同济版高等数学教案第五章定积分

第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿一莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。§51定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形设函数yf(x)在区间［ab］上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值

在每个小区将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近在每个小区aXX01X2xxbn1n把［ab］分成n个小区间[xX][XX][XX][Xx]01131它们的长度依次为X］X］X0XXX221XXXnni似值具体方法是在区间［ab］中任意插入若干个分点经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形间[x.X.]上任取一点.以[x.111111X.］为底、f(1把这样得到的n•)为高的窄矩形近似替代第1个窄曲1个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形边梯形(i12n)面积A的近似值即Af(1)X1f(2)X2f()X二为f(g)Axnn」'予ii=1求曲边梯形的面积的精确值max{xx12趋于零相当于令显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积Amax{xx12趋于零相当于令X}于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度n所以曲边梯形的面积为2变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔［TT］上t的连续函数且v(t)012计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程

我们把时间间隔［TT］分成n个小的时间间隔t在每个小的时间间隔t.内物1211体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔t内某点.的速度v(.)物体III在时间间隔t内运动的距离近似为S.v(i)t把物体在每一小的时间间隔tI1111内运动的距离加起来作为物体在时间间隔［T1T2］内所经过的路程S的近似值具体做法是在时间间隔［T1T2］内任意插入若干个分点把在时间间隔［T1T2］内任意插入若干个分点把[T1T丿分成n个小段[t0[tt2][t各小段时间的长依次为相应地在各段时间内物体经过的路程依次为在时间间隔［t.t］在时间间隔［t.t］上任取一个时刻.(t.111rr来代替［t…t.］上各个时刻的速度得到部分路程111t.)11S.的近似值1.时刻的速度v(.)11S.v()t.(112111n)于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值Sv(r)Atiii=1求精确值t}当0时取上述和式的极限即得t}当0时取上述和式的极限即得n12变速直线运动的路程S=lim£v(r)At

匚0;=1ii设函数yf(x)在区间［ab］上非负、连续求直线xa、xb、y0

及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(1)用分点ax0x1x2xxb把区间［ab］分成n个小区间n1n[xx]01[x1x][xx]223[xn1xn]记xixixi1(i12n)(2)任取i[xx,]i1i以[x.i1X.］为底的小曲边梯形的面积可近似为if()Ax(iii12n)所求曲边梯形面积A的近似值为A沁工f()Axiii=1⑶记max{x}所以曲边梯形面积的精确值为⑶记max{x}所以曲边梯形面积的精确值为nA=limf(E)Axiii=1设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔［T1T2］上t的连续函数且v(t)0计算在这段时间内物体所经过的路程S(1)用分点Tttt1012段[tt](1)用分点Tttt1012段[tt][tt]0112n)tn1tnT2把时间间隔［T1TJ分成*个小时间[tt]记ttt(i12n1niii1(2)任取.[tii1t]在时间段[t.ii1t］内物体所经过的路程可近似为v(.)tiii(i12n)所求路程S的近似值为ii=1S品v(t)Atiii=1t}所求路程的精确值为nt}所求路程的精确值为n12S=limEv(t)Ati=1二、定积分定义抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义设函数f(x)在匕b］上有界在［ab］中任意插入若干个分点axxxxxb012n1n把区间［ab］分成n个小区间[xx]01[xx]1[xx]1各小段区间的长依次为xxx110x2xx21xxxnnn1在每个小区间［x.11X］上任取一个点1•(x1!•X.)作函数值f(.)与小区间长11度x.的乘积1f(.)x.(11112n)并作出和S=tf(g.)Ax.1I

