交通大学概率论与数理统计第二学期期末考试试卷2及答案

2011-2012学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案PagePAGE10ofNUMPAGES10第10页共10页PAGE1交通大学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率．解：设“任取一个家庭拥有汽车”，“任取一个家庭拥有房产”．由题设得，，．因此有；．所求概率为．二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数服从参数为的Poisson分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？解：设，，，．由题设，可知如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布；如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布；如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布．因此，由Bayes公式，我们有．三．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间（单位：分钟）服从的指数分布，如果他候车时间超过分钟，他就改为步行上班．求他一周天上班时间中至少有天需要步行的概率．解：的密度函数为．设“候车时间超过5分钟”，则．设：一周5天中他需要步行上班的天数．则，因此所求概率为．四．（本题满分8分）设随机变量的密度函数为．⑴求常数；⑵求的分布函数．解：⑴由密度函数的性质，得，解方程，得．⑵当时，；当时，；当时，．综上所述，随机变量的分布函数为．五．（本题满分8分）设个随机变量相互独立，都服从区间上的均匀分布，令，⑴求随机变量的密度函数；⑵求数学期望．解：⑴随机变量的密度函数为，分布函数为．随机变量的密度函数为．⑵．六．（本题满分8分）设二维随机变量的联合密度函数为⑴求随机变量的边际密度函数；（5分）⑵求条件密度函数．（3分）解：当，或者时，；当时，所以，随机变量的边际密度函数为．当时，，因此当时，关于的条件密度函数为即当时，条件密度函数为．七．（本题满分8分）设随机变量与相互独立，而且都服从正态分布．再令，，其中与是不全为零的常数，求随机变量与的协方差与相关系数．解：由于随机变量与都服从正态分布，所以，．；．再由于随机变量与相互独立，故有，，，所以，．八．（本题满分8分）某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为．医院检验员任意抽查个服用此药品的病人，如果其中多于人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴如果实际上对这种疾病的治愈率确为，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵如果实际上对这种疾病的治愈率为，问接受这一断言的概率是多少？（附，标准正态分布的分布函数的某些数值：解：设：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则．⑴当时，．⑵当时，．九．（本题满分8分）设总体，是取自总体中的一个样本，令，，．计算统计量的分布（不需求出的密度函数，只需指出所服从的分布及其参数）．解：由题设可知，，，所以有．因此有．又由，得．因此由分布的构造，得．十．（本题满分8分）设总体服从参数为的几何分布，其分布律为．其中是未知参数，．是取自该总体中的一个样本．试求参数的极大似然估计量．解：似然函数为所以，．所以，，解方程，得．因此的极大似然估计量为．十一．（本题满分10分）⑴设总体等可能地取值，，，，，其中是未知的正整数．是取自该总体中的一个样本．试求的极大似然估计量．（7分）⑵某单位的自行车棚内存放了辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12，203，23，7，239，45，73，189，95，112，73，159，试求在上述样本观测值下，的极大似然估计值．（3分）解：⑴总体的分布列为，．所以似然函数为，．当越小时，似然函数越大；另一方面，还要满足：，即．所以，的最大似然估计量为．⑵由上面的所求，可知的最大似然估计值为．十二．（本题满分10分）三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出