定理（本构关系）Navier-Stokes方程粘性流体运动的能量方程粘性流体运动的基本性质粘性流体运动方程组的封闭边界层近似及其特征平面不可压缩流体层流边界层方程平板层流边界层的相似解边界层的分离现象12/11/20221第六章粘性流体动力学基础流体微团的运动形式与速度分解定理11、流体微团运动的基本形式

流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运动（线变形和角变形运动）。

流体微团的运动形式与速度分解定理平动转动线变形角变形12/11/202221、流体微团运动的基本形式流体微团的运动形式与速度分解定理平2、速度分解定理德国物理学家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。

在速度为

在点处，速度为12/11/202232、速度分解定理12/11/20223以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有将上式分别加、减下列两项得到12/11/20224以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有12/11/2022如果令：综合起来，有12/11/20225如果令：12/11/20225对于y,z方向的速度分量，也可得到写成矢量形式其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动引起的，第三项表示微团变形引起的。12/11/20226对于y,z方向的速度分量，也可得到12/11/20226定义如下：流体微团平动速度：流体微团线变形速度：

流体微团角变形速度（剪切变形速度）：流体微团旋转角速度：12/11/20227定义如下：12/11/202273、有旋运动与无旋运动流体质点的涡量定义为表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋流动与有旋运动。4、变形率矩阵（或变形率张量）

在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中称为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的粘性应力存在直接关系。12/11/202283、有旋运动与无旋运动12/11/20228定义，流体微团的变形率矩阵为该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是：12/11/20229定义，流体微团的变形率矩阵为12/11/20229

对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度，或流体微团的相对体积膨胀率。如果选择坐标轴是三个变形率矩阵的主轴，则此时变形率矩阵的非对角线上的分量为零，相应的变形率矩阵与不变量为12/11/202210对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度粘性流体的应力状态1、理想流体和粘性流体作用面受力差别流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。

12/11/202211粘性流体的应力状态1、理想流体和粘性流体作用面受力差别12/2、粘性流体中的应力状态

在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。12/11/2022122、粘性流体中的应力状态12/11/202212由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。如，对于x面的合应力可表示为y面的合应力表达式为z面的合应力表达式为12/11/202213由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投

如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。12/11/202214如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即（2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即（3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。12/11/202215（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点广义牛顿内摩擦定理（本构关系）1、牛顿内摩擦定理启发牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比。即如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有

说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动，Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理。12/11/202216广义牛顿内摩擦定理（本构关系）1、牛顿内摩擦定理启发12/12、Stokes假设（1845年）

(Stokes，英国数学家、力学家，1819-1903年）（1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体的平动和转动无关。（2）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位置无关。（3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正应力，无切应力。即12/11/2022172、Stokes假设（1845年）12/11/202217因此，在静止状态下，流体的应力状态为

根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定理，系数a只取决于流体的物理性质，可取12/11/202218因此，在静止状态下，流体的应力状态为12/11/20221由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形率矩阵中的那些线性不变量构成。即令式中，为待定系数。将a、b代入，有取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出12/11/202219由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持12/11归并同类项，得到在静止状态下，速度的散度为零，且有于是，有由于b1和b2均为常数，且要求p0在静止状态的任何情况下均成立，则然后代入第一式中，有12/11/202220归并同类项，得到12/11/202220如果令称为流体压强。则本构关系为上式即为广义牛顿内摩擦定理（为牛顿流体的本构方程）。用指标形式，上式可表示为12/11/202221如果令12/11/202221对于不可压缩流体,有如果用坐标系表示，有粘性切应力：法向应力：12/11/202222对于不可压缩流体,有12/11/202222Navier-Stokes方程1、流体运动的基本方程

利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方程。(在流场中取一个微分六面体流体微团进行分析，以x方向为例，建立运动方程）。12/11/202223Navier-Stokes方程1、流体运动的基本方程12/1整理后，得到

这是以应力形式表示的流体运动微分方程，具有普遍意义，既适应于理想流体，也适应于粘性流体。这是一组不封闭的方程，在质量力已知的情况下，方程中多了6个应力分量，要想得到封闭形式，必须引入本构关系，如粘性流体的广义牛顿内摩擦定律。12/11/202224整理后，得到12/11/2022242、Navier-Stokes方程组（粘性流体运动方程组）人类对流体运动的描述历史是：1500年以前DaVinci（1452-1519，意大利科学家）定性。1755年Euler（瑞士科学家，1707-1783）推导出理想流体运动方程。1822年Navier（1785-1836，法国科学家）开始考虑粘性1829年Poisson(1781-1846)、1843年SaintVenant（1795-1886)、1845年Stokes(1819-1903，英国科学家)结束，完成了推导过程，提出现在形式的粘性流体运动方程。（历时90年）12/11/2022252、Navier-Stokes方程组（粘性流体运动方程组）1以x方向的方程为例，给出推导。引入广义牛顿内摩擦定理，即代入得到12/11/202226以x方向的方程为例，给出推导。12/11/202226对于y和z方向的方程为

