2020高中数学 第章 不等式 .2 一元二次不等式（第2课时）一元二次不等式的应用讲义 5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精第2课时一元二次不等式的应用学习目标核心素养1。掌握一元二次不等式的实际应用．(重点）2。理解三个“二次"之间的关系。3。会解一元二次不等式中的恒成立问题．（难点）1。通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养。2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.1．分式不等式的解法主导思想:化分式不等式为整式不等式思考1：eq\f(x－3，x＋2）>0与（x－3)（x＋2）>0等价吗？将eq\f（x－3，x＋2)>0变形为（x－3)（x＋2)〉0,有什么好处？[提示]等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集为R(或恒成立）的条件不等式ax2＋bx＋c〉0ax2＋bx＋c〈0a＝0b＝0，c〉0b＝0，c〈0a≠0eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉0,Δ<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0））(2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f（x）≤a恒成立⇔f（x)max≤af（x)≥a恒成立⇔f(x）min≥a思考2:x－1>0在区间［2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2，3］与不等式x－1〉0的解集有什么关系？［提示］x－1〉0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3］上的图象恒在x轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解,反之不一定成立，故区间［2,3］是不等式x－1〉0的解集的子集．3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤（1）阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系．（2）设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）．（3）解不等式(或求函数最值）．(4）回扣实际问题．思考3:解一元二次不等式应用题的关键是什么?[提示］解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3｝，B＝eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2，x）≤0））))，则A∩B等于(）A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1｝C．{x｜0≤x<2｝ D．｛x|0≤x≤1}B［∵A＝｛x｜－1≤x≤1｝，B＝{x｜0〈x≤2｝，∴A∩B＝｛x|0<x≤1｝．］2．不等式eq\f（x＋1，x）≥5的解集是________．eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（0〈x≤\f(1，4）)）)）[原不等式⇔eq\f（x＋1,x）≥eq\f(5x,x)⇔eq\f(4x－1，x)≤0⇔eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x4x－1≤0，,x≠0，））解得0〈x≤eq\f(1,4)。]3．已知关于x的不等式x2－ax＋2a〉0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．（0,8)[因为x2－ax＋2a〉0在R上恒成立，所以Δ＝a2－4×2a〈0，所以0〈a<8.]4。在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位:m)的取值范围是________．［10，30］[设矩形高为y，由三角形相似得:eq\f（x,40）＝eq\f(40－y，40），且x>0，y〉0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30。］分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)eq\f（x－3，x＋2)<0；（2）eq\f(x＋1，2x－3）≤1.［解］（1)eq\f（x－3,x＋2）<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2〈x<3,∴原不等式的解集为{x|－2<x〈3}．（2）∵eq\f(x＋1，2x－3）≤1，∴eq\f（x＋1,2x－3）－1≤0，∴eq\f(－x＋4，2x－3）≤0，即eq\f(x－4,x－\f（3,2）)≥0。此不等式等价于(x－4）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（3,2)））≥0且x－eq\f(3，2）≠0,解得x<eq\f(3,2）或x≥4，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（x〈\f(3,2)或x≥4））））。1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母）,使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．1．解下列不等式：（1)eq\f(x＋1,x－3）≥0；（2)eq\f(5x＋1，x＋1）<3.［解]（1）根据商的符号法则，不等式eq\f（x＋1,x－3)≥0可转化成不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋1x－3≥0,,x≠3.）)解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为｛x｜x≤－1或x〉3｝．（2）不等式eq\f（5x＋1,x＋1)<3可改写为eq\f(5x＋1，x＋1)－3〈0，即eq\f（2x－1，x＋1)〈0。可将这个不等式转化成2(x－1)（x＋1)〈0，解得－1<x<1。所以，原不等式的解集为｛x｜－1<x<1}．一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路探究：将文字语言转换成数学语言:“税率降低x个百分点"即调节后税率为(8－x）％；“收购量能增加2x个百分点"，此时总收购量为m（1＋2x％)吨，“原计划的78%”即为2400m×8%×78％.[解]设税率调低后“税收总收入”为y元．y＝2400m(1＋2x％）·（8－x)%＝－eq\f(12,25)m（x2＋42x－400)(0〈x≤8）．依题意，得y≥2400m×8%×78％，即－eq\f(12,25）m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78％，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2。