北京高一数学下学期期末考试试题

/12北京师范大学附属中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题本试卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.若实数a,b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（）A.a2A.a2<b2B.C.a2>b2D.a3>b32.对变量x,y有观测数据理据（x,y）（i=1,2,…，10）,得散点图1：对变量u,v有观测iiA.由这两个散点图可以判断（）变量x与y正相关，u与v正相关A.由这两个散点图可以判断（）变量x与y正相关，u与v正相关数据（u,v）（i=1,2,…，10）,得散点图2,iiB.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关3.从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）。设甲乙两组数据的平均数分别为X中，元「中位数分别为，甲乙甲乙则（）甲乙3650ZOO10287522U231S0fl31244314133A.X甲<X乙,m甲>m乙B.X甲<X乙,m甲<m乙C.X>X,m>mD.X>X,m<m甲乙甲乙甲乙甲乙

4.执行下面的程序框图，如果输入4.执行下面的程序框图，如果输入a=4,那么输出的n的值为（）f=f+o-TOC\o"1-5"\h\z2B.3C.4D.5公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为）11A.B.C.3D.—333下列命题中正确的是（）若两条直线都平行于同一个平面，则这两条直线平行；过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直；若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面；若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线共面。某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）悄视图正(±)iftfflM(S｝悄视图正(±)iftfflM(S｝视图A.2需B.3迈C.2^2D.2&在厶ABC中，B=4，BC边上的高等于1BC，则cosA=（）43A.3*010B.C.10D.A.3*010B.C.10D.10二、填空题（每小题5分，共30分）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男、女比例用分层抽样的TOC\o"1-5"\h\z方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是。x<3,若x,y满足<x+y>2，则x+2y的最大值为。y<x,11.如图所示，在某路段检测点，对180辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车约有辆。2TOC\o"1-5"\h\z在阴影区域内的概率为3，则阴影区域的面积为。若不等式a・lxl<x2+2对任意实数x恒成立，则a的取值范围是。a—a数列｛a｝中，如果对任意neN*都有——士=k（k为常数），则称｛a｝为等na—ann+1n差比数列，k称为公差比，现给出下列命题：等差比数列的公差比一定不为0；等差数列一定是等差比数列；若a=—3n+2，则数列｛a｝是等差比数列；nn若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比；其中正确的命题的序号为。三、解答题(共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题12分)小2兀在厶ABC中，角C=。sinB若c2=5a2+ab，求-；sinA求sinA+sinB的最大值。(本小题13分)手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间。为了解A,B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A,B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号12345A型待机时间(h)120125122124124B型待机时间(h)118123127120a已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等。求a的值；判断A,B两个型号被测试手机待机时间方差的大小(结论不要求证明)；从被测试的手机中随机抽取A,B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率。(本小题13分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，AA丄底面ABC，ZBAC=90°，AB二AC=2，1111AA1二込。M，N分别为BC和CC］的中点，P为侧棱BB［上的动点。BMCC(备用圏)BMCC(备用圏)求证：平面APM丄平面BBCC；11若P为线段BB的中点，求证：AN〃平面APM；11试判断直线BC］与平面APM是否能够垂直，若能垂直，求PB的值；若不能垂直,请说明理由。四、填空题(每小题3分，共15分，请将答案填在题中的横线上)记x-x为区间［x,x］的长度，已知函数y二2|x|,xg［—2,a］(a>0)，其值域为2112［m,n］，则区间［m,n］的长度的最小值是。设三棱柱ABC-ABC的体积为10,点P，Q分别是侧棱AA、CC上的点，且11111PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为。设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(1，0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有种(用数字作答)。4函数f(x)=1x+-aI+a在区间［1,4］上的最大值是5,则实数a的取值范围是x”，、(x+1)2+sinx―22-设函数f(x)=x2+1的最大值为M'最小值为“’则M+m=五、解答题(共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题11分)设mgR，不等式mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0的解集记为集合P。若P={xI-1<x<2}，求m的值；当m>0时，求集合P；(Ill)若｛x丨一3<x<2｝匸P，求m的取值范围。(本小题12分)已知｛a｝是递增的等差数列，S为｛a｝的前n项和，且S=5,a,a,a成等差数列。nnn5347求数列｛a｝的通项公式；n求IaI+IaI+…+IaI的值；12100a若集合｛n(-1)n-n>九,neN*｝中有且仅有2个元素，求实数九的取值范围。2n(本小题12分)有限数列A:a,a,…，a.(n>3)同时满足下列两个条件：n12n对于任意的i,j(1<i<j<n),a<a；ij对于任意的i,j,k(1<i<j<k<n),aa,aa,aa三个数中至少有一个数是数列ijjkikA中的项。