这就是描述粘性流体运动的N-S方程组，适应于可压缩和不可压缩流体。12/11/202227对于y和z方向的方程为12/11/202227写成张量的形式为对于不可缩流体，，且粘性系数近似看作常数，方程组可得到简化。仍以x向方程进行说明。

12/11/202228写成张量的形式为12/11/202228由此可得到张量形式矢量形式12/11/202229由此可得到12/11/202229为了研究流体的有旋性，Lamb等将速度的随体导数加以分解，把涡量分离出来，形成如下形式的Lamb型方程。

12/11/202230为了研究流体的有旋性，Lamb等将速度的随体导数加3、Bernoulli积分

伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯·伯努利）,1623-1708，瑞士伯努利数学家族第一代。Bernoulli,Johann（约翰伯努利），1667-1748，伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼尔伯努利），1700-1782，伯努利数学家族第三代，Johann.伯努利的儿子，著有《流体动力学》（1738），将微积分方法运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。12/11/2022313、Bernoulli积分12/11/202231与Bernoulli积分理想流体运动方程类似，积分N-S方程假定：（1）不可压缩粘性流体；（2）定常流动；（3）质量力有势；（4）沿流线积分。沿流线积分N-S方程，可推导出粘性流体的能量方程。与理想流体能量不同的是，方程中多了一项因粘性引起的损失项，表示流体质点克服粘性应力所消耗的能量。在粘性不可压缩定常流动中，任取一条流线，在流线上某处取一微段ds，该处所对应的流速为12/11/202232与Bernoulli积分理想流体运动方程类似，积分N-S方程沿流线积分N-S方程，有在定常流情况下，迹线和流线重合。12/11/202233沿流线积分N-S方程，有12/11/202233流线微段与速度之间的关系为12/11/202234流线微段与速度之间的关系为12/11/202234质量力有势，因此有不可压缩定常流动，有粘性项写成为在流线微段上，微分形式为12/11/202235质量力有势，因此有12/11/202235与理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项与粘性有关的项，物理上表示单位质量流体质点克服粘性应力所做的功，代表机械能的损失，不可能再被流体质点机械运动所利用。故称其为单位质量流体的机械能损失或能量损失。对于质量力只有重力的情况，方程的形式变为

方程两边同除以g，得到表示单位重量流体总机械能量沿流线的变化。12/11/202236与理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项如果令能量方程变为单位重量流体所具有的机械能为；单位重量流体粘性力所做的功为。沿着同一条流线积分，得到12/11/202237如果令12/11/202237上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上单位重量流体的所具有的机械能总是沿程减小的，不能保持守恒（理想流体时，总机械能是保持守恒的，无机械能损失），减小的部分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的机械能量。粘性流体Bernoulli积分方程说明，粘性流体在流动中，无论势能、压能和动能如何转化，但总机械能是沿程减小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方。12/11/202238上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上单位重量流体的粘性流体运动的能量方程1、热力学第一定理能量方程是热力学第一定理在运动流体中的表现形式。热力学第一定理表示：单位时间内作用于系统上所有力对系统所做的功与单位时间内输入系统的热量之和等于系统总能量的变化率。即其中，Q为单位时间输入系统的总热量，包括热辐射和热传导；W为单位时间作用于系统上所有力对系统所做的功。作用力包括表面力和体积力。12/11/202239粘性流体运动的能量方程1、热力学第一定理12/11/20222、能量方程推导在粘性流体空间中，任取一个微分平行六面体的流体微团作为系统，六面体为控制体，则该系统单位时间内总能量的变化率应等于单位时间作用于系统上所有作用力的功与外界传给系统的热量之和。用e表示单位质量流体所具有的内能，那么单位质量流体所具有的总能量（内能+动能）为

单位时间内，微元流体系统总能量的变化率为12/11/2022402、能量方程推导12/11/202240作用系统上的力包括：通过控制面作用于系统上的表面力和系统上的质量力。单位时间内，所有作用力对系统所做的功为：质量力功率：x方向表面力的功率：12/11/202241作用系统上的力包括：通过控制面作用于系统上的表面力和同理可得，y和z方向的功率为总功率为12/11/202242同理可得，y和z方向的功率为12/11/202242单位时间内，外界传给系统的总热量Q包括热辐射和热传导。令q表示单位时间因热辐射传给单位质量流体的热量，总的辐射热量为由Fourier定理可得，通过控制面传给系统的热量。对于x方向，单位时间通过控制面传入系统的热量为12/11/202243单位时间内，外界传给系统的总热量Q包括热辐射和热传导同理可得，y和z方向的热传导量。单位时间内，总的热传导量为将以上各式代入12/11/202244同理可得，y和z方向的热传导量。12/11/202244整理得到该方程为能量方程的微分形式。写成张量形式为12/11/202245整理得到12/11/202245另外，如果用ui乘以运动方程，有代入能量方程，得到另一种形式的能量方程。12/11/202246另外，如果用ui乘以运动方程，有12/11/202246上式的物理意义是：在单位时间内，单位体积流体内能的变化率等于流体变形时表面力作功与外部传入热量之和。其中，表面力作功包括压力作功和剪切力作功，压力作功表示流体变形时法向力作膨胀功，剪切力作功表示流体运动是克服摩擦力作功，这部分是由于流体粘性引起的，将流体部分机械能不可逆转化为热能而消耗掉。利用广义牛顿内摩擦定理，可得其中，为耗散函数。12/11/202247上式的物理意义是：在单位时间内，单位体积流体内能的变这样，能量方程也可写成为说明，单位体积流体内能的变化率等于法向力作功、外加热量以及由于粘性而消耗的机械能之和。由连续方程，有12/11/202248这样，能量方程也可写成为12/11/202248代入能量方程中，得到对于不可压缩流体，有12/11/202249代入能量方程中，得到12/11/202249粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。