根据x的实际意义，知0〈x≤8，所以x的范围为（0，2]．解不等式应用题的步骤2．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解］设花卉带的宽度为xm(0〈x〈600),则中间草坪的长为(800－2x）m，宽为（600－2x）m。根据题意可得（800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即（x－600）(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0，100]m。不等式恒成立问题［探究问题]1．若函数f(x）＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，f（x)〉0恒成立，如何求实数a的取值范围？[提示]若a＝0，显然f（x)〉0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数f（x）＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ＝4－8a<0，))解得a>eq\f（1,2）。2．若函数f（x)＝x2－ax－3对x∈［－3，－1]上恒有f(x)<0成立，如何求a的范围？[提示］要使f（x）〈0在［－3，－1］上恒成立，则必使函数f(x）＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由f（x)的图象可知，此时a应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（f－3<0,,f－1<0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3a＋6<0，，a－2<0,))解得a<－2。故当a∈(－∞，－2)时,有f（x）<0在x∈[－3，－1］时恒成立．3．若函数y＝x2＋2（a－2)x＋4对任意a∈[－3，1］时，y〈0恒成立，如何求x的取值范围？［提示]由于本题中已知a的取值范围求x,所以我们可以把函数f（x)转化为关于自变量是a的函数,求参数x的取值问题，则令g(a)＝2x·a＋x2－4x＋4.要使对任意a∈［－3,1］，y〈0恒成立，只需满足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（g1〈0，,g－3〈0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2－2x＋4<0，,x2－10x＋4<0。)）因为x2－2x＋4〈0的解集是空集，所以不存在实数x,使函数y＝x2＋2(a－2）x＋4对任意a∈［－3，1］，y<0恒成立．【例3】已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解．［解］设函数f(x)＝x2＋ax＋3－a在x∈［－2,2]时的最小值为g(a)，则（1）当对称轴x＝－eq\f(a,2）〈－2，即a〉4时,g（a）＝f（－2）＝7－3a≥0,解得a≤eq\f（7，3)，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－eq\f(a，2)∈［－2，2］，即－4≤a≤4时，g（a）＝3－a－eq\f（a2,4)≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－eq\f(a,2）〉2,即a<－4时，g(a)＝f（2）＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a〈－4。综上,a的取值范围为－7≤a≤2。1．（变结论）本例条件不变，若f（x)≥2恒成立，求a的取值范围．[解]若x∈［－2,2］，f（x)≥2恒成立可转化为：当x∈[－2，2]时,f（x）min≥2⇔eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(a，2）<－2，，fxmin＝f－2＝7－3a≥2）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－2≤－\f(a，2）≤2，,fxmin＝f\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（a,2）））＝3－a－\f（a2,4)≥2）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（a,2)〉2,，fxmin＝f2＝7＋a≥2，））解得a的取值范围为[－5，－2＋2eq\r(2)］．2．（变条件)将例题中的条件“f(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈［－2，2］，f(x)≥0恒成立"变为“不等式x2＋2x＋a2－3〉0的解集为R”求a的取值范围．［解］法一:∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，∴函数f(x）＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4(a2－3)〈0，解得a〉2或a〈－2.法二：令f（x）＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3〉0的解集为R，则a满足f（x）min＝a2－4〉0,解得a〉2或a<－2.法三：由x2＋2x＋a2－3〉0，得a2>－x2－2x＋3，即a2>－（x＋1）2＋4，要使该不等式在R上恒成立,必须使a2大于－（x＋1)2＋4的最大值,即a2>4，故a〉2或a<－2.1．不等式ax2＋bx＋c〉0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时,eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉0，,Δ〈0。)）2．不等式ax2＋bx＋c〈0的解是全体实数（或恒成立）的条件是:当a＝0时,b＝0，c<0；当a≠0时，eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a〈0，，Δ<0。）)3．f（x)≤a恒成立⇔a≥［f(x)]max,f(x）≥a恒成立⇔a≤［f（x)]min。1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组）求解．当不等式含有分母时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然,这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论(1）若f(x）有最大值f（x）max，则a〉f（x)恒成立⇔a>f（x)max；(2）若f(x)有最小值f(x)min,则a〈f(x）恒成立⇔a<f（x)min.1．判断正误(1)不等式eq\f（1,x）>1的解集为x<1。（）（2)求解m>f（x)恒成立时，可转化为求解f(x）的最小值,从而求