人教版七年级数学难题及答案 -几何难题练习题%28含答案%29

初一数学几何难题练习题（含答案）1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系.很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1.已知：如圏1所示，M5C中，ZC=，4C=BC，Q=DR，A£=CF°求证：DE=DF團1分析：由丄M是等腰直角三角形可知rZ^=Z5=45°,由D是AB中点,可考虑连结CD,易得CD=AD,22>C^=45°O从而不难发现XDCF=ADAE证明：连结CDvAC=BC.・•£A=空v^ACB=90=?AD=DB:.CD=BD=AD9上DCE=XS=2L4•.・AE=CFnZL4=乙DCB?AD=CD:.hADESC刀歹・••DE=DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作灰角的平分线或庚边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰肓角三角形中，更应该连结CD间为CD既是斜边上的中线，又是廓边上的中线。本题亦可延长ED到G,使DG=DE,连结BG,证3G是等腰直角三角形。有兴趣的同字不妨一试。&例2.已知:女口圏2,AB=CDfAD=BC.&例2.已知:女口圏2,AB=CDfAD=BC.AE=CFc求证:zE=zF证明：连结AC在勒恥和场中r7AB=CD^AE=CF:.SE=DF在和创的中『3E=DF■.■<^B=ZD3C=DA.-.dWQAF(SAS).-.ZE=山■;AS=CD，SC=AD，AC=CA^ABC=^CDA(^:.Z3=£D说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中"平行与垂首是两种特殊的位置。还两聲平疔,可用同位角.内错珀或同旁内角的关系来证『也可通过边对应成比例*三角形中位线主理证明。证两系直线垂直『可转化为证f角等于90^f或利用两个锐角互余「或等腰三角形”三找合一”来证。SU3.如图已所示.设BP,CQ是乂恥的内角平分线.AH,AK分别为A到BP.CQ的垂线。求证:KHIIBCEMUC图3打折二由已知,BH^5fzABC,又BH丄AH"延长AH交眈于N则BA=BN,AH=HN0同理』延长AK交BC于IV!■则CA=CMAK=KM0从而曲三角形的中位线定理,MKHIIBC.证明二延长AH交BC于N.延长AK交肚于M-BH平分ZABC/.^ABH=EABH又BH丄AHBH二BH.-.A4EH二A7WT（如）.-.BA=5.V，AJi=HN同理,CA=CM,AK=KM一一朋是N/y的中位线KH门期即KH//BC

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。^4Z3=Z1Si]4t已知:MS4所示fAB=AC^4Z3=Z1Si]4t已知:MS4所示fAB=AC,"fAE=BF^凰＞=DC口求证:FD_LED证明一:连结AD-AS=ACSD=DC在和A5D用中f..Z1+Z2=9ODS^DABv^SAC=^)D?BD=DC:.^B=£DRE=•;AS=EF，Z3=,AD=BD.-.AADE二MUR.-.Z3+^2=^0D说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM=ED,连结FE,FM,BMGSTax...§H第a...srMg...賈刖川亀kv...閱hog...CJdf署...番3NH3N为；曽VMQ勺川畧呀，，，§H§圧口UNH常口grvl・・38SMSSKSS・3、证明一线段和的问题(_)在较氏线段上截取一线段等一较短线段■证明其余部分等于另—较短线段。(截长法)例5.已知:ins6所示在M5C中・Z5=60°,ZBAC.ZBCA的角平分线AD、CE相交于O。求证:AC=AE+CD囹6分折：在AC上截取AF=AEO易知亠姑0二上肌？…・.zi=Z2o由Z2=60s,知25+26=60°5Z1=60=Z2+Z3=120°。.・.Zl=22=Z3=Z4=60Q,得：^FOC二FC=DC证明:在AC上戡取AF=AE・•・ZBAD=ACAD，AO=AO:.AA£O=WO(SAS)•・.Z4=N2又灯=60。•・.Z5+Z6=60°•・.Zl=60=•・.Z2+Z3=120°・•.Z1=Z2=Z3=Z4=60°・・・)FOC三3OC(/U$):.FC=DC即AC=AE+CD（二）延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线資成为一条线段.证明该线資等于较长线段。（补短法）例6.已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上池在BC—t/ZEAF=45"o求证：EF=BE+DF分析：此瞬仿麗例1,将会遇到囲难,不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G,使BG二DF。证明：延长CB至G,使BG=DFSeIK形ABCD中rSBG=ZD=90SAB=AD・••土BG三土莎（S45）:.AG=AF=ZS又/Z4F=4护.・•Z2+Z3=45°Z2+Z1=45°即ZGAE二ZFAE:.GE=EF:•虫=BE+DF4、中考题：如图8所示，已知“必为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DE°求证:EC=ED证明：作DF//AC交BE于FAz归C■是正三角形..回辺是IE三角形又A"BDAE=FD=BF/.2A=AF=EF即EF=AC-ACHFD・•・ZEAC=ZEFD三型M(S4S)AEC=ED题型展示：证明几何不等式:例题：已知：如图9所示.Zl=Z2AB>AC^求证:RD、DC证明一：延长AC到「使AE=AB■连结DE在和iWE中,・.-・应=丿百，Z2=ZbAD=AI>:.AAI>E^AAI>S一—DE，ZX=ZS■.;ZI>CE>EE:.ZI>CE>Zff:一DEADO..>QC证明二:如圏10所示,在AB上截服AF二AC,连结DF则易证三他eS—E>F=DC•小現>>亠Z4>Z5.-.ZEFI»Z.B…ED>EF:.SI>>DC说明衣有角平分线釜件时"常以角平分绘为轴翻折构造全等三角形这是常用辅助线“［实战模拟］已知:如圏11所示,MBC中,ZC=?0°,D是AB上一点，DE丄CD于D,交BQ于E,且有处=AD=CE0求证：DE=*D2.已知：如图12所示，在乂8C中,zL4=2Z5,CD是ZC的平分线。求证:BC=AC+AD图123.已知:如圏13所示,过七J3C的顶点A,在zA内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP二MQ【实战翩试题答案】1.证明:astco的中点厂连结mAC=AI>:.jiZ-CZi.-.^AFC=zar>E=^又Zl-bZ4=-21+Z3=W&.-.Z4=4-AC=CE.■.AAC^=ACED(ASA~):.CF=ED:.刃远=丄C7>22.分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。QK十OKH3Y+2Hb・•.HPMQ・