2019-2020学年上海市南模中学高二上学期期末数学试题

2019-2020学年上海市南模中学高二上学期期末数学试题一、单选题1.设5，o为复数，则下列命题中一定成立的是（）A.女口果才+公=0,那么Zl=Z2=0B.如果忆|=|冬|,那么z,=±z2C.如果|^|<6/（0为正实数），那么一a<zY<aD.如果\z]=a3为正实数），那么召•亏=，答案：D对A,举出反例判断正误；对B,举出反例判断正误；对C,利用复数的几何意义判断正误；对D,设出复数即可化简结果，再判断正误即可.解：对于A,如果石=1一i,Z2=1+/,才+=0,所以石=°=0不正确o对于B,如果^=1-/,z2=l+i,\zl\=\z2\,但3=±z2不正确。对于c,\zL\<a,a是正实数，说明复数对应的点到原点的距离小于d,且复数不能比较大小，故一a<z,不成立.对于D,\z,\=a3为正实数），设wZ）,则叔+才=a,故石•石=（兀+）”）•（x_刃）=F+y2=ci2成立.故选:D.点评:本题主要考查了复数的基本性质与判定，需要根据题意举出反例或者直接设复数形式进行推导，属于中档题.2.在AABC中,则AABC是（）iun->inn2.在AABC中,则AABC是（）AB^=ABAC+BABC+CA・CB・D-钝角三角形A.等边三角形B・锐角三角形C.D-钝角三角形答案：C此题考查向量的数量积的计算、余弦定理的应用。由已知得

▲门,c，b・+c・_cra^+c・_trA+cr—c・f-,,L=becosA+accosB+abcosC=>c"=++=>/?"+«"222,所以是直角三角形，选C3.在平面直角坐标系中，£3分别是x轴和y轴上的动点，若以43为直径的圆C与直线2x+)一4=0相切，则圆C面积的最小值为()4A.—7t4A.—7t5答案：A

B・一龙4C.（6-2厉）龙5D.-7T4解：试题分析：设直线l.2x+y-4=0因为\OC\=hAB\=dc_lt表示点C到直线/的距离，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，/为准线的抛物线，圆C直线/的距离，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，/为准线的抛物线，圆C的半径最小值为*如4兀5・故本题的正确选项为A.【考点】抛物线定义.4•在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆r：—+—=1和GX+匸=1・P为G上TOC\o"1-5"\h\z1364-9的动点，0为C?上的动点，w是胡•起的最大值•记G={(P,0)|P在C」，0在C?上，且OPOQ=w},则0中元素个数为()A.2个B.4个C.8个D.无穷个答案：D椭圆C:—+^-=1和C.:x2+^-=bP为C］上动点，0为C、上动点，1364-9"可设P(6cos%2sina),0(6cos0.2sin0),0<a.fi<2^tULOUUL¥则OP・OQ=6cosacos0+6sinasin0=6cos(a一0),当a_0=2k7t、kwZ时，w取得最大值6,LLOULXV则G={(P,0)』在C\上，0在C2±,且Op.OQ=w}中的元素有无穷对对，故选D.二、填空题5.以原点为顶点，x轴为对称轴，并且经过p(_2,-4)的抛物线的标准方程为.答案：于=—8x设抛物线的标准方程，再代入P(-2,-4)求解即可.解：由题，设抛物线方程为y2=2/zv，代入P(—2,—4)有(-4)2=2p(-2)=>p=-4.故抛物线y2=-8x.故答案为：y2=点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.已知复数乙满足(2-/)2-z=l,则？的虚部为.答案:召根据复数的基本运算求解乙再判定即可.解：、113+4/34.因为(2—=故込_(2_j『_3_4,_(3_4。(3+4/)_方+方J4故乙的虚部为丁・234故答案为：—2〉点评：本题主要考查了复数的除法运算与虚部的概念,属于基础题.已知向量d=(2,1),壮=10,弹+曲=5血，则円=•答案：5rIIrr本题首先可以根据丄(2,1)得出|彳=5,然后根据”片=5血得出"+叶=50,最后通过化简即町得出结果。解：-r2因为d=(2,1),所以a=5,rrrrrr因为ci+b=5忑,所以a+b=a+b+2ab=509rrI即5+b「+20=50,b=5。点评：本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若a=(x,y),则彳=疋+尸，考查计算能力，是简单题。双曲线x2+ky：=l的一条渐近线的斜率是2,则k的值为答案：4试题分析：由题意k<0,渐近线为x土/Ty=O,所以-t==2,解得k=丄.\J-k4【考点】双曲线的渐近线.设向量｛=(1,2),b=(2,3),若向量+Z?与向量c=(—4,—7)共线，则几=答案：2由题意首先求得向量Aa+b，然后结合向量平行的充分必要条件可得兄的值.解：Aa+b-(兄，2几)+(2,3)=(2+2,2A+3),由向量共线的充分必要条件有：(兄+2)・(一7)=(2兄+3)・(—4)二>几=2.故答案为2.点评：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.过点(2,—3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.分析：分类讨论截距为0和截距不为零两种情况求解直线方程即可.3详解：当截距为0时,直线的方程为y=--x,满足题意：乙当截距不为0时，设直线的方程为△+丄=1,a-a把点(2,-3)代入直线方程可得d=5,此时直线方程为y=x-5.3故答案为y=--x!^y=x-5.点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范闱；