n若n=4，且a=1,a=2,a=a,a=6，求a的值；1234证明：2，3，5不可能都是数列A中的项；n求n的最大值。【试题答案】一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）12345678DCBBCDAC、填空题（每小题5分，共30分）9.1210.911.5412.813.a<2迈14.①③④三、解答题（共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.解：（I）由余弦定理及题设c2=a2+b2+ab=5a2+ab，得b二2a。abbsinBsinB由正弦定理=，—=，得=2。sinAsinBasinAsinA冗(II)由(I)知ZA+ZB=丁,冗sinA+sinB=sinA+sin(§-A)13=—sinA+cosA22=sin(A+彳)兀兀因为0VZAV，所以当ZA=,sinA+sinB取得最大值1。3616•解：(I)r=120+0+5+2+4+4=123(h),Ar=120+-2+3+7+°+(a—120),B由x=x，解得a=127。AB（II）设A,B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为s2,s2,则s2<s2。ABAB（III）设A型号手机为A,A,A,A,A；B型号手机为B,B,B,B,B，“至少有11234512345台的待机时间超过122小时”为事件C。从被测试的手机中随机抽取A,B型号手机各1台，不同的抽取方法有25种。抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A，B），（A，B），（A，B），（A，B），共4种。11143134_4—21因此p（c）=石，所以p（c）=1-p（C）=25，所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是25。17.解：（I）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM丄BC,又因为BB〃AA，且AA丄底面ABC，所以BB丄底面ABC。1111因为AMu底面ABC，所以BB丄AM，1又BBnBC=B,所以AM丄平面BBCC。111又因为AMu平面APM，所以平面APM丄平面BBCC。11（II）取CB中点D，连结AD,DN,DM,BC1111由于D，M分别为CB,CB的中点，1所以DM〃AA，且DM二AA，11则四边形AAMD为平行四边形，所以AD〃AM。11又AD工平面APM，AMu平面APM，1所以AD〃平面APMo1由于D,N分别为CB,CC的中点，所以DN〃BC。1111又P,M分别为BB,CB的中点，所以MP〃BC。11则DN〃MP，又DN匸平面APM,MPu平面APM,所以DN〃平面APMo由于ADnDN=D，所以平面ADN〃平面APM，由于ANu平面ADN,1111所以AN〃平面APMo1(Ill)假设BC与平面APM垂直，由PMu平面APM,则Bq丄PM。设PB=x,xe[0^.3]，当BC丄PM时，ZBPM=ZBCB,111PBCB所以RtAPBMsRt^ZBCB，所以=—i。11MBBB1由已知MB=p2,CB=2^2,BB=%3，iii所以亠=仝2，得x=二3，由于x=二3电[0，"3]，J2<333因此直线BC]与平面APM不能垂直。四、填空题(每小题3分，共15分，请将答案填在题中的横线上)918.319.10/320.10种21.(-«,-]22.2解析："/、x2+2x+1+sinx因为f(x)=―xm—所以，/、2x+sinx可构造g(x)=12h，则g(x)的最大值为M—1,最小值为m-1。又因为g(x)是奇函数，所以M—1=-(m—1)，即M+m=2。五、解答题(共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)23.解：(I)因为P={xI-1<x<2}，所以方程mx2-(3m+1)x+2(m+1)=0的两根为一1和2。将x=-1代入上述方程，得m(-I)2-(3m+1)(-1)+2(m+1)=0，解得m=-(1[)不等式mx2一(3m+1)x+2(m+1)>0可化为(x-2)[mx-(m+1)]>0，m+1当m>0时，方程m(-1)2-(3m+1)(-1)+2(m+1)=0的两根为和2。mm+1宀„小当=2，即m=1时，解得x丰2，mm+1小小-小m+1当>2，即0<m<1时，解得x<2或x>mmm+1小m+1小③当<2，即m>1时，解得x<或x>2。mmr、+1综上，当0<m<1时，P=｛xIx<2或x>｝；当m=1时，mm+1P=｛xIxeR,且x丰2｝；当m>1时，P=｛xIx<或x>2｝。m(III)依题意，当xe(一3,2)时，不等式mx2-(3m+1)x+2(m+1)>0恒成立。当m=0时，原不等式化为—x+2>0，即P=｛xIx<2｝，适合题意。当m>0时，由(II)可得0<m<1时，适合题意。当m<0时，因为％*1=1+丄<2，所以P=｛xIm+1<x<2｝。mmmm+11此时必有<-3成立，解得—丁<m<0。m4综上，若｛xI—3<x<2｝匸P，则m的取值范围是［—］,1］。424.解：(I)设等差数列｛a｝的首项为a1,公差为d。n1由S5=5，可得2(a1+a_)=5,由a,a,a成等比数列,347fa+2d=1,12ad+3d2=0,1可得(a+3d)2=(a+2d)(a+6d)，111所以=—3,fa=1,fa解得Id1=0,(舍)或U=2。所以数列｛a｝的通项公式为a=2n—5。nn(II)解2n—5<0可得n<2，所以数列｛a｝中a<0,a<0，其余各项均大于零,n12所以IaI+IaI+…+IaI12100——+98(+)1223100=一a一a12+a+…+a31003+1+98(1+195)=9608。2a2n—5(III)设c=n=n2n2nc-cnn-12n2n-12n—52(n—1)c-cnn-12n2n-19令c-c>0，得n<，所以c<c<c<c,c>c>c>•••TOC\o"1-5"\h\znn—121234452n-52n又由丁F'知C1<c2<02n在t=(—1)nc中，t>0,t>0(m>2,meN*)，且t>tnn12m46337计算得t=,t=,t1241666473所以，九的取值范围是,九eR｝。641625.解：(I)由①，得2<a<6，由②，当i=2,j=3,k=4时，2a,6a，12中至少有一个是数列1,2，a，6中的项,但6a>6,12>6，故2a=6，解得a=3。经检验，当a二3时，符合题意。假设2,3,5是数列A中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列Ann中的项，则有限数列A的最后一项a>5，且n>4。nn由①，a>a>a>a>1，TOC\o"1-5"\h\znn—1n—2n—3对于数a,a,a，由②可知：aa二a；对于数a,a,a，由②可知：n—2n—1nn—2n—1nn—3n—1naa=a。n—3n—1n所以a二a，这与①矛盾，n—2n—3所以2，3，5不可能是数列A中的项。nn的最大值为9,证明如下：(1)令A:一4,—2,—1,—，—，。，二，1，2，则A符合①、②。92429(2)设A:a,a,…,a(n>3)符合①、②，则:n12nA中至多有三项，其绝对值大于1，n假设A中至少有四项，其绝对值大于1,不妨设a,a,a,a是A中绝对值最大的四nijkln项，其中1<|a1<1a