《三元一次方程组的解法》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品

8.4三元一次方程组的解法简介：本节课的内容是人教版义务教育教科书《数学》七年级〔下〕§8.4三元一次方程组的解法，主要内容是掌握用加减消元和代入消元解三元一次方程组，了解三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。本节教学的重点是掌握三元一次方程组的解法，教学难点是解法的灵活运用．能够熟练的解三元一次方程组是进一步学习一次方程组的应用，以及一次不等式组的解法的根底，解一次方程组的消元“转化〞根本思想，可以推广到“四元〞、“五元〞等多元方程组，这是今后要学习的内容．本节课是三元一次方程组的解法，深入理解解方程组中消元法的应用思想，通过把三元消元成为二元，再把二元消元为一元，方法过程的理解分析，进一步探究掌握解一次方程组中消元的应用。老师要引导学生分析总结归纳，让学生熟练掌握用消元法解三元一次方程组的一般步骤。本节课教学重点为：掌握三元一次方程组的解法。教学难点：解法的灵活运用．能够熟练的解三元一次方程组。教材分析教学目标1、知识与技能知道什么是三元一次方程．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．2、过程与方法培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象．培养学生的计算能力、训练解题技巧．3、情感态度与价值观渗透“消元〞的思想，设法把未知数转化为．通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学美，以及方程组解的奇异美．教学重点：使学生会解简单的三元一次方程组，经过本课教学进一步熟悉解方程组时“消元〞的根本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．1.解三元一次方程组时，由于方程较多，学生容易出错．因此，应提醒学生注意，在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次．2.消元时，先要考虑好消去哪一个未知数．开始练习时，可以先把要消去的未知数写出来〔如教科书在分析中所写的那样〕，然后再进行消元．3.观察法、讨论法、练习法．重点难点教学方法教学准备教学过程设计创设教师行为程序〔要素〕时间期望的学生行为情景创设情境引入新课10分钟创设知识回忆问题1.教师先复习解二元一次方程组的解题思想及学生独立完成后互相交流。情境方法，让学生充分理解方程组的消元思想及方学生表达个人想法，教法．师板书。2.小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的教师关注：纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸〔1〕学生积极参与活动币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少的态度；张．提出问题：1．题目中有几个条件？2．问题中有几个未知量？3．根据等量关系你能列出方程组吗？〔师生共同完成列表分析〕〔2〕学生是否能正确地分析实际问题中的数量关系；〔三个量关系〕每张面值×张数=钱数1元2元5元合计注1元纸币的数量是2元纸币数量的4师生共同归纳什么是三元一次方程组。1.怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？2.解方程组设问：学生根据老师提出的问分析1：发现三个方程中x的系数都是1，因此题展开思路，畅所欲确定用减法“消x〞.言。创设分析2：方程③是关于x的表达式，确定“消x〞学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组学生可能用代入法解，为：有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的目标.技能形成合作探究合作探索情境8分钟类型一：有表达式，用代入法.针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,的学生板演，然后，让用代入法的学生比拟哪因此利用①、②消z,可到达消元构成二元一次种方法简单．方程组的目的.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组类型二：缺某元，消某元.教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项y来到达将“三元〞转化为“二元〞目的，同学可以课下自行尝试一下.1、放手让学生完成，给学生自我展示的空间创设1.练习：课件呈现练习题。思维2.学生独立完成后合作交流。情境2、关注学生在解题时是否能够根据方程组的特点选择最好的消元方法。稳固技能全班展示讲解8分钟稳固提高训练12分钟创设1.有甲、乙、丙三种货物，假设购甲2件、乙1让学生分析问题的过程练习件、丙1件共需15元；假设购甲1件、乙2件、中，通过找出问题中的评价丙1件共需16元；假设购甲1件、乙1件、丙2件等量关系列出相应的方情境共需17元，问甲、乙、丙每件各几元？程组，体会方程的实际2、有甲、乙、丙三种货物，假设购甲2件、乙应用性。1件、丙1件共需15元；假设购甲1件、乙2件、本环节教师关注：丙1件共需16元；假设购甲1件、乙1件、丙2件学生是否能够用表格来共需17元，问甲、乙、丙每件各几元？分析题目中的数量关3.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比系。消元时是否灵活。乙数大5，乙数的三分之一等于丙数的二分之一．求这三个数．要求学生练习用表格分析题目中的数量关系。学生独立完成后合作交流。创设1．解三元一次方程组的根本思想是什么？方探究法有哪些？提高2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选学生小组交流。使学生情境择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元认识到：消元是解一次时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另方程组的根本思想方两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方法。程系数较简单，也可以用代入法求解．拓展提升能力5分钟3．注意检验．创设1.解三元一次方程组的根本思路：通过“代入〞或“加减〞进行消元，把“三元〞化为“二反思元〞，使解三元一次方程组转化为解二元一次情境方程组，进而转化为解一元一次方程．即三元一次方程组二元一次方程组学生思考、讨论、整理．总结归纳提升意义2分钟一元一次方程作业：长江作业板书设计教学反思探究3练习15.2.2分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减.有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算.分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7计算[分析]这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8计算：[分析]这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算：(1)〔2〕〔3〕五、课后练习1．计算：(1)(2)(3)2．计算，并求出当-1的值.六、答案：四、〔1〕2x〔2〕〔3〕3〔3〕五、1.(1)(2)2.原式=，当-1时，原式=-.13.3.1等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．〔三〕情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为所以△BAD≌△CAD〔SSS〕．所以∠B=∠C．[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为所以△BAD≌△CAD．所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．〔课件演示〕[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD〔等边对等角〕．设∠A=x，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识．Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习1、2、3．练习1．如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．答案：〔1〕72°〔2〕30°2.如图，△ABC是等腰直角三角形〔AB=AC，∠BAC=90°〕，AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结．Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3第1、3、4、8题．〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定．Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．结果：证明：延长CD交AB的延长线于P，如图，在△ADP和△ADC中，∴△ADP≌△ADC．∴∠P=∠ACD．又∵DE∥AP，∴∠4=∠P．∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=CE．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔〕A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C2．C3.等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为xcm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．15.2.2分式的加减教学目标明确