2020高中数学 第章 平面向量及其应用 .4 平面向量的应用 12 向量在物理中的应用举例 第二册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精课时作业12向量在物理中的应用举例知识点一向量在力学中的应用1。已知两个力F1，F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么｜F1|等于()A．5eq\r（3）N B．5NC．10N D．5eq\r（2)N答案B解析如图,由题意,得四边形OABC是矩形，∵∠AOB＝60°，∴｜F1|＝|F合｜cos60°＝10×eq\f（1，2)＝5(N)．故选B.2．若物体在共点力F1＝（lg2，lg2）,F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1），则共点力对物体所做的功W为(）A．lg2B．lg5C．1D．2答案D解析W＝（F1＋F2）·s＝（lg2＋lg5，2lg2)·（2lg5，1）＝(1，2lg2）·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2,故选D.3．如图,用两条绳提一个物体，每条绳用力5N,两绳夹角为60°，则物体所受的重力为（)A．5N B．5eq\r(3)NC．5eq\r(2）N D．10N答案B解析物体所受的重力＝｜F1|cos30°＋|F2|cos30°＝5×eq\f（\r(3）,2)＋5×eq\f(\r(3)，2)＝5eq\r（3）（N)．4．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时,设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是________（写出所有正确的序号）．①绳子的拉力不断增大;②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．答案①③解析设水的阻力为f，绳的拉力为F,F与水平方向的夹角为θeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0〈θ<\f（π,2)）).则|F｜cosθ＝｜f｜，∴｜F|＝eq\f（|f｜,cosθ）。∵θ增大,cosθ减小,∴|F｜增大．∵|F｜sinθ增大，∴船的浮力减小．5．如下图，用两根分别长5eq\r(2）米和10米的绳子，将100N的物体吊在水平屋顶AB上,平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角．设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°,则有｜Fa｜cos45°＋|Fb|cos60°＝G＝100,①且|Fa|sin45°＝｜Fb|sin60°，②由①②解得｜Fa｜＝150eq\r(2)－50eq\r（6），∴A处所受力的大小为(150eq\r（2)－50eq\r(6））N.知识点二用向量解决速度问题6。一条河的宽度为d，一只船从A出发到河的正对岸B处,船速为v1，水速为v2，则船行到B处时，行驶速度的大小为(）A．veq\o\al(2，1)－veq\o\al(2，2） B．|v1｜2－|v2|2C。eq\r（v\o\al(2，1）＋v\o\al（2,2)） D。eq\r（|v1｜2－|v2|2)答案D解析如图，由平行四边形法则和解直角三角形的知识,可得|v|2＝|v1|2－｜v2｜2。7．一条两岸平行的河流，水速为1m/s，小船的速度为2m/s,为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶．答案与水速成120°角解析如图，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与岸垂直．又｜v水｜＝|eq\o(AB，\s\up16(→)）|＝1,|v船｜＝|eq\o(AC，\s\up16（→)）|＝2,∠ADC＝90°，所以∠CAD＝30°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶．8．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行,求船实际航行的速度的大小．解如图,用v0表示水流速度,v1表示与水流垂直方向的速度．则v0＋v1表示船实际航行的速度，∵｜v0|＝4，|v1｜＝8，∴解直角三角形得｜v0＋v1｜＝eq\r(42＋82)＝4eq\r（5）。故船实际航行的速度为4eq\r(5)千米/时．一、选择题1．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度的大小为40m/s，则鹰的飞行速度的大小为()A。eq\f（80,3）m/s B.eq\f（40\r(3），3)m/sC.eq\f（80\r(3),3)m/s D。eq\f（40，3）m/s答案C解析设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|＝40m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝eq\f(|v2|，\f（\r(3)，2))＝eq\f(80\r（3),3）（m/s）．故选C.2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时,合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时，合力大小为（)A．40N B．10eq\r(2）NC．20eq\r(2）N D．10eq\r(3）N答案B解析｜F1｜＝｜F2|＝|F合｜cos45°＝10eq\r（2)，当θ＝120°时,由平行四边形法则知:|F合｜＝｜F1|＝｜F2|＝10eq\r（2）N，故选B.3．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3）（即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为｜v｜个单位）．设开始时点P0的坐标为（－10,10）,则5秒后点P的坐标为（)A．