记max{xx12间[x.x记max{xx12间[x.x]上点.怎样取法11i1n这个极限I为函数f(X)在区间［a这个极限I为函数f(X)在区间［ab］上的定积分记作Jbf(x)dxa即\bf(x)dx=lim为f(g)Axa—i=1''其中f(其中f(x)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限［ab］叫做积分区间定义设函数f(x)在匕b］上有界用分点axxx012xxb把n1n［ab］分成n个小区间[xx]01[xx]1[xx]记n1nxxx(i12iii1n)任.[X.X.](i12n)作和ii1iS仝f(g)Axii记max{xx12记max{xx12x}n极限值与区间［ab］的分法和.的取法无关i=1i如果当0时上述和式的极限存在且则称这个极限为函数f(x)在区间［ab］上的定积分记作Jbf(x)dxaJbf(x)dx=lim工f(g)Axa匚0.,11根据定积分的定义曲边梯形的面积为A=Jbf(x)dxa变速直线运动的路程为S=JT2v(t)dtT说明定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即aaaaa和tf(g)Ax通常称为f(x)的积分和iii=1如果函数f(x)在［ab］上的定积分存在我们就说f(x)在区间［ab］上可积函数f(函数f(x)在［ab］上满足什么条件时定理1设f(x)在区间［ab］上连续定理2设f(x)在区间［ab］上有界积定积分的几何意义f(x)在［ab］上可积呢?则f(x)在［ab］上可积且只有有限个间断点则f(x)在［ab］上可在区间［ab］上当f(x)0时积分Jbf(x)dx在几何上表示由曲线yf(x)、两条直a线Xa、xb与X轴所围成的曲边梯形的面积当f(x)0时由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值\bf(x)dx=limZf(g.)Ax=—limZ[-f(g.)]Ax.=—Jb[—f(x)]dxa九tO.=111九tO.=111a当f(x)既取得正值又取得负值时函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方而其它部分在X轴的下方如果我们对面积赋以正负号在X轴上方的图形面积赋以正号在X轴下方的图形面积赋以负号则在一般情形下定积分Jbf(x)dx的几何意义为它是介于X轴、函a数f(x)的图形及两条直线Xa、Xb之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分

例1.利用定义计算定积分卩x2dx0解把区间［01］分成n等份分点为和小区间长度为x=—(i12inn1)Ax=丄(i1x=—(i12inn1)Ax=丄(i12inn)取勺=n(i12n)作积分和为f(g.)Ax.=Xg2心.=为(丄)2•丄iii=1i=1nni=1=丄£i2=1n3i=1i111•—n(n+l)(2n+1)=~(1+—)(2+―)n366所以J1x2dx=lim为f(g)Ax=lim1(1+丄)(2+丄)=10匚0i=1ii…6nn3利定积分的几何意义求积分：例2用定积分的几何意义求J1(1-x)dx0解：函数y1X在区间［01］上的定积分是以y1X为曲边以区间［01］为底的曲边梯形的面积因为以y1X为曲边以区间［01］为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1所以J1(1-x)dx=1x1x1=1

o22三、定积分的性质两点规定aaac当ab时Jbf(x)dx=0a当ab时Jbf(x)dx=—Jaf(x)dxTOC\o"1-5"\h\zab性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即Jb[f(x)±g(x)]dx=Jbf(x)dx±Jbg(x)dxaaa证明:hf(x)±g(x)]dx二limt[fg)±g(2)]Axa—匸1ZZZ=limZf(g.)Ax土limZg(g)Ax.—oi=i11—oj=i11=\bf(x)dx±Jbg(x)dxaa性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即\bkf(x)dx=kjbf(x)dxaa这是因为Jbkf(x)dx=limtkf(g)Ax.=klimtf(g)Ax.=kjbf(x)dxaX^o—i1X^o/=1i1a性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即\bf(x)dx-icf(x)dx+jbf(x)dxaac这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论abc的相对位置如何总有等式\bf(x)dx=Jcf(x)dx+jbf(x)dx成立例如当a〈b〈c时由于TOC\o"1-5"\h\zJcf(x)dx-\bf(x)dx+jcf(x)dxaab于是有\bf(x)dx-icf(x)dx—Jcf(x)dx-icf(x)dx+jbf(x)dxaabac性质4如果在区间[ab]±f(x)1贝yfb1dx-\bdx-b_aaa性质5如果在区间[ab]上f(x)0贝y\bf(x)dx>0(ab)a推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)贝y\bf(x)dx<\bg(x)dx(ab)TOC\o"1-5"\h\zaa这是因为g(x)f(x)0从而Jbg(x)dx-Jbf(x)dx二Jb[g(x)_f(x)]dx>0aaa所以Jbf(x)dx<Jbg(x)dxaa推论2IJbf(x)dxl<fblf(x)ldx(ab)aa这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|所以一血f(x)Idx<\bf(x)dx<fblf(x)Idxaaa即lJbf(x)dxI<fbIf(x)Idx|aa性质6设M及m分别是函数f(x)在区间［ab］上的最大值及最小值m(b-a)<\bf(x)dx<M(b-a)(ab)a证明因为mf(x)M所以\bmdx<\bf(x)dx<\bMdxaaa从而m(b-a)<\bf(x)dx<M(b-a)a则在积分区间性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间［ab］上连续则在积分区间［ab］上至少存在一个点使下式成立Jbf(x)dx=f(g)(b-a)a这个公式叫做积分中值公式证明由性质6m(b-a)<\bf(x)dx<M(b-a)a各项除以ba得m<1\bf(x)dx<Mb—aa再由连续函数的介值定理在［ab］上至少存在一点使f(g)=—卩f(x)dxb—aa于是两端乘以ba得中值公式jbf(x)dx二f(g)(b-a)a积分中值公式的几何解释应注意不论a<b还是a〉b积分中值公式都成立§52微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在t时刻所经过的路程为S(t)速度为vv(t)S(t)(v(t)0)则在时间间隔［［T2］内物体所经过的路程S可表示为S(T)-S(T)及JT2v(t)dt21t即JT2V(t)dt二S(T)—S(T)T21上式表明速度函数v(t)在区间［T1T2］上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间［T1T］上的增量2这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢?

