人教版八年级数学上等腰等边三角形及其性质

第1讲等腰三角形（一）一、全等中的几何画图（一）动态画图，周密思考4.如图，AC丄BC,AC=BC,过G点任画直线l，过A点、B点分别作l的垂线AE、BF,5•如图，〈//-ZUdZ3*4,过C点任画直线交I于E、F，试探究AE、BF、AB三线段的数量关系，并证明6.在ABC中，AD,CE为高，两条高所在的直线相交于H点，若CH=AB,求ZACB的大小.(二)动态画图，由此及彼7.如图ZB=2ZC,AD为ZA的平分线交BC于D点(1)求证：AB+BD=AC(2)如图，若AD为ZA的外角平分线，问上结论是否成立，画图证明8.如图AC=BC,点O为AB的中点，AC丄BC，ZMON=450.(1)求证CN+MN=AM(2)若点M在AC上，点N在BC的延长线上，上结论是否成立，画图证明⑵BE⑵BE转到△ABC夕卜，平分ZABC的一个外角，请画出图形，上述结果是否还成立，若成立请说明理由.9.已知Rt^ABC,ZA=900,AB=AC,过点B的直线BF交直线AC于D,CE丄BE于E(1)当BE平分ZABC,求证：AB+AD=BC;BDBC2BDBC2AC3，求说的值.（一）直角三角形全等问题10.如图，等腰△ABC,ZACB=9Oo，D为CB延长线上一点,

(二)延长、截取法运用11.已知：CA=CB,AD平分ZCAB，且AB=AC+CD，求证：AC丄BC12•如图在平面直角坐标系中，A(0,4),B(4,0),E点与A点关于X轴对称，B点与F点13.如图1,点A、B分别为x轴、y轴正半轴上一点，P为第二象限一点,PA丄PB,PA交y轴于点C,且C为PA的中点.求证：ZPBO=ZP4O;已知A(a,0)、C(0,b)，若(a-3》+|b-2|2=0，求p点的坐标；第2讲等腰三角形(二)1．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定：(1)等腰三角形定义；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)基础回顾例1如图，△ABC中，AB>AC,AD平分ZBAC,EF丄AD交BC延长线于胚1求证:ZBME=2(ZACB—ZB)；若EM平分AD,求证:/CAM=/B.分析:由AD平分ZBAC,设Z1=Z2=Q，根据内角和定理及外角与内角关系定理，建立ZBME、/B、ZACB与Q之间的关系式，消去参数Q“即得；由EM垂直平分AD，得MA=MD，ZMAD=ZMDA，于是Z2+ZCAM=Z1+ZB，得点评:(1)问是“设参法”，先建立含有“参数”和相关量的关系式，再消去参数，便得所求证的关系式(2)问则是运用“等边对等角”的性质证明角相等，这种方法是证明角相等的又一方法，例2等腰△ABC中，过其中一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，求三内角的度数.分析:按直角、锐角、钝角三角形来分类讨论.解:点评：(1)当面对的问题情形较多时，应注意分类讨论；(2)当难以直接计算求角时，可考虑通过建立方程求解.1．若等腰三角形一腰上的高，等于腰长的一半，求这个等腰三角形的顶角.2.如图，过△ABC的顶点A,作直线AE与ZB的内角平分线BE垂直相交于E点，且与ZC的内角平分线交于P点.直接回答：当ZB与ZC满足什么条件时，点P在△ABC内，在AABC夕卜，在△ABC的边上？若P在AABC内，过P作PQHBC交AB、AC于Q、R求证：QR=AQ+CR例3如图，AABC中，AB=7,AC=11，点M是BC中点，AD平分ZBAC，MF^AD交AC于F.求FC的长.分析：“角平分线＋平行线”易构造等腰三角形，对于中点的条件，类比“倍长中线”的方法，移动CF,构造等腰三角形，寻找CF、AB、AC之间的关系。解:

点评：“构造等腰三角形”和“倍长中线”都是几何中的常用方法，关键在于如何结合条件做到有效地联结起条件与所求．例4如图，在凸五边形ABCDE中,ZB=ZE,ZC=ZD,BC=DE,M为CD中点，求证：AM丄CD.分析：M为中点，将AM置入一个三角形中，连AC、AD,要证AM丄CD,转化为证等腰AACDCAC=AD),应证△ABC^^AED.已有ZB=ZE,BC=ED，应证AB=AE，转化为证Z1=Z2,Z3=Z4.注意到条件ZC=ZD，于是延长BC、ED交于F,得等腰AFCD点评：(1)多边形中两个相邻的内角相等,则延长两边就有可能形成等腰三角形;证两线垂直的问题,可转化为证等腰三角形的问题,再运用“三线合一”的性质,得到垂直关系．还可延长AB、AE交直线CD于G、H,证AAGH为等腰三角形较简单.3.如图，ZB=ZC,ZADB=900—-ZBDC,求证：△ABC是等腰三角形.A4.如图，直角梯形ABCD,CD〃AB,AB=AC,AE丄AC,且AE=AD,连BE交AC于F求证：BF=EF.