1、粘性流体运动的涡量输运方程为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。其Lamb型方程是引入广义牛顿内摩擦定理粘性流体运动的基本性质12/11/202250粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩Lamb型方程变为对上式两边取旋度，得到整理后得到12/11/202251Lamb型方程变为12/11/202251这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。由于（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。12/11/202252这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的（2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为张量形式为（3）对于二维流动，上式简化为12/11/202253（2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量12/12、粘性流体运动的有旋性理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为根据场论知识，有代入上式，得到12/11/2022542、粘性流体运动的有旋性12/11/202254如果流动无旋，则这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。但问题出在固壁边界上。在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件。即要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。这说明粘性流体流动一般总是有旋的。12/11/202255如果流动无旋，则12/11/202255但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。3、粘性流体旋涡的扩散性

粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。12/11/202256但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度的定解问题为这是一个扩散方程的定解问题，其解为12/11/202257以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度12/4、粘性流体能量的耗散性在粘性流体中，流体运动必然要克服粘性应力作功而消耗机械能。耗散函数的引入是表征这一特性的重要物理量。按照定义，单位时间、单位体积流体所消耗的能量为在直角坐标系中的表达式为12/11/2022584、粘性流体能量的耗散性12/11/202258对于粘性流体，只有两种可能使耗散函数为零的情况，也就是无机械能损失。一种是相当于流体无变形运动，也就是平动和转动不消耗机械能。另一种是相当于流体运动，无剪切变形，只有各向同性的膨胀或压缩。这说明，粘性流体的变形运动与机械能损失是同时存在的，而且耗散函数与变形率的平方成正比，因此粘性流体的机械能损失是不可避免的。12/11/202259对于粘性流体，只有两种可能使耗散函数为零的情况，也就1、粘性流体运动方程组的封闭性在推导粘性流体方程组时，所引入的独立未知物理量有：流体密度、流体速度、质量力、粘性系数、热传导系数k、压强p、内能e、温度T和热辐射量q，共13个标量。但所导出的方程只有5个，其中1个连续方程、3个运动方程和1个能量方程。要向求解必须给出补充关系，封闭方程。通常，质量力是已知的；粘性系数和热传导系数决定于流体性质，也是已知的；热辐射量已知，这样未知量的个数变为7个，即3个速度分量，流体密度、压强、温度和内能。因此，需要补充2个方程。2、状态方程

在研究可压缩流体时，必然涉及热力学状态参数对流体运动的影响。表征流体热力学状态的物理量称为热状态参数。粘性流体运动方程组的封闭12/11/2022601、粘性流体运动方程组的封闭性粘性流体运动方程组的封闭12/热状态物理量p、T、，这些参数之间的数学关系叫做状态方程。对于完全气体，有内能和焓的表达式为3、可压缩流体的封闭方程组连续方程：12/11/202261热状态物理量p、T、，这些参数之间的数学关系运动方程：广义牛顿内摩擦定理：能量方程：状态方程：12/11/202262运动方程：12/11/2022624、不可压缩流体方程组连续方程：运动方程：能量方程：5、定解条件定解条件包括：初始条件和边界条件。（1）初始条件给定初始时刻流场物理量的函数值（速度、压强、温度、密度）。12/11/2022634、不可压缩流体方程组12/11/202263（2）边界条件固壁面条件（满足不穿透和不滑移条件）。

不同流体分界面条件（在分界面上速度、压强、温度是连续的）。进出口边界条件（给定进口断面速度、压强、温度分布）。12/11/202264（2）边界条件12/11/202264边界层近似及其特征1、边界层概念的提出业已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:惯性力：