二、积分上限函数及其导数我们把函数f(x)在部设函数f(x)在区间［ab］上连续并且设X我们把函数f(x)在部分区间［ax］上的定积分JXf(x)dxa称为积分上限的函数它是区间［ab］上的函数记为(x)二Jxf(x)dx或(x)Jxf(t)dtaa定理1如果函数f(x)在区间［ab］上连续则函数(x)二Jxf(X)dxa在［ab］上具有导数并且它的导数为(x)=¥Jxf(t)dt=f(x)(ax<b)dXaTOC\o"1-5"\h\z简要证明若x(ab)取X使Xx(ab)(xx)(x)=Jx+心f(t)dt-JXf(t)dtaa=Jxf(t)dt+Jf(t)dt-Jxf(t)dtaxa=Jx+Axf(t)dt=f(g)Axx应用积分中值定理有f()X其中在X与XX之间X0时x于是(x)=(x)=limAxtO詈=豐f点)響点)=f(x)若Xa取x>0则同理可证(x)f(a)若xb取x<0则同理可证也是也是f(x)的一个原函数于是有一常数C使(X)f(b)定理2如果函数f(x)在区间［ab］上连续则函数(x)二Jxf(x)dxa就是f(X)在匕b］上的一个原函数定理的重要意义一方面肯定了连续函数的原函数是存在的另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式定理3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间［ab］上的一个原函数则Jbf(x)dx=F(b)—F(a)a此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式这是因为F(x)和(x)Jxf(t)dt都是f(x)的原函数a所以存在常数C使F(x)(x)C(C为某一常数)由F(a)(a)C及(a)0得CF(a)F(x)(x)F(a)由F(b)(b)F(a)得(b)F(b)F(a)即Jbf(x)dx=F(b)—F(a)a证明已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数又根据定理2积分上限函数(x)Jxf(t)dtaF(x)(x)C(axb)当xa时有F(a)(a)C而(a)0所以CF(a)当xb时F(b)(b)F(a)所以(b)F(b)F(a)即Jbf(x)dx=F(b)—F(a)a为了方便起见可把F(b)F(a)记成[F(x)]b于是a\bf(x)dx-[F(x)]b二F(b)—F(a)aa进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例1.计算J1x2dx0解由于3x3是x2的一个原函数所以J1x2dx=[{x3]l=1-13—1・03=1030333例2计算J3舎—11+x2解由于arctanx是7^的一个原函数所以1+x2J3=[arctanx]'3=arctanJ3—arctan(—1)=弓一(—手)=丄兀—11+x2—13412例3.计算J-1丄dx—2x解J-1丄dx=[lnlxI]-1ln1ln2ln2—2x—20证明0证明dX扣(滋=处)dXTf(t)dt=f(x)故例4.计算正弦曲线ysinx在[0]上与x轴所围成的平面图形的面积解这图形是曲边梯形的一个特例它的面积Asinxdx=[-cosx]^(1)(1)25m/s205m/s2例5.汽车以每小时36km速度行驶到某处需要减速停车设汽车以等加速度a刹车问从开始刹车到停车汽车走了多少距离？解从开始刹车到停车所需的时间当t0时汽车速度v036km/h=m/s10m/s刹车后t时刻汽车的速度为v(t)vat105t0当汽车停止时速度v(t)0从v(t)105t0得t2(s)于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为s=f2v(t)dt=f2(10-5t)dt=[10t-5-112]2=10(m)0020即在刹车后汽车需走过10m才能停住例6.设f例6.设f(x)在[0,)内连续且f(x)>0证明函数F(x)=\xtf(t)dtff(t)dt在(0)内为单调增加函数(J0Xf(t)dt)20F'(x)=皿f(t)dt-f(x)Jxf(t)dtf(x)Jx(J0Xf(t)dt)20按假设当otX时f(t)〉0(xt)f(t)0所以)内为单调增加函数例7.)内为单调增加函数例7.求一2dtxtOcosxx2Jxf(t)dt>0Jx(x-t)f(t)dt>000从而F(x)〉0(x>0)这就证明了F(x)在(0解这是一个零比零型未定式由罗必达法则12x2e11e—2dt——Icosxe—112x2eedtedtsinxe-cos2xTOC\o"1-5"\h\zlim-eosrlim—1=limxt0x2xt0x2xt0提示设①(x)=Jxe-t2dt则①(cosx)=Jcosxe-12dt11羊Jcosxe—t2dt=羊①(cosx)=羊①(u)-晋=e-u2•(—sinx)=—sinx・e—cos2xdx1dxdudx§53定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法(t)满足条件定理假设函数f(x)在区间［ab］(t)满足条件(1)()a()b⑵代)在［］（或［］)上具有连续导数且其值域不越出［ab］证明由假设知[](或[(t)](t)在区间假设F(证明由假设知[](或[(t)](t)在区间假设F(X)是彳(X)的一个原函数则卩f(x)dxaF(b)F(a)F[(t)](t)的一个原函数从而另一方面因为{F[(t)]}是f[(t)]f[(t)]所以F[(t)]J伽(t)"(t)dtF[(a)]F[)]F(b)F(a)则有Jbf(x)dx=2/[(p(t)”(t)dtaa这个公式叫做定积分的换元公式f(x)在区间[ab]上是连续因而是可积的f[])上也是连续的因而是可积的因此Jbf(x)dx=JPf[(p(t)”(t)dt因此aa1计算Jai；a2一x2dx(a>0)0解Jata2一x2dx令=asintJ*acost・acostdt00TOC\o"1-5"\h\z托2「天=a2J2cos2tdt=—J2(1+cos2t)dto2o年[t+2sin2t]2=4"222o4提示a2提示a2一x2=a2一a2sin21=acostdxacos当xa时t=号例2计算J夢cos5xsinxdxo解令tcosX则J2cos5xsinxdx=-J2COS5xdcosx00令cosx=t-J015dt=J1t5dt=[丄16]1=-106o6提示当x0时t1当x=+时t0JICOS5xsinxdx=-J2COS5xdcosx00=-[7COs6x]2=一2cos6号+2cos60=16o6266例3计算严Jsin3x一sin5xdx0解J^.sin3x-sin5xdx=JKsin2xlcosxIdx00=JIsin2xcosxdx-JKsin2xcosxdx02=JIsin2xdsinx-Fsin2xdsinx0丁=[2sin!x]2-[5sin2x]^=2-(-2)=4505555提示v'sin3x-sin5x=Jsin3x(l-sin2x)=sin2xlcosxI在［0,专］上在［0,专］上Icosx|cosx在時,兀]上|cosx|cosx例4计算dx,12_1+2解f4x+2dx令2x+1一tf32-tdt=1f3(t2+3)dt0』2x+11t2i11=11=2片t3+3t]提示x=dxtdt当x0时t1当x4时t321例5证明若f(X)在［aa］上连续且为偶函数则faf(x)dx=2faf(x)dxTOC\o"1-5"\h\z_a0证明因为faf(x)dx=f0f(x)dx+faf(x)dx_a_a0而f0f(x)dx令m_f0f(_t)dt=faf(_t)dt=faf(_x)dx_aa00所以faf(x)dx=faf(_x)dx+faf(x)dx一a00_a=fa[f(_x)+f(x)]dx=fa2f(x)dx=2faf(x)_a0_a0讨论若f(x若f(x)在［aa］上连续且为奇函数问faf(x)dx=？_a提示若f(x)为奇函数则f(x)f(x)0从而faf(x)dx=fa[f(_x)+f(x)]dx=0_a0例6若f(x)在［01］上连续证明(1)f2f(sinx)dx=f多f(cosx)dx00

