《初中数学总复习资料》2018届中考数学精英复习课件（毕节）：专题卷(六)　与切线有关的证明与计算

专题卷(六)与切线有关的证明与计算数学1．如图，平行四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别与AB，AO的延长线交于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)①求证：CF＝OC；②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．,题图),答图)解：(1)DE是⊙O的切线．理由：如图，连接OB，BF.∵四边形OABC是平行四边形，且OA＝OC，∴四边形OABC是菱形，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴△ABO，△BCO都是等边三角形，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COF＝60°，∵OB＝OF，∴OC⊥BF，∵AF是直径，CD⊥AD，∴∠ABF＝∠DBG＝∠D＝∠BGC＝90°，∴四边形BDCG是矩形．∴∠OCD＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)①由(1)可知：∠COF＝60°，OC＝OF，∴△OCF是等边三角形，∴CF＝OC②在Rt△OCE中，∵OC＝12，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，∴OE＝2OC＝24，EC＝12eq\r(3)，EF＝OE－OF＝12，eq\o(CF,\s\up8(︵))的长＝eq\f(60π×12,180)＝4π，∴阴影部分的周长为4π＋12＋12eq\r(3)2．在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．解：(1)连接OD∵AC＝BC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠A，∠ABC＝∠ODB，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线(2)∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，∴OG＝2OD＝2×6＝12，∴DG＝eq\r(3)OD＝6eq\r(3)，∴阴影部分的面积＝△ODG的面积－扇形OBD的面积＝eq\f(1,2)×6×6eq\r(3)－eq\f(60π×62,360)＝18eq\r(3)－6π3．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.(1)求证：BC是∠ABE的平分线；(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．解：(1)∵DE是切线，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠CBO，∴BC是∠ABE的平分线(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝eq\r(CD2＋OC2)＝10，∵OC∥BE，∴eq\f(DC,CE)＝eq\f(DO,OB)，∴eq\f(8,CE)＝eq\f(10,6).∴EC＝4.84．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D，(1)E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线；(2)若AC＝3CD，求∠A的大小．,题图),答图)解：(1)如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，∵AO＝OB，E为BD的中点，∴OE∥AD，∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，∴∠2＝∠3，在△COE与△BOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OB，,∠2＝∠3,OE＝OE，))，∴△COE≌△BOE，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∴CE是⊙O的切线(2)∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AD，∵AB⊥BD，∴△ABC∽△BDC，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,BC)，∴BC2＝AC·CD，∵AC＝3CD，∴BC2＝eq\f(1,3)AC2，∴tan∠A＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°5．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA＝PD，⊙O是△PAD的外接圆．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AC＝8，tan∠BAC＝eq\f(\r(2),2)，求⊙O的半径．解：(1)连接OP、OA，OP交AD于E，如图，∵PA＝PD，∴eq\o(AP,\s\up8(︵))＝eq\o(DP,\s\up8(︵))，∴OP⊥AD，AE＝DE，∴∠1＋∠OPA＝90°，∵OP＝OA，∴∠OAP＝∠OPA，∴∠1＋∠OAP＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠1＝∠2，∴∠2＋∠OAP＝90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切线(2)连接BD，交AC于点F，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分，∠DAC＝∠BAC，∵AC＝8，tan∠BAC＝eq\f(\r(2),2)，∴AF＝4，tan∠DAF＝eq\f(DF,AF)＝eq\f(\r(2),2)，∴DF＝2eq\r(2)，∴AD＝eq\r(AF2＋DF2)＝2eq\r(6)，∴AE＝eq\r(6)，在Rt△PAE中，tan∠PAE＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(\r(2),2)，∴PE＝eq\r(3)，设⊙O的半径为R，则OE＝R－eq\r(3)，OA＝R，在Rt△OAE中，∵OA2＝OE2＋AE2，∴R2＝(R－eq\r(3))2＋(eq\r(6))2，∴R＝eq\f(3\r(3),2)，即⊙O的半径为eq\f(3\r(3),2)6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB，(1)求证：CE＝CB；(2)若AC＝2eq\r(5)，CE＝eq\r(5)，求AE的长．