粘性力：惯性力/粘性力：

因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。12/11/202265边界层近似及其特征1、边界层概念的提出12/11/20226这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而且确实较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一个典型的例子。（D’Alembert，法国力学家，1717-1783）那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力学大师德国学者L.Prandtl通过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundarylayer）。12/11/202266这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而且确实较成功Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是:（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论处理。（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。2、边界层的特征（1）边界层定义严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用表示。12/11/202267Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作（2）边界层的有涡性粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为对于不可压缩流体，二维流动的涡量输运方程为上式表明，由于粘性的影响，物面上的涡量一方面沿垂直流线方向扩散，另一方面，涡量沿主流方向迁移，并随之而逐渐衰减。涡量的扩散速度与粘性有关，涡量的迁移速度取决于流动速度。12/11/202268（2）边界层的有涡性12/11/202268（3）边界层厚度的量级估计根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界层厚度为。惯性力：粘性力：

由惯性力与粘性力同量级得到

12/11/202269（3）边界层厚度的量级估计12/11/202269由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。（4）边界层各种厚度定义（a）边界层排移厚度在边界层内，理想流体的质量流量为其中，ue为边界层外缘速度。由于粘性的存在，实际流体通过的质量流量为上述两项之差表示粘性存在而损失的流量，这部分流量被排挤到主流场中，相当于主流区增加了一层流体。12/11/202270由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的主流区所增加的厚度为这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的。因此，称其为排移厚度。（b）边界层动量损失厚度在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为由于粘性的存在，实际流体通过的动量为12/11/202271主流区所增加的厚度为12/11/202271上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失用外流流速ue（理想流体）折算的动量损失厚度为（c）边界层能量损失厚度在边界层内，在质量流量不变的条件下，以外流速度（理想流体）通过的动能为由于粘性的存在，实际流体通过的动能为12/11/202272上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量12上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失用主流流速ue（理想流体）折算的动能损失厚度为:

上述各种厚度的计算公式，对于不可压缩流体而言，变为:12/11/202273上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能12平面不可压缩流体层流边界层方程1、平壁面上边界层方程根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程组进行简化，得到边界层近似方程。对于二维不可压缩流动，N-S方程为

选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：12/11/202274平面不可压缩流体层流边界层方程1、平壁面上边界层方程12/1（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。（2）法向速度远远小于纵向速度。（3）边界层内的压强与外流速度的平方成正比。将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到12/11/202275（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。12/1N-S方程组与各项量级比较:12/11/202276N-S方程组与12/11/202276在高Re数情况下，忽略小量得到忽略质量力，由第三个方程得到这说明，在高Re数情况下，在边界层内压力沿法向是不变的。12/11/202277在高Re数情况下，忽略小量得到12/11/202277边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。也就是，p与y无关，仅是x和t的函数。即忽略质量力，Prandtl边界层方程变为边界条件：12/11/202278边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。在边界层外边界线上，可按照理想流体势流方程确定压强。即

在定常流动情况下，有12/11/202279在边界层外边界线上，可按照理想流体势流方程确定压强。即综上所述，边界层基本特性可归纳为2、曲壁面上的边界层方程在实际流动中所遇到的物面常是弯曲的，因此推导曲壁面上的边界层方程具有重要意义。在推导中，使用曲壁面上的边界层坐标系。其中，x轴贴着壁面，y轴垂直于壁面。在边界层内任取一点M，其坐标x=ONy=NMM’为M的邻点，MM’的弧长为ds12/11/202280综上所述，边界层基本特性可归纳为12/11/202280在x处，设曲壁的曲率半径为R(x)，有则有

仍以u和v分别表示边界层坐标系中的x和y方向的速度分量，则由正交曲线坐标系方程，得到12/11/202281在x处，设曲壁的曲率半径为R(x)，有12/11/20228运动方程为:12/11/202282运动方程为:12/11/202282假定物面的曲率半径R(x)与x向的特征长度L同量级，y的量级与边界层厚度同量级，故有:量级比较，简化的边界层方程为:12/11/202283假定物面的曲率半径R(x)与x向的特征长度L同量级，这就是曲壁面上的边界层方程，与平壁面的方程相比，只是y方向的方程有所不同。为了和流动弯曲所产生的离心力相平衡，必须有y方向的压力梯度。以下估计这个压力梯度的量级大小。初步假定边界层内速度分布为线性分布。从y=0到y=s积分，有在R>>s的情况下，此压差是个小量，可忽略。由此仍得出在曲壁面的边界层内，法向压力不变是个常数。这说明，在曲率半径不太小且变化不太大的情况下，曲壁面上的边界层方程与平壁面上的边界层方程完全相同。12/11/202284这就是曲壁面上的边界层方程，与平壁面的方程相比，只是1908年，Prandtl学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边界层方程。对于零压梯度、定常、不可压缩流体平板层流绕流，边界层方程为相应的边界条件为Blasius假设，在平板上边界层内的速度分布具有相似性特征。即平板层流边界层的相似解12/11/2022851908年，Prandtl学生Blasius利用边界根据量级比较，边界层厚度的量级为:

引入流函数，可消掉一个连续方程。

12/11/202286根据量级比较，边界层厚度的量级为:12/11/202286由此得到代入方程中，得到12/11/202287由此得到12/11/202287化简后变为边界条件为Blasius用无穷级数进行了求解。假设：其中，为待定系数。12/11/202288化简后变为12/11/202288由边界条件，可得（1）边界层厚度（）（2）边界层位移厚度（3）边界层动量损失厚度12/11/202289由边界条件，可得12/11/202289（4）壁面切应力（5）壁面摩擦阻力系数（6）平均壁面摩擦总阻力系数

郭永怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到适用范围：12/11/202290（4）壁面切应力12/11/202290边界层动量积分关系式是由Karman1921导出的，对近似求解边界层特性具有重要作用。适应于层流边界层和湍流边界层。今在边界层内任取一控制体，控制体长度为dx，控制面为Aab、Abc、Acd、Ada。现对控制体应用动量定律，可得由Aab面流入控制体的质量为

由Acd面流出控制体的质量为12/11/202291边界层动量积分关系式是由Karman1921导出的，根据质量守恒定律，通过Abc流入控制体的质量为由Aab面流入控制体的动量为由Acd面流出控制体的动量为通过Abc流入控制体的动量在x方向的分量为12/11/202292根据质量守恒定律，通过Abc流入控制体的质量为12/11/2在Aab面上的作用力为在Acd面上的作用力为在Abc面上的力为在Aad面上的切应力为

12/11/202293在Aab面上的作用力为12/11/202293现对控制体建立x方向的动量方程为整理后，得由于12/11/202294现对控制体建立x方向的动量方程为12/11/202294由Bernoulli方程，可得这就是边界层动量积分方程。是一个一阶常微分方程，适应于层流和湍流边界层。12/11/202295由Bernoulli方程，可得12/11/202295如果写成无量纲形式，有对于零压梯度的平板边界层流动，有动量积分方程也可通过直接积分边界层微分方程获得。对于二维不可压缩流体边界层方程为12/11/202296如果写成无量纲形式，有12/11/202296用ue乘以连续方程，并把动量方程改写。两式相减，得到积分上式，有12/11/20229712/11/202297整理后，得到这与Karman方程完全一样。动量积分方程含有三个未知数，排移厚度、动量损失厚度、壁面切应力。因此，必须寻求补充关系，积分求解。由于三个未知量都取决与边界层的速度分布，因此只要给定速度分布，就可以求解。显然，该方法的精度取决于边界层内速度分布的合理性。通常假定，边界层内速度分布为确定系数的条件为12/11/202298整理后，得到12/11/202298边界层的分离现象1、边界层分离现象

边界层中的流体质点受惯性力、粘性力和压力的作用。其中，粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动，使流体质点减速，失去动能；压力的作用取决于绕流物体的形状和流道形状，顺压梯度有助于流体加速前进，而逆压梯度阻碍流体运动。以圆柱绕流为例说明边界层的分离现象。

对于理想流体，流体微团绕过圆柱时，在OM段为加速减压区，压能转化为动能。在MF段为减速增压区，动能减小压能增加12/11/202299边界层的分离现象1、边界层分离现象对于理对于粘性流体，在上述能量的转化过程中，由于粘性的作用，边界层内的流体质点将要克服粘性力作功而消耗机械能。因此微团在逆压区，不可能到达F点，而是在MF段中的某点处微团速度降为零，以后来的质点将改道进入主流中，使来流边界层与壁面分离。在分离点下游的区域，受逆压梯度的作用而发生倒流。分离点定义为紧邻壁面顺流区与倒流区的分界点在分离点附近和分离区，由于边界层厚度大大增加，边界层假设不再成立。边界层分离的必要条件是：逆压梯度和物面粘性的阻滞作用结果。仅有粘性的阻滞作用而无逆压梯度，不会发生边界层的分离，因为无反推力使边界层流体进入到外流区。这说明，顺压梯度的流动不可能发生边界层分离。只有逆压梯度而无粘性的阻滞作用，同样也不会发生分离现象，因为无阻滞作用，运动流体不可能消耗动能而滞止下来。12/11/2022100对于粘性流体，在上述能量的转化过程中，由于粘性的作用气流绕翼型的流动与边界层分离现象。

需要指出的是：逆压梯度和壁面粘性阻滞作用是边界层分离的必要条件，但不是充分的，也就是说只有在一定的逆压梯度下，才有可能发生分离。12/11/2022101气流绕翼型的流动与边界层分离现象。12/11/20221012、在不同压力梯度区边界层的速度分布特征根据边界层动量方程，在壁面上压力梯度对边界层内流动速度分布产生一定的影响。对于顺压梯度的情况，有对于逆压梯度的情况，有12/11/20221022、在不同压力梯度区边界层的速度分布特征12/11/2022对于零压梯度的情况，有由此可见，随着压力梯度的变号，边界层速度分布的曲率将改变符号。12/11/2022103对于零压梯度的情况，有12/11/2022103对于顺压梯度区，压力沿程减小，速度沿程增加。在壁面处，另一方面，在边界层的外边界上，有由此说明，在顺压梯度区，边界层内的速度沿y方向是单调增加的，分布曲线无拐点，是一条向外凸的光滑曲线，流动是稳定的。12/11/2022104对于顺压梯度区，压力沿程减小，速度沿程增加。在12对于逆压梯度区，压力沿程增加，速度沿程减小。在壁面处，有另一方面，在边界层的外边界上，有于是在边界层内，速度分布曲率从正变为负，在某点处必然有这一点是速度分布的拐点。拐点的出现改变了速度分布的形状，在拐点以上为外凸型，在拐点以下为外凹型，存在拐点的速度分布型是不稳定的。12/11/2022105对于逆压梯度区，压力沿程增加，速度沿程减小。在12