二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论;三是在用截距式时，应先判断截距是否为0,若不确定，则需分类讨论.x+y>211.已知O是坐标原点，点4(—1,1),若点M(x,刃为平面区域｛xWl上的一个动点，则OAOM的取值范围是•答案：[0,2]解：x+y>2,令2=OA-OM=~x+y,则)，=x+乙画出｛x<L对应的可行域，可得在点(by<21)处取得最小值0,在点(0,2)处取得最人值2\3\■Z/\11i、、\\■T/^4111-2-1q-1-2■■345“、\已知动圆过定点A(-4,0),且与圆X2+y2-Sx-S4=0相切，则动圆的圆心P的轨迹方程是.答案:25答案:259根据圆心P到定点4(—4,0)与圆亍+r-8x-84=0圆心的距离之和为定值判断即可.解：圆x2+y2-8x-84=0即圆(x-4)2+/=100,圆心为B(4,0),半径为10.又因为4(—4,0)在圆(x-4)2+y2=100内，故动圆与圆(x-4)2+y2=100内切.设动圆半径为■则圆心P到4(一4,0)与3(4,0)的距离之和为J=,-+iO-r=lO.故动圆的圆心P是以4(—40)与3(4,0)为焦点，2a=10的椭圆，故q=5,c=4,心居_42=3・故动圆的圆心P的轨迹方程是—+—=1.259故答案为：—+22=i259点评：本题主要考查了根据动圆相切时半径之和的关系以及椭圆的定义求解椭圆的方程的方法，重点在于找到半径之和为定值的关系.属于基础题.x=2+t直线｛尸(t为参数)与双曲线x2-y2=l交于A、B两点，求AB的弦长y=V3/答案：2>/10直线方程：y=*x-2羽,联立双曲线方程得:f~'~l=>2x2-12x+13=0y=>J3x-2yji过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾角为30。的直线，与抛物线分别交于4、b两点(人在y轴左侧)，答案：I解:

53UAAi”OF//BBir.竺=!2^il=k加…而=两=云，又已知巧1<0.ns>()f\AF\\FB\—hb'T直线AB方程为y=2tail3(f5+彳即2/=—z+^f32与以=2pg联立得工2—px—=0=—曽(巧+咗+2h“3)二3巧+3工务+1Uxj[xb=0两边同除以@务（龙务尹（））得又T兀两边同除以@务（龙务尹（））得又T兀1+工〃IA>-TJ3,^AHR\AF\^AHR***|F^i故答案为：15・将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六