(2)Fxf(sinx)dxf(sinx)dx020证明⑴令x=^-t则Z-!f2f(sinx)dx=-f0f[sin(^-t)]dt0T2=f2f[sin(号-t)]dt=fIf(cosx)dx02o⑵令XFxf(sinx)dx=-f0(兀-1)f[sin(兀-t)]dt0(兀-1)f[sin(兀-t)]dt(兀-1)f(sint)dt00二兀Ff(sint)dttf(sint)dt00二兀卜f(sinx)dx-fKxf(sinx)dx00所以Fxf(sinx)dx=乎Ff(sinx)dx所以02o例例7设函数f(x)二xe-x2x>0j+Cos^-1<x<0计算f4f(x-2)dx1解设x2t则f4f(x一2)dx=f2f(t)dt=f0丄dt+f%-t^dt1-1-11+COst0=卜吨]-1七e-t2]0=吨—2e-4+2提示设x2t则dxdt当xl时t1当x4时t2二、分部积分法设函数u(X设函数u(X)、v(x)在区间［ab］上具有连续导数u(x)、v(x)由(uv)uvuV得uVuvuv式两端在区间［ab］上积分得\buv'dx—[uv]b-\bu'vdx或Jbudv=[uv]b-Jbvdu这就是定积分的分部积分公式分部积分过程\buv'dx—Jbudv—[uv]b—Jbvdu—[uv]b一Jbu'vdx—…例1计算J2arcsinxdx0解J2arcsinxdx—[xarcsinx]2—J2xdarcsinx000-2卡.xdx26ovl—x2—12+2士d(1—x2)兀1兀3]12+[亠x2]2—12+T-1例2计算pe-xdx0『e'xdx—2}1ettdt00