在最小压力点处，有说明拐点在物面上，随着流体质点向下游流动，拐点向外边界移动，物面近区的速度分布愈来愈瘦小，但当拐点移动到某点时，物面处出现12/11/202210612/11/2022106该点称为分离点。在分离点下游区，有发生了回流，回流把主流推离壁面，边界层假设失效。由上分析可见，逆压梯度愈大，边界层分离愈靠前。边界层分离后，流动特征发生了变化。如：（1）从分离点不断脱离出旋涡，在分离点下游形成不稳定的旋涡区，从而使得主流区由原来的无涡区变成有涡。（2）物面上压力分布由原来的几乎对称分布变成不对称分布，在分离点后出现低压区（或负压区），从而大大增加了绕流物体的阻力。12/11/2022107该点称为分离点。在分离点下游区，有12/11/2022107在线教务辅导网：

更多课程配套课件资源请访问在线教务辅导网12/11/2022108在线教务辅导网：http://www.shangfuwang12/11/202210912/11/202210912/11/202211012/11/202211012/11/202211112/11/202211112/11/202211212/11/202211212/11/202211312/11/2022113馋死12/11/2022114馋死12/11/202211412/11/202211512/11/202211512/11/202211612/11/202211612/11/202211712/11/202211712/11/202211812/11/202211812/11/202211912/11/202211912/11/202212012/11/202212012/11/202212112/11/202212112/11/202212212/11/202212212/11/202212312/11/202212312/11/202212412/11/202212412/11/202212512/11/202212512/11/202212612/11/2022126PPT研究院POWERPOINTACADEMY12/11/2022127PPT研究院POWERPOINTACADEMY12/11/12/11/202212812/11/202212812/11/202212912/11/2022129第六章粘性流体动力学基础流体微团的运动形式与速度分解定理粘性流体的应力状态广义牛顿内摩擦定理（本构关系）Navier-Stokes方程粘性流体运动的能量方程粘性流体运动的基本性质粘性流体运动方程组的封闭边界层近似及其特征平面不可压缩流体层流边界层方程平板层流边界层的相似解边界层的分离现象12/11/2022130第六章粘性流体动力学基础流体微团的运动形式与速度分解定理11、流体微团运动的基本形式

流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运动（线变形和角变形运动）。

流体微团的运动形式与速度分解定理平动转动线变形角变形12/11/20221311、流体微团运动的基本形式流体微团的运动形式与速度分解定理平2、速度分解定理德国物理学家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。

在速度为

在点处，速度为12/11/20221322、速度分解定理12/11/20223以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有将上式分别加、减下列两项得到12/11/2022133以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有12/11/2022如果令：综合起来，有12/11/2022134如果令：12/11/20225对于y,z方向的速度分量，也可得到写成矢量形式其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动引起的，第三项表示微团变形引起的。12/11/2022135对于y,z方向的速度分量，也可得到12/11/20226定义如下：流体微团平动速度：流体微团线变形速度：

流体微团角变形速度（剪切变形速度）：流体微团旋转角速度：12/11/2022136定义如下：12/11/202273、有旋运动与无旋运动流体质点的涡量定义为表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋流动与有旋运动。4、变形率矩阵（或变形率张量）

在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中称为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的粘性应力存在直接关系。12/11/20221373、有旋运动与无旋运动12/11/20228定义，流体微团的变形率矩阵为该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是：12/11/2022138定义，流体微团的变形率矩阵为12/11/20229

对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度，或流体微团的相对体积膨胀率。如果选择坐标轴是三个变形率矩阵的主轴，则此时变形率矩阵的非对角线上的分量为零，相应的变形率矩阵与不变量为12/11/2022139对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度粘性流体的应力状态1、理想流体和粘性流体作用面受力差别流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。

12/11/2022140粘性流体的应力状态1、理想流体和粘性流体作用面受力差别12/2、粘性流体中的应力状态

在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。12/11/20221412、粘性流体中的应力状态12/11/202212由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。如，对于x面的合应力可表示为y面的合应力表达式为z面的合应力表达式为12/11/2022142由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投

如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。12/11/2022143如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即（2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即（3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。12/11/2022144（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点广义牛顿内摩擦定理（本构关系）1、牛顿内摩擦定理启发牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比。即如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有