例5已知如图：B(—1,0),D(0,2),经过点C(3,0)的直线EC交直线BD于A,交y轴图①图②于E,使AD=AE.图①图②(1)求证：AB=AC；⑵AABC沿x轴方向平行移动时，AB交y轴于D,直线DF交AC延长线于F,交x轴于G且BD=CF,求证：OG长度不变.证：点评：(1)常规方法运用.(2)基本题型的变式.例6如图，BD平分ZABC,AD=DE,EF//BC,求证：AB=EF证明：点评：运用倍长法将角等转化为边等.5.在△ABC中，AB=AC,ZA=100。,BD为ZB的平分线.求证：BC=BD+AD6.如图，直角坐标系中，A(0,4),B(4,0),点M、N分别在y轴和x轴上，N点在B点右侧，且AM=BN.(1)求S；AOB(2)如图①，若点M在AO上，求证：CM=CN;⑶如图②，若点M在y轴负半轴上，(2)中的结论是否成立，请说明理由.y□B图y□B图②7.已知，如图①，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(4，0).(1)BD平分ZABO的外角，ZADO=450，求ZBAD的大小:⑵在①中，求的值；OBAP⑶如图②，点P在OB上,APIPF，ZOBF=1350，问是否变化?PF|?11|?118.在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，BF=AC.求证：AE=EF;若EF=EG,点G在BC上.求证：ZABG+ZAEG=在(2)的条件下，若ZFEG=，求ZFAG的大小.9.△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，ZACB=90o，M，N为直线BC上两点，BN=CM，连接AM，过点G作CD丄AM交直线AB于点D,连DN如图1,当M，N两点重合时，求证：ZAMC=ZDNB；如图2，(1)中的结论还成立吗？请完成图2并证明；⑶如图3，当M，N在直线BC上,直接写出ZAMC,ZDNB的关系,不必证明C岸B8C岸B8第3讲等边三角形（三）本讲知识归纳等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半.基础回顾♦例1如图，D是等边△ABC内的一点，DB=DA,BP=AB,ZP=3Oo.求证：bd平分ZPBC.分析：由BD二DA和等边△ABC，连DC,得^ADC竺△BDC,Z1二-ZACB二3002二ZP.要证BD平分ZPBC，转化为证△PBD竺△CBD.已有:BP=BA=BC,BD二BD,Z1二ZP，属”SSA”，不能作为全等的依据•注意到BP二BC,连点评:（1）逐步树立”全等意识”——运用全等解决问题；（2）“等边对等角”与“等角对等边”的边角转变意识.♦例2如图，已知六边形ABCDEF中,ZA=ZB=ZC=ZD=ZE=ZF=120°.求证：AB＋BC=EF＋ED分析：六边形的六个角都是120°，则其邻补角为60°，延长不相邻的两边相交，可得等边三角形，利用等边三角形的边角关系可去证.证明：

点评：（1）当题中涉及到30°、45°、60°、120°、135°等特殊角时，常想到去构造特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等.（2）本例方法仍属“补形法”，前面也以介绍过。I练习I1、如图，D、E分别是等边△ABC的边BC、CA上的点，且AE=CD,AD与BE相交于F,CF1BE,求AF:BF的值.2、已知：六边形ABCDEF的每一个内角都相等，且AB=1,BC=CD=DE=9，求：这个六边形的周长.方法运用♦例3如图，O是等边△ABC内一点，已知ZAOB=115°，ZBOC=125°，求以OA、OB、OC为边所构成三角形各内角的度数.分析：要求以OA、OB、OC为边所构成三角形各内角，先应把这三条线段移到一块构成三角形。注意到AABC是等边三角形，可考虑将其中一个三角形绕顶点旋转60°.解：休、点评：在等边三角形(等腰三角形)、正方形等一些特殊的多边形中，为了将分散的条件相对集中起来，常运用“旋转法”I练习］如图，A(0,4),B(-2,0),C(2,0),CM丄AB,ONLAC,垂足分别是M、N.求证：CM+CN=AB过O点做直线EF交AC于E,BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问：PE与PF存在怎样的关系，并证明.创①创①问题探究例4如图，在正五边形ABCDE中，M、N分别是正五边形ABCDE边上的点，BM与CD交于点O,且ZBON=108°当点M、N在CD、DE上时(如图①)求证：BM=CN当点M、N分别分别在DE、EA上时(如图②)试问BM=CN是否成立？说明理由。分析：(1)证厶BCM^HCDN；(2)总结(1),(1)中的这两个三角形不一定全等，注意到ZBON=108°=AMEN,Z1=Z2,于是连BD、0£,证厶BDM^HCEN证明：