=2卩tdet0=2[tet]1一2「etdtoo=2e—2[et]1=20例3设I=J7sinnxdxn0证明(1)当n为正偶数时(2)当(2)当n为大于1的正奇数时，=n—1n—3nnn-2证明I=j2sinnxdx=-恵Sinn—1xdcosxn00=—[cosxsinn—1x]2+JIcosxdsinn—1x00=(n—1)JTcos2xsinn—2xdx=(n—1)J2(sinn—2x—sinnx)dx00=(n-1)f2sinn—2xdx-(n-1)J"2sinnxdx0(n1)(n1)I2(n1)In由此得=41nnn—24-2Io，=2m—12m4-2Io2m2m2m-22m-4，=2m2m-22m一442/2m+12m+12m—12m—3531

而I.=f£dx=牛I=J2sinxdx=1210因此，=2m-12m-32m-53丄王2m2m2m-22m-4422，=2m2m-22m-4422m+112m-12m-353证明设I=f^2sinnxdx(n为正整数)n0证明I=2m-1.2m-3.2m-5...3..丄.巫2m2m2m一22m一44222m.2m.2m_2.2m_4...4.22m+l2m+12m-12m-353证明I=f2sinnxdx=-f萝sinn-1xdcosxn00=-[cosxsinn-1x]于+(n-1)J于cos2xsinn-2xdx00=(n-1)JT(sinn-2x-sinnx)dx0=(n-1)J2sinn-2xdx-(n-1)J1sinnxdx00(n1)1(n1)1n2n由此得I=一丄Innn-2I=2m-1.2m-3.2m-5...3.丄./2m2m2m-22m-4420/。牛唏I/。牛唏Ii=Jo2sinXdX=1特别地因此「_2m.2m_2.2m-4...4.2./TOC\o"1-5"\h\z2m+i2m+12m-12m-3531I_2m-12m-32m-5...3..丄.n_2m2m2m—22m-4422_2m.2m-2.2m-4...4.22m+112m-12m-35§54反常积分一、无穷限的反常积分定义1设函数f(x)在区间［a)上连续取b>a如果极限lim\bf(x)dxbT+aa存在则称此极限为函数f(x)在无穷区间［a)上的反常积分记作f+af(x)dx即aJ+8f(x)dx=lim\bf(x)dxabT+8a

