《复变函数》练习题

福师12秋《复变函数》练习题注：1程论坛提问。一、单项选择题1．2sini=( )A．1 C．e1答案：D

B.1 D．ee1函数z2在复平面上( )A．处处不连续CzCz0

B.处处连续，处处不可导D.处处连续，仅在点z=0解析C是绕点z0

0的正向简单闭曲线，则 ( )A．2i B．20C．2D．00 0答案：C．C

C分别是正向圆周z1z21

1 ezdz

1 1 2 2i()()1 2A．2C．0iB．cos2D．sin2

z2 2iz2c答案：D二、填空题设，则f(1考核知识点：复数代值。设是解析函数．若y，则f．考核知识点：解析函数的导数。设C为正向圆周z1，则1 1

dz .2iC考核知识点：柯西积分公式。

sinz1幂级数 2n

的收敛半径为 .n0考核知识点：幂级数的收敛半径。5.1i4= .1i考核知识点：复数的乘幂。1i4 (14提示： i41i (1设za为的极点，则lim．za考核的知识点：函数的极点。设2，则的零点个数考核知识点：零点的定义。函数 1z

cos

1

在点z1处的留数为 .考核知识点：留数的定义。9方程5+4z3-1=0在单位圆|z|<内有 个根考核知识点：复数根的求法。三、判断题（正确的在括号内打“√”，错的打“×”）互为共轭的两个复数的模相等答案：√sin的周期为2 ）答案：×3．答案：√

z解析，则0

z连续.( )0若z0

的m阶零点，则z0

1的m阶极点）f(z)√函数在可去奇点处的留数为答案：×四、完成下列各题计算Ln．考核知识点：对数函数。函数x2 y3 2x2是否为解析函数？求出其导数考核知识点：解析函数。提示：不是解析函数，因为满足C-R条件的只有两个点，不成区域。fu ivx x

2x4xy2已知u=y2 xy，求出相应的解析函数f(z)=u+iv.考核知识点：解析函数。。将1 在以1zi 内展开为罗朗级数.考核知识点：解析函数的洛朗展式。 d 2 232 7 5.已知f) Cx y 3，求f d 2 2C z考核知识点：柯西积分公式。 d 232 7 提示：2 d 2C z1在z0

1处的泰勒展开式.考核知识点：泰勒展式。f(z)=11-ez

的奇点（包括无穷远点）及其类型.考核的知识点：函数的奇点的类型。1提示：令0可得z0，故它为的孤立奇点．z0为 的一f(z)级零点。1 dz求 ez1.z1 2iz34)考核知识点：柯西积分公式。设v是u的共轭调和函数问uv是不是u2 v2的共轭调和函数？判断并给出由.考核知识点：共轭调和函数的定义。五、用留数计算积分： dz .z4950)考核知识点:用留数计算积分。提示：函数在z49的圆周内只有一阶极点z。六、求把z平面的单位圆z1变为 平面的单位圆 1的线性变换 使L1 1 .3 3考核知识点：分式线性变换。提示：由L13

，分式线性变换把z

变到 0。3七、证明：若积分路径不经过则1dz k014考核知识点：柯西定理。提示：积分路径绕过i，由柯西定理知：1 dz 1 dx01z2 01x2 4福师12秋《复变函数》辅导课件知识点和例题整理第一讲知识点：第一章复数与复变函数复数的三种表示、(主)辐角、复数的运算(乘方、开方)n ri n n[cosnArg)sinnArg)]335[cos( 2k)2 23xyi 2 i

2k)]?第二章 解析函数解析、初等多值函数

eiz22在复平面上处处连续、0处可导、无解析性Lnzlnz2kiLn?柯西-黎曼条件fu ivx x第三章 复积分的简单概念和性质若函数在复平面的单连通区域内解析，则函数在该连通区域重要积分：aC