说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动，Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理。12/11/2022145广义牛顿内摩擦定理（本构关系）1、牛顿内摩擦定理启发12/12、Stokes假设（1845年）

(Stokes，英国数学家、力学家，1819-1903年）（1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体的平动和转动无关。（2）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位置无关。（3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正应力，无切应力。即12/11/20221462、Stokes假设（1845年）12/11/202217因此，在静止状态下，流体的应力状态为

根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定理，系数a只取决于流体的物理性质，可取12/11/2022147因此，在静止状态下，流体的应力状态为12/11/20221由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形率矩阵中的那些线性不变量构成。即令式中，为待定系数。将a、b代入，有取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出12/11/2022148由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持12/11归并同类项，得到在静止状态下，速度的散度为零，且有于是，有由于b1和b2均为常数，且要求p0在静止状态的任何情况下均成立，则然后代入第一式中，有12/11/2022149归并同类项，得到12/11/202220如果令称为流体压强。则本构关系为上式即为广义牛顿内摩擦定理（为牛顿流体的本构方程）。用指标形式，上式可表示为12/11/2022150如果令12/11/202221对于不可压缩流体,有如果用坐标系表示，有粘性切应力：法向应力：12/11/2022151对于不可压缩流体,有12/11/202222Navier-Stokes方程1、流体运动的基本方程

利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方程。(在流场中取一个微分六面体流体微团进行分析，以x方向为例，建立运动方程）。12/11/2022152Navier-Stokes方程1、流体运动的基本方程12/1整理后，得到

这是以应力形式表示的流体运动微分方程，具有普遍意义，既适应于理想流体，也适应于粘性流体。这是一组不封闭的方程，在质量力已知的情况下，方程中多了6个应力分量，要想得到封闭形式，必须引入本构关系，如粘性流体的广义牛顿内摩擦定律。12/11/2022153整理后，得到12/11/2022242、Navier-Stokes方程组（粘性流体运动方程组）人类对流体运动的描述历史是：1500年以前DaVinci（1452-1519，意大利科学家）定性。1755年Euler（瑞士科学家，1707-1783）推导出理想流体运动方程。1822年Navier（1785-1836，法国科学家）开始考虑粘性1829年Poisson(1781-1846)、1843年SaintVenant（1795-1886)、1845年Stokes(1819-1903，英国科学家)结束，完成了推导过程，提出现在形式的粘性流体运动方程。（历时90年）12/11/20221542、Navier-Stokes方程组（粘性流体运动方程组）1以x方向的方程为例，给出推导。引入广义牛顿内摩擦定理，即代入得到12/11/2022155以x方向的方程为例，给出推导。12/11/202226对于y和z方向的方程为

这就是描述粘性流体运动的N-S方程组，适应于可压缩和不可压缩流体。12/11/2022156对于y和z方向的方程为12/11/202227写成张量的形式为对于不可缩流体，，且粘性系数近似看作常数，方程组可得到简化。仍以x向方程进行说明。

12/11/2022157写成张量的形式为12/11/202228由此可得到张量形式矢量形式12/11/2022158由此可得到12/11/202229为了研究流体的有旋性，Lamb等将速度的随体导数加以分解，把涡量分离出来，形成如下形式的Lamb型方程。

12/11/2022159为了研究流体的有旋性，Lamb等将速度的随体导数加3、Bernoulli积分

伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯·伯努利）,1623-1708，瑞士伯努利数学家族第一代。Bernoulli,Johann（约翰伯努利），1667-1748，伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼尔伯努利），1700-1782，伯努利数学家族第三代，Johann.伯努利的儿子，著有《流体动力学》（1738），将微积分方法运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。12/11/20221603、Bernoulli积分12/11/202231与Bernoulli积分理想流体运动方程类似，积分N-S方程假定：（1）不可压缩粘性流体；（2）定常流动；（3）质量力有势；（4）沿流线积分。沿流线积分N-S方程，可推导出粘性流体的能量方程。与理想流体能量不同的是，方程中多了一项因粘性引起的损失项，表示流体质点克服粘性应力所消耗的能量。在粘性不可压缩定常流动中，任取一条流线，在流线上某处取一微段ds，该处所对应的流速为12/11/2022161与Bernoulli积分理想流体运动方程类似，积分N-S方程沿流线积分N-S方程，有在定常流情况下，迹线和流线重合。12/11/2022162沿流线积分N-S方程，有12/11/202233流线微段与速度之间的关系为12/11/2022163流线微段与速度之间的关系为12/11/202234质量力有势，因此有不可压缩定常流动，有粘性项写成为在流线微段上，微分形式为12/11/2022164质量力有势，因此有12/11/202235与理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项与粘性有关的项，物理上表示单位质量流体质点克服粘性应力所做的功，代表机械能的损失，不可能再被流体质点机械运动所利用。故称其为单位质量流体的机械能损失或能量损失。对于质量力只有重力的情况，方程的形式变为