这时也称反常积分J+sf(x)dx收敛)上的反常积分卜8)上的反常积分卜8/(x)dx就没有意a如果上述极限不存在函数f(x)在无穷区间［a义此时称反常积分卜8/(x)dx发散a类似地设函数f(x)在区间(b］上连续如果极限limJbf(x)dx(a<b)aa存在则称此极限为函数f(x)在无穷区间(b］上的反常积分记作Jbf(x)dx即_sJbf(x)dx=limJbf(x)dx_saT_sa这时也称反常积分Jbf(x)dx收敛如果上述极限不存在则称反常积分Jbf(x)dx发散设函数f(x)在区间()上连续如果反常积分J0f(x)dx和J+sf(x)dxTOC\o"1-5"\h\z_s0都收敛则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间()上的反常积分记作J+sf(x)dx即_sJ+sf(x)dx=J0f(x)dx+J+sf(x)dx_s_s0=lim=limJ0f(x)dx+aT—galimJbf(x)dxbT+s0这时也称反常积分J+gf(x)dx收敛—g

如果上式右端有一个反常积分发散则称反常积分j^f(x)dx发散—g定义1连续函数f(x)在区间［a)上的反常积分定义为J+8f(x)dx=limfbf(x)dxabT+ga否则称此反常积分发)否则称此反常积分发)上的反常积分定义为散类似地连续函数f(x)在区间(b］上和在区间(fbf(x)dx=limfbf(x)dx—gaT—gaf+gf(x)dx=limf0f(x)dx+limfbf(x)dx—gaT—gabT+g0反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则f+gf(x)dx=limfbf(x)dx=lim[F(x)]babT+gabT+ga=limF(b)一F(a)=limF(x)一F(a)bT+gxT+gf+gf+gf(x)dx=[F(x)]+g=limF(x)—F(a)axT+g类似地fbf(x)dx=类似地fbf(x)dx=[F(x)]b=F(b)—limF(x)—g—gxT—gf+gf(x)dx=[F(x)]+g=limF(x)—limF(x)—g—gxT+gxT—g例1计算反常积分f+gJdx—g1+x2解f+g丄dx=[arctanx]+g—g1+x2—g=limarctanx一limarctanxXT+gXT-8例2计算反常积分j+8te-ptdt(p是常数且P〉0)0+80解j+gte-ptdt=[jte-ptdt]=[--1jtde-+80TOC\o"1-5"\h\z00p'=[---te-pt+—je-ptdt]pp0=[—丄te-pt—e-pt]pp20=lim[—丄te-pt-e-pt]+tT+8pp2p2p2提示limte-pt=lim—=lim-—=0tT+8tT+8epttT+8pept例3讨论反常积分j+g丄dx(a>0)的敛散性aXp解当p1时j+8_1dx=j+g丄dx=[lnx]+8=+gaxpaxa当p<1时j+-^dx—[—x1-p]+8—+8axp1-pa当p〉1时j+8丄dx—[亠xi-p]+8—吟axp1-pap-1因此当p>1时此反常积分收敛其值为牛当p1时此反常积分发散p-1二、无界函数的反常积分定义2设函数f(x)在区间(ab］上连续而在点a的右邻域内无界取>0如果极aalim卩f(x)dxtTa+t存在则称此极限为函数f(x)在(ab］上的反常积分仍然记作Jbf(x)dx即afbf(x)dx=lim\bf(x)dxatTa+t这时也称反常积分fbf(x)dx收敛a如果上述极限不存在就称反常积分fbf(x)dx发散a取〉0如果类似地设函数f(x)在区间［ab)上连续