DDCf()d 2if(z)D)C zf(z)

dz 1z1 z12

if 2数

区域内解析，在闭域上连续，则在区域内与各阶导CzCz00、v，uv从已知解析函数的实部求虚部已知调和函数u(x,y) x

y2 xyv及解析函数fz uivx,y解 y2 xyu 2xx u v

2yxx y1v 2xydy 2xy2

(x)v 2y xu vy x2yx 2y 1x2 c21 1v2xy y2 x2 c2 21 1uivx2 y2 xyi2xy y2 x2 c2 2z2iic2第四章 解析函数的幂级数表示法一个解析函数如何在指定点展开成一个幂级数（牢记几个基本公式）znzn!n01nsiz z!n01n1z1!n0znln1zi 1n1 k n1 n1

z01,2,z11zn0解析函数的零点的级主要通过“求导”和“表示为(za(z),(z)0的形式”的方法做。（解析点）f)2 iz2的零点个数为2。第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点1在0zi1内展开成罗朗级数1 1 1z 1

n0

(z11)1 10zi12zi12f(z)

n11在1zi 内展开成罗朗级数1 11z , ) (1(11zn0iziizi1 , i

(1zi(1 n0zi1zi

1 1

(n3求fz 1的奇点及类型。ez1

(1 n0ziez 的零点2k)且均为一级零点，从而为f(z的)一级极点，2k )因此无穷远点是非孤立奇点。第六章 留数理论及其应用一、基本概念注意前提——仅在孤立奇点处，并且区分有限点和无穷远点，因此，留数的计算也区分有限点和无穷远点。二、求留数的方法（重点）（一、在孤立奇点为有限点时1、若a为可去奇点，则留数为0；2、若a为本质奇点，或者a的类型不明确，则留数为函数的罗朗展式中z-a的-1次幂项系数①(一般方法)；3a若为一级极点，则Resza za(z)2o

,(a)0,(a)0,(a)0Res

(a)za Res1 limz 1z0z0Res1 1 1z0cos0z11dz2z1z0

1 2若为二级极点，则；Resf(z)lim(za)2za za若为n>2级极点，则1

(n1)Reslimza a

f(z)（这个公式涉及高阶导数公式，并不常用，而更常用一般方法，即①。（二）在无穷远点时1、当无穷远点为f(z的)至少二级零点时，留数为0；ResResf11z t0 t3z-1数。（三）留数和定理若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，则函数在各点的留数总和为零。1

ab)ResZb

1

ResZa

1(ba)m第二讲知识点：三、利用留数求积分（重点）（一）复积分1、Cauchy留数定理

CDa1 2

外解n析，在闭域D DC上a1 2

n

外连续，则n2i

ResC四、辐角原理及其应用

i1zai1、辐角原理：C0，C点外是解析的，则argN)P) C 22Rouche（又称零点个数比较定理C析且连续到C，在C上fzgz则函数)多（几级算几个）的零点，即

C的内部有同样N(fg,C)N(f,C)第七章 保形变换1bdad-bc>02zawzaza ,Ima03zwzaw例题解析：1、dz

例2iRes例

za1z1z1zsinz z

zsinz2iRes1 0z dzz9(z2)(z4)(z6)(z8)(z10)2iResf(z)Resf(z)Resf(z)Resf(z)z2 z4 z6 z82i ResResz10 z2i 1 08642i8642、dz例 C(z1)2(z2

C:x2 y2 2(x y)C2dz 2i

ResC

z1 zi1211)ziz12i11 1i24 2（二）实积分3、20

Rcos,sindz z 令 ，则cos

zz

,sin

zz1dz2 iz2R(cos,sin2iRe0 za2 d a14、 0 asin

a1 iIz1a

dz12iz

dzz12aiz1z1iaaz1iaa21,z2iaa211221 zzzz11 2a2 1a2a2 1a215、 2.6、

P(x)dxQ(x)P

f(x)dx 2iIm

Resf(z)zaa 0 kkQeimxdx(特别地，分开实、虚部就可以得到PcosmxdxQ

PQ7、例 x

xcosx 4x20IRe2iResz24iz2

zeiz4z20 Re2ilim2z24i

4z20Re 2e48、2.5z4 2z10在单位圆内有4个根。5z42zz1 9、 求把上半z平面变为上w半平面，且使0,1,无穷远点变为无穷远点和0的分式线性变换方法一 设L

azbczd0 ac0 1 d

0 a01 bd1 cd0 c d 1dd 1z方法二由交比不变性zzzz4 13 1 4

3 1zzz4 2 3

z2 4 2 3 2z 1 0 0 1 z010 1 1 1z10、 求把单位圆变为单位圆，使1成为不动点，使1+i变为无穷远点的