条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点0,其中〉，•分别为点0到两个顶点的向量：若将点0到正六角星12个顶点的向量，都写成Cix+by的形式，贝怙+方的最大值为.答案：5利用等和线判断取a+b的最人值时的顶点位置,再利用基底向量的方法求解即可.解：先推导等和线定理：AP"三点共线AP=AAB（a^O）<^OP=（L-A）OA+AOB,（o为平面内•札4A4LAJUMLAU任意一点，/IwR）U>OP=xOA+yOB（O为平面4P3内任意一点，x9yeR,x+y=l)V*JUML4深化：若OP=xOA+yOB,x+y=A,(xe/?),则做平行线有:x^y=()1Y+J二x^y=()1Y+J二X+J=1y=-IVKA1IIU如图，显然当过C作与4〃平行的直线时，OC=ax+by能使得a+b取最大值.W«JIC4UULAAML4UJIk4L4MkAJUC4l4MCCAM此时OC=OB+BE+EC=OB+BE+OF=OB+BE+OB+BFU4IIM||U4=y+x+y+2x=3x+2y，此时d+b=3+2=5・故答案为：5点评：本题主要考查了平面向量的等和线的运用，需要根据题意找到使得a+b取得最人值时的点，再求解即可•属于中档题.16・己知直角坐标平面上任意两点"心）［）、0（心儿），定义d(P@)=卜2d(P@)=卜2-打,区一打》卜2-刃仏一川，区一打＜|儿一川为P、0两点的“非常距离”・当平面上动点M（x,y）到定点4仏b）的距离满足|伽|=3时，则d（MM）的取值范|韦|是由题意可知点M（x,y）在以A（a,b）为圆心，半径r=3的圆周上，由“非常距离”的新定义求出d（M,4）表达式,再分析最小值与最人值，即可得出结论.解：由题意可知点M（x,y）在以4仏b）为圆心半径r=3的圆周上，如图所示:由“非常距离”的新定义可知：当\x-a\=\y-b\时，d（M.A）取得最小值,d(M,A).=辺\/min2当\x-a\=3,\y-b\=0或\x-a\=Q,\y-b\=3时,d(M,A)取得最大值,故故d（M,4）的取值范闱为本题主要考查了新定义的距离问题，需要根据题意画图分析新距离的几何意义,属于中档题.三、解答题17.复数z=（1-/）«2-3«+2+/（awR）,（1）若Z=Z，求国；（II）若在复平面内复数？对应的点在第一彖限，求d的范闱.答案：（I）国=0或同=6；（II）-l<a<l.解：试题分析：将复数化简得Z=ci2-3a+2+（l-a2）i（1）中z=Z，所以虚部为0,（2）中复数对应点为（亍一3。+2,1-亍），在第一彖限得到不等式，求得。范围试题解析：z=ei2-3a+2+（l-a2）i,（1）由z二E知，l-a2=09故±1・当g=1时，z=0：当。=一1时，Z=6・（2）由已知得，复数的实部和虎部皆大于0,即｛"一?"+2>0,即｛">2<1l-cr>0-!<«<!LXAMULUfULUf18.己知平面内向量OA=（1,7）,OB=（5,1）,OP=（2,1），点0是直线莎上的一个动点.（1）当芮•宓取最小值时，求徒的坐标;（2）当点0满足（1）中的条件时，求的值.答案：答案：(1)左=(4,2)；(2)-解：.札札qV4C4U.札札q(1)设O0=(x,y),Q0在直线OP±,/.向量00与0P共线.Q0P=(2,l),・"-2)，=0,・・.x=2儿・・・0Q=(2y,y)MUMMUMCUJIUA4MUA4MkXXl又QQA=OA-OQ=(l-2y97-y),0B=OB—O0=(5—2”l_y),L14U・・・04・0B=(1—2”7—y)(5—2”1—y)=5才一20y+12=5(y—2)「一8・V«C«MkX4J故当y=2时，0A0B有最小值一8，此时O0=(4、2)・kAAU(2)由⑴知,QA=(-3,5),QB=QAQB=-8:ULIU——.CLW|l.•.0A=阿，|纲=QTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/.cosZAQB=蜀铉==8=松州刎734x^217■n*19.设片和E是双曲线(-二=1上的两点，线段用只的中点为M，直线人匕不经crb・过坐标原点0・若直线人只和直线OM的斜率都存在且分别为任和人，求证：=—:"CT若双曲线的焦点分别为林(-JIo)、&(JJ,O)，点片的坐标为(2,1),直线OM3的斜率为亍，求由四点片、JP-&所閑成四边形P'FRF：的面积・答案：(1)见解析；(2)座7(1)法一：设不经过点o的直线片4方程为y=£/+1，与双曲线方程联立，利用中点坐标表示人，再求叭；法二：利用点差法表示叭；(2)先由已知求得双曲线方程和直线人人的方程，由条件表示四边形的面积5=令解，利用片鬥的中点是M，直接求点人的坐标，再表示四边形的面积S=丄応©•悅一儿|•2解:（1）证明：法1：设不经过点o的直线PR方程为y=k\X+1，代入双曲线二一匚=1a~b~方程得：{b2-a2k~^x2-la-k^x-crb2-a2V=0.设片坐标为（心儿），匕坐标为（花,％），中点坐标为M（x,y）,则x=亠；亠,乙2兀+乙=/2"，”,‘k、=丄匸上=人+-一学&-'所以，=crk;+b2-crk;,~b~-a~k~~x{+x2a~kY-法2：设人（兀,儿）、E（耳，儿），中点M（x,y）,则.丫=号1,），=卫尹且#嶋=】⑴，乎存⑵（1）-（2）得：（兀7）^7）_（）1+凡心-儿）=0crtr因为，直线片4和直线OM的斜率都存在，所以（兀+疋）（无一兀）工0,TOC\o"1-5"\h\z1y+yy—y]k2等式两边同除以（兀+无）（屯一X）得：飞一亠亠1•丄—^77=°,即k,k.=—・CI%!+v"q-[—1亍（2）由已知得\a2b2,求得双曲线方程为—r=1,直线片人斜率为[a2+b2=32b23_1产丁亍一亍’直线片£方程为y-l=|（x-2）,代入双曲线方程可解得A]-岁—中点M坐面积扌恥I•I儿一儿I=的•齐竽•3另解：线段片人中点M在直线y=〒丫上.所以由中点M（x,y）,可得点巴的坐标为