(－2,4） B．（－30，25)C．（10，－5) D．（5,－10）答案C解析由题意知,eq\o（P0P,\s\up16(→)）＝5v＝（20，－15），设点P的坐标为(x，y），则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋10＝20,，y－10＝－15，)）解得点P的坐标为（10,－5)．故选C.4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2）从点A(4,6)处移动到点B(7,12）处，其所用时间长短为（）A．2B．3C．4D．8答案B解析∵|v|＝eq\r(12＋22)＝eq\r（5)，|eq\o（AB，\s\up16(→））|＝eq\r(7－42＋12－62）＝3eq\r（5），∴时间t＝eq\f(3\r(5）,\r（5）)＝3。5．已知作用在点A的三个力f1＝（3，4)，f2＝(2,－5)，f3＝(3,1),且A（1，1),则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1)B．（1，9）C．(9,0)D．（0，9)答案A解析f＝f1＋f2＋f3＝（3，4)＋（2，－5)＋(3,1)＝（8，0），设合力f的终点为P(x，y），O为坐标原点,则eq\o(OP,\s\up16(→）)＝eq\o（OA,\s\up16（→)）＋f＝（1,1)＋（8，0）＝(9，1），故选A.二、填空题6．如图,两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上各套一小环P，Q，P，Q用轻线相连，现用恒力F沿eq\o（OB,\s\up16（→））方向拉环Q，则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小为________．答案eq\f（｜F|,sinθ)解析设Q受轻线的拉力为T，以Q为研究对象，由于受力平衡,故轻线与杆垂直，即轻线与OB的夹角为eq\f(π，2)－θ,Tcoseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,2)－θ）)＝F，故|T｜＝eq\f（|F｜，sinθ）。7．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为________m/s.答案2eq\r(26）解析设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则｜v1｜＝2,｜v｜＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴｜v2｜＝eq\r（v2－2v·v1＋v\o\al（2,1）)＝2eq\r（26）(m/s）．8．如图所示，在倾斜角为37°(sin37°≈0.6），高为2m的斜面上，质量为5kg的物体m沿斜面下滑至底部，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0。5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8m/s2)．答案098解析物体m的位移大小为｜s|＝eq\f(2，sin37°）＝eq\f（10,3)(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝｜F｜｜s｜cos90°＝0(J）；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G｜|s｜·cos53°＝5×9。8×eq\f（10，3)×0.6＝98(J)．三、解答题9．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2,F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知｜F1|＝2N，方向为北偏东30°,｜F2｜＝4N,方向为北偏东60°，｜F3|＝6N，方向为北偏西30°，求这三个力的合力F所做的功．解以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．由已知可得F1＝(1，eq\r（3)),F2＝(2eq\r（3),2），F3＝（－3，3eq\r(3）)．所以F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3）－2，4eq\r（3)＋2)．又位移s＝(4eq\r（2)，4eq\r（2）)，所以F·s＝(2eq\r（3)－2）×4eq\r（2）＋（4eq\r（3）＋2)×4eq\r（2)＝24eq\r（6）(J)．故这三个力的合力F所做的功是24eq\r(6)J。10．某人在一条河中游泳，河水的流速为3km/h，此人在静水中游泳的速度为4km/h。(1）如果他径直游向河对岸，他实际是沿什么方向前进?速度大小为多少？(2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解（1）如图，设水流速度为eq\o(OA，\s\up16(→)），此人游泳的速度为eq\o(OB，\s\up16(→))，以eq\o(OA,\s\up16(→）),eq\o(OB,\s\up16（→））为邻边作矩形OACB，则此人实际的速度为eq\o（OC，\s\up16（→）)＝eq\o（OA，\s\up16(→）)＋eq\o(OB，\s\up16（→））。由|eq\o（OA，\s\up16(→）)|＝3,｜eq\o（OB,\s\up16(→）)|＝4，及勾股定理，得｜eq\o（OC,\s\up16（→）)｜＝5，且在Rt△OAC中，∠AOC≈53°8′.故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°8′的方向前进的,速度大小为5km/h.(2）如图，设水流速度为eq\o（OA，\s\up16(→）），实际游泳的速度为eq\o(OC,\s\up16(→）），实际前进的速度为eq\o(OB,\s\up16（→）），则eq\o(OA，\s\up16(→)）＋eq\o(OC，\s\up16（→）)＝eq\o(OB,\s\up16（→)），∴四边