方程两边同除以g，得到表示单位重量流体总机械能量沿流线的变化。12/11/2022165与理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项如果令能量方程变为单位重量流体所具有的机械能为；单位重量流体粘性力所做的功为。沿着同一条流线积分，得到12/11/2022166如果令12/11/202237上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上单位重量流体的所具有的机械能总是沿程减小的，不能保持守恒（理想流体时，总机械能是保持守恒的，无机械能损失），减小的部分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的机械能量。粘性流体Bernoulli积分方程说明，粘性流体在流动中，无论势能、压能和动能如何转化，但总机械能是沿程减小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方。12/11/2022167上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上单位重量流体的粘性流体运动的能量方程1、热力学第一定理能量方程是热力学第一定理在运动流体中的表现形式。热力学第一定理表示：单位时间内作用于系统上所有力对系统所做的功与单位时间内输入系统的热量之和等于系统总能量的变化率。即其中，Q为单位时间输入系统的总热量，包括热辐射和热传导；W为单位时间作用于系统上所有力对系统所做的功。作用力包括表面力和体积力。12/11/2022168粘性流体运动的能量方程1、热力学第一定理12/11/20222、能量方程推导在粘性流体空间中，任取一个微分平行六面体的流体微团作为系统，六面体为控制体，则该系统单位时间内总能量的变化率应等于单位时间作用于系统上所有作用力的功与外界传给系统的热量之和。用e表示单位质量流体所具有的内能，那么单位质量流体所具有的总能量（内能+动能）为

单位时间内，微元流体系统总能量的变化率为12/11/20221692、能量方程推导12/11/202240作用系统上的力包括：通过控制面作用于系统上的表面力和系统上的质量力。单位时间内，所有作用力对系统所做的功为：质量力功率：x方向表面力的功率：12/11/2022170作用系统上的力包括：通过控制面作用于系统上的表面力和同理可得，y和z方向的功率为总功率为12/11/2022171同理可得，y和z方向的功率为12/11/202242单位时间内，外界传给系统的总热量Q包括热辐射和热传导。令q表示单位时间因热辐射传给单位质量流体的热量，总的辐射热量为由Fourier定理可得，通过控制面传给系统的热量。对于x方向，单位时间通过控制面传入系统的热量为12/11/2022172单位时间内，外界传给系统的总热量Q包括热辐射和热传导同理可得，y和z方向的热传导量。单位时间内，总的热传导量为将以上各式代入12/11/2022173同理可得，y和z方向的热传导量。12/11/202244整理得到该方程为能量方程的微分形式。写成张量形式为12/11/2022174整理得到12/11/202245另外，如果用ui乘以运动方程，有代入能量方程，得到另一种形式的能量方程。12/11/2022175另外，如果用ui乘以运动方程，有12/11/202246上式的物理意义是：在单位时间内，单位体积流体内能的变化率等于流体变形时表面力作功与外部传入热量之和。其中，表面力作功包括压力作功和剪切力作功，压力作功表示流体变形时法向力作膨胀功，剪切力作功表示流体运动是克服摩擦力作功，这部分是由于流体粘性引起的，将流体部分机械能不可逆转化为热能而消耗掉。利用广义牛顿内摩擦定理，可得其中，为耗散函数。12/11/2022176上式的物理意义是：在单位时间内，单位体积流体内能的变这样，能量方程也可写成为说明，单位体积流体内能的变化率等于法向力作功、外加热量以及由于粘性而消耗的机械能之和。由连续方程，有12/11/2022177这样，能量方程也可写成为12/11/202248代入能量方程中，得到对于不可压缩流体，有12/11/2022178代入能量方程中，得到12/11/202249粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。

1、粘性流体运动的涡量输运方程为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。其Lamb型方程是引入广义牛顿内摩擦定理粘性流体运动的基本性质12/11/2022179粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩Lamb型方程变为对上式两边取旋度，得到整理后得到12/11/2022180Lamb型方程变为12/11/202251这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。由于（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。12/11/2022181这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的（2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为张量形式为（3）对于二维流动，上式简化为12/11/2022182（2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量12/12、粘性流体运动的有旋性理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为根据场论知识，有代入上式，得到12/11/20221832、粘性流体运动的有旋性12/11/202254如果流动无旋，则这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。但问题出在固壁边界上。在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件。即要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。这说明粘性流体流动一般总是有旋的。12/11/2022184如果流动无旋，则12/11/202255但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。3、粘性流体旋涡的扩散性

粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。12/11/2022185但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度的定解问题为这是一个扩散方程的定解问题，其解为12/11/2022186以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度12/4、粘性流体能量的耗散性在粘性流体中，流体运动必然要克服粘性应力作功而消耗机械能。耗散函数的引入是表征这一特性的重要物理量。按照定义，单位时间、单位体积流体所消耗的能量为在直角坐标系中的表达式为12/11/20221874、粘性流体能量的耗散性12/11/202258对于粘性流体，只有两种可能使耗散函数为零