高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题5平面解析几何突破点12圆锥曲线的定义方程几何性质学案文

打破点12圆锥曲线的定义、方程、几何性质[核心知识提炼]提炼1圆锥曲线的重要性质椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系222cb2①在椭圆中：a＝b＋c；离心率为e＝a＝1－a2；222cb2②在双曲线中：c＝a＋b；离心率为e＝a＝1＋a2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标22x2y2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为b1，①双曲线a－by＝±ax；焦点坐标F(－c,0)F(c,0)；2y2x2a②双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bx，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．抛物线的焦点坐标与准线方程2pp①抛物线y＝±2px(p＞0)的焦点坐标为±2，0，准线方程为x＝?2；2pp②抛物线x＝±2py(p＞0)的焦点坐标为0，±，准线方程为y＝?2.2提炼2弦长问题直线与圆锥曲线订交时的弦长斜率为k的直线与圆锥曲线交于点1122)时，|AB|＝212A(x，y)，B(x，y1＋k|x－x|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或||＝1＋12y1－2|＝1＋12y＋2212.|1－4ABkykyyy抛物线焦点弦的几个常用结论2焦点112212p2设AB是过抛物线y＝2px(p＞0)F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则①xx＝4，12＝－p2|＝＋2＋＝2p(为弦AB的倾斜角)；③112；②弦长|12α|FA|＋＝；yyABxxpsinα|FB|p④以弦AB为直径的圆与准线相切．[高考真题回访]1/9回访1圆锥曲线的定义与方程11．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为________．x2214－y＝1[法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±2x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x2－y2＝1.41法二：∵渐近线y＝2x过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线＝1的下方，在＝－1的上方(如图)．y2xy2x∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为x2y2a2－b2＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得b1a＝2，a2＝4，163解得b2＝1，a2－b2＝1，2∴双曲线的标准方程为x4－y2＝1.]2．(2013·全国卷Ⅰ改编)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线，则C的方程为________．C22x＋y＝1(x≠－2)[由已知得圆M的圆心为(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为43MN(1,0)，半径r＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.2因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.2/9由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的x2y2椭圆(左极点除外)，其方程为4＋3＝1(x≠－2)．]回访2圆锥曲线的重要性质x223．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线a2－y＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1,2)C[由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1.a2a2＋11∴e＝a2＝1＋2.a11∵a＞1，∴0＜a2＜1，∴1＜1＋a2＜2，∴1＜e＜2.应选C.]4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个极点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的1，则该椭圆的离心率为()411A.3B.223C.D.34B[不如设直线l经过椭圆的一个极点(0，)和一个焦点(0)，则直线l的方程BbFc,xy为c＋b＝1，即bx＋cy－bc|－bc|1c11＝0.由题意知b2＋c2＝4×2b，解得a＝2，即e＝2.应选B.]回访3弦长问题15．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为2，E的右焦点与抛物线C：3/9y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．12[抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又c＝1，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，a2x2y2从而椭圆方程为16＋12＝1.∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.应选B.]热门题型1圆锥曲线的定义、标准方程题型解析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”．x2y2【例1】(1)(2017·哈尔滨模拟)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()【导学号：04024108】x2y2x2y2A.4－12＝1B．12－4＝1x222y2C.－y＝1D．x－＝133(2)(2016·通化一模)已知抛物线：y2＝8的焦点为，准线为l，P是l上一点，QCxF→→)是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝(7A.2B．35C.2D．24/9b(1)D(2)B[(1)依照题意画出草图以下列图，不如设点A在渐近线y＝ax上．由△是边长为2的等边三角形获取∠＝60°，c＝||＝2.AOFAOFOFbb又点A在双曲线的渐近线y＝ax上，∴a＝tan60°＝3.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝3，2y2∴双曲线的方程为x－3＝1.应选D.→→||3(2)以下列图，因为FP＝4FQ，所以|PF|＝4，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x轴，所以|MQ||PQ|3|QF|＝|QM|＝3.]4＝||＝4，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知PF[方法指津]求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1．定型，就是指定种类，也就是确定圆锥曲线的焦点地址，从而设出标准方程．2．计算，即利用待定系数法求出方程中的2，2或.别的，当焦点地址无法确准时，抛物abp线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，双曲线常设为2－ny2＝1(＞0)．mxmn[变式训练1](1)(2016·郑州二模)经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为()【导学号：04024109】x2y2x22A.－＝1B.－y＝1111123y2x2y2x2C.11－11＝1D.11－11＝1335/9(2)(2017·衡水模拟)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直均分线交BF于点，则动点P的轨迹方程为()Px2y2x2y2A.12＋11＝1B.36－35＝1x2y2x2y2C.3－2＝1D.3＋2＝1(1)A(2)D[(1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由题意知|－2|＝k2＋1221，解得k＝±3，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为x2－y2＝1，ab221211，a2－b2＝1，a2＝应选A.则有b解得33，2＝11，a＝b(2)由题意得||＝||，∴||＋||＝||＋||＝＝23＞||＝2，∴点P的PAPBPAPFPBPFrAF轨迹是以、为焦点的椭圆，且＝3，＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为x2AFac3y2＋2＝1，应选D.]热门题型2圆锥曲线的几何性质题型解析：圆锥曲线的几何性质是高考观察的重点和热门，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于，c的方程或不等式是求解的重点．a2y2【例2】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x－3＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()11A.3B.223C.3D.2x2y2(2)(2017·合肥二模)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为.P是椭圆上一点，满足2⊥12，点Q在线段1上，且→1＝2→.若→1·→2＝0，ePFFFPFFQQPFPFQ则e2＝()A.2－1B．2－26/9C．2－3D.5－222y(1)D(2)C[(1)因为F是双曲线C：x－3＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，y)．P2因为P是C上一点，所以yP3P所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，113所以S△APF＝2×|PF|×1＝2×3×1＝2.应选D.由2⊥12可得b2，不如设b2，又由→→c2b2，则(2)Pc，±Pc，1＝得Q，3PFFFaaFQ2QP3a→→2，b2－2c2b24c22b44222222212ca·，＝－3＋3a2＝2ac，FP·FQ＝33a＝0，整理得b＝2ac，(a－c)整理得c4－4a2c2＋a4＝0，即e4－4e2＋1＝0，又椭圆离心率0＜e＜1，解得e2＝2－3，应选C.][方法指津]1．求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，重点是依照已知条件确定a，b，c的等量c关系或不等关系，尔后把b用a，c代换，求a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．a用法：①可得a或b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[变式训练2](1)(2016·全国卷Ⅱx2y2的左，右焦点，点Mab1222在E上，MF与x轴垂直，sin∠MFF＝3，则E的离心率为()12113A.2B.2C.3D．2(2)(22F，F，过点F的直名师押题)已知椭圆a＋b＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为x2y21227/9线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角极点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()【导学号：04024110】A.2B．2－32C.5－2D.6－321(1)A(2)D[(1)法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝b.又sin∠MF2F1＝，a3所以|MF1|＝1，即|2|＝3|1|.由双曲线的定义得2＝|2|－|1|＝2|1|＝2b2，|MF2|3MFMFaMFMFMFa222222c所以b＝a，所以c＝b＋a＝2a，所以离心率e＝a＝2.法二：如图，因为MF1⊥x轴，b2所以|MF1|＝a.1在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝3得2tan∠MF2F1＝.4|1|222c2－22MFba所以2c＝4，即2ac＝4，即2ac＝4，整理得c2－2ac－a