解：(1)连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO.又OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠OAC，∴CE＝CB(2)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2eq\r(5)，CB＝CE＝eq\r(5)，∴AB＝eq\r(AC2＋CB2)＝eq\r(（2\r(5)）2＋（\r(5)）2)＝5.∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(DC,CB)，即eq\f(AD,2\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(DC,\r(5)).∴AD＝4，DC＝2.在直角△DCE中，DE＝eq\r(EC2－DC2)＝1，∴AE＝AD－ED＝4－1＝37．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D.(1)求证：△ADC∽△CDB；(2)若AC＝2，AB＝eq\f(3,2)CD，求⊙O的半径．解：(1)连接OC，∵CD与⊙O相切于点C，AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCD，∵∠ACO＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BCD，又∵∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB(2)设CD为x，则AB＝eq\f(3,2)x，OC＝OB＝eq\f(3,4)x，∵∠OCD＝90°，∴OD＝eq\r(OC2＋CD2)＝eq\r(（\f(3,4)x）2＋x2)＝eq\f(5,4)x，∴BD＝OD－OB＝eq\f(5,4)x－eq\f(3,4)x＝eq\f(1,2)x.由(1)知，△ADC∽△CDB，∴eq\f(AC,CB)＝eq\f(CD,BD)，即eq\f(2,CB)＝eq\f(x,\f(1,2)x)，解得CB＝1，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(5)，∴⊙O的半径是eq\f(\r(5),2)8．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N.(1)求证：CA＝CN；(2)连接DF，若cos∠DFA＝eq\f(4,5)，AN＝2eq\r(10)，求圆O的直径的长度．解：(1)连接OF，则∠OAF＝∠OFA，∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME.∵CD⊥AB，∴∠M＋∠FOH＝180°，∵∠BOF＝∠OAF＋∠OFA＝2∠OAF，∠FOH＋∠BOF＝180°，∴∠M＝2∠OAF.∵ME∥AC，∴∠M＝∠C＝2∠OAF.∵CD⊥AB，∴∠ANC＋∠OAF＝∠BAC＋∠C＝90°，∴∠ANC＝90°－∠OAF，∠BAC＝90°－∠C＝90°－2∠OAF，∴∠CAN＝∠OAF＋∠BAC＝90°－∠OAF＝∠ANC，∴CA＝CN(2)连接OC，∵cos∠DFA＝eq\f(4,5)，∠DFA＝∠ACH，∴eq\f(CH,AC)＝eq\f(4,5).设CH＝4a，则AC＝5a，AH＝3a，∵CA＝CN，∴NH＝a，∴AN＝eq\r(AH2＋NH2)＝eq\r(（3a）2＋a2)＝eq\r(10)a＝2eq\r(10)，∴a＝2，AH＝3a＝6，CH＝4a＝8.设圆的半径为r，则OH＝r－6，在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝8，OH＝r－6，∴OC2＝CH2＋OH2，r2＝82＋(r－6)2，解得：r＝eq\f(25,3)，∴圆O的直径的长度为2r＝eq\f(50,3)9．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．解：(1)连接OB，∵E是弦BD的中点，∴BE＝DE，OE⊥BD，eq\o(BF,\s\up8(︵))＝eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°，∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC，∴∠OBE＋∠DBC＝90°，∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线(2)∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝eq\r(OB2＋BC2)＝10，∵△OBC的面积＝eq\f(1,2)OC·BE＝eq\f(1,2)OB·BC，∴BE＝eq\f(OB·BC,OC)＝eq\f(6×8,10)＝4.8，∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的长为9.610．如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G.(1)求证：DF∥AO；(2)若AC＝6，AB＝10，求CG的长．解：(1)连接OD.∵AB与⊙O相切于点D，又AC与⊙O相切于点C，∴AC＝AD，∵OC＝OD，∴OA⊥CD，∴CD⊥OA，∵CF是直径，∴∠CDF＝90°，∴DF⊥CD，∴DF∥AO(2)过点E作EM⊥OC于M，∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝8，∴AD＝AC＝6，∴BD＝AB－AD＝4，易证△BDF∽△BCD，∴BD2＝BF·BC，∴BF＝2，∴CF＝BC－BF＝6.OC＝eq\f(1,2)CF＝3，∴OA＝eq\r(AC2＋OC2)＝3eq\r(5)，易证△OCE∽△OAC，∴OC2＝OE·OA，∴OE＝eq\f(3\r(5),5)，∵EM∥AC，∴eq\f(EM,AC)＝eq\f(OM,OC)＝eq\f(OE,OA)＝eq\f(1,5)，∴OM＝eq\f(3,5)，EM＝eq\f(6,5)，FM＝OF＋OM＝eq\f(18,5)，∴eq\f(EM,CG)＝eq\f(FM,FC)＝eq\f(3.6,6)＝eq\f(3,5)，∴CG＝eq\f(5,3)EM＝211．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°，①求∠OCE的度数；②若⊙