点评：(1)注意运用正多边形的定义，得边与角的关系(大小)；(2)“拉对角线”可把正多边形问题转化为三角形问题。♦例5如图，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，ZADE=600，边DE与ZACB的外角平分线相交于点E.(1)求证：AD=DE(2)若点D在CB的延长线上，(1)的结论是否仍然成立？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由.分析：(1)进行尝试和权衡，应构造全等，结合AABC为等边三角形的条件，在AB上截取AF=DC,证明△CDE^^FAD.(2)先画图，类比｛1｝的做法，在AB的延长线上截取BF=BD，证△ADF^^DEC.点评：在截取线段相等，构造三角形全等的同时，也得到了等边三角形、两线的平行等所以本例辅助线的交代方式有多种，如作平行线，作等边三角形等，但本质是一样的。4、(1)如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点P,过点P作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两线交于点Q求证：AP=BQ.(2)在上面的条件下，点P在BC边上任意运动，延长AP交BQ于D,请画出图形，问AD与BD+CD之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并证明你的结论，若不存在，请说明理由.5、如图，AAOB和△ACD是等边三角形，其中AB丄x轴于E点，点E坐标为（3,0）,点C（5，0）⑴如图①，求BD的长；（2）如图②，设BD交x轴于F点，求证:ZOFA=ZDFA（3）如图③，若点P为OB上一个动点（不与O、B重合），PM丄OA于M，PN丄AB于N，当P在AB上运动时，下列两个结论：①PM+PN的值不变；②PM—PN的值不变，其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值.第4讲等腰三角形小结一、构造等腰三角形♦例1如图，在等腰Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD=AE,AB=AC,AF丄BE交BC于F,FG丄CD交AC于H,交BE的延长线于G.（1）求证：GE=GH；⑵问BG、AF、FG有何数量关系？证明你的结论.分析：（1）证二Z2.由FG丄CD得Z2二Z4二Z5，应证Z5=Z3.由题可证厶aBE^^ACD，得证.⑵猜想BG=AF+FG.由（1）已证等腰AGEH,于是构造以BG为腰等腰三角形，过B作BN//AC交GF的延长线于N,得等腰△GBN,BG=NG,BE=NH=NF+FH，问题转化为证AF=FN,应证△ABF^^NBF.证明:点评（1）构造等腰三角形的一般方式有：①截取线段;②作角相等;③作线段的垂直平分线;④作平行线;⑤图形变换（如对称、旋转等）等，本例是运用作平行线构造等腰三角形；（2）本例中还有其他的证法，如经典方法——过点C作AC的垂线与AF延长线相交等.|练习（2）等边△ABC中，点O为AC.BC两边的垂直平分线的交点，点P为AB上的一动点，PE//AC交BC于E,点F为AC上一点，且CF=PE，连OF、EF,求乙OFE的度数.

二、运用等腰三角形的性质♦例2已知Rt^ABC中，AC=BC,ZC=90°,D为AB中点，ZEDF=90°,/EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F；图①图②图③（3）当ZEDF绕D点旋转到DE丄AC于E（如图①）时，显然S+S=1S当ZEDF绕D点旋转到DE与AC不垂直时（如DEFCEF2ABC，△.△△图②）ADEF、SaCEF、SAABC三者之间的数量关系是什么？证明你的结论；（2）当ZEDF绕D点旋转到如图③所示位置，请直接写出2DEFSACEF、SABC三者之间的数量关系是（不必证明）点评：遇有等腰三角形时，可以作成底边上的高线，运用“三线合一”的性质解题.I练习I2、如图，△ABC中，ZA=90°，AB=AC，D为AC的中点，AE丄BD于E，延长AE交BC于点F.求证：ZADB=ZCDF.3、AABC中，过BC边的中点D作直线交AB于E,交CA的延长线于F,使AE=AF,求证：BE=CF.三、角平分线与等腰三角形♦例3如图，AB//CD,BE、CE分别平分ZABC、ZDCB.求证：AB+CD=BC.分析：由条件易知ZBEC=90°,由此翻折ACEB,得ACEF,问题转