£(2x—2,3x—1),代入双曲线方程可得(2x~2)-(3x_l)2=b即7疋—2x=0,解得兀=扌(y=弓)’所以2.面积*応代卜|)1一yj=•孕=•点评：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，已知考查转化与化归的思想和计算能力，涉及双曲线中定值和四边形面积的求法，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.20.已知定点f(i,o),动点p在y轴上运动，过点p作直线pm交x轴于点m，延长MP至点N,使PM・PF=0・|PM冃PN|点N的轨迹是曲线C・ML4MkAAM若S,卩是曲线C上的两个动点，满足OS07=0,证明：直线ST过定点；V9.4MVK4MLI若直线/与曲线C交于3两点，且Q4・OB=-4，4V6<|AB|<4V30,求直线/的斜率k的取值范闱.答案：(1)y答案：(1)y2=4x(x>0)；(2)直线ST过定点(4,0)；(3)ke⑴设出动点N,则M/的坐标可表示出，利用pm・PF=0,可求得九)'的关系式，即N的轨迹方程.(2)设直线ST:x=ty+mt联立直线与(1)中所得抛物线的方程，利用韦达定理表示OSOT=Q^进而求得〃7即可.⑶设出直线/的方程,A,B的坐标，根据x內+)［儿=-4推断出儿儿=-8,把直线与抛物线方程联立消去尤求得)1儿的表达式，进而求得b=—2k,利用弦长公式表示出44ILMlpLMM\ab\,再根据网的范I札求得£的范i札解：z\⑴设动点N(x,y),则M(—兀0),P0i,x>0vJWPF=O>即一兀一*(1*)=0’化简得y2=4x(x>0).fy2=4x(x>0)A(2)设直线ST:x=ty+my联立Jv7=>r-4^-4/w=0.[x=<y+in设S(X],yJ,T(X2,力)，则X-儿=一4加，兀•x,=上■•准=儿)=m2•'4416MLAM又OS•OT=0,故由题有不丘+儿儿=0，即in2-4m=0•由题意可知〃详0,故〃7=4.故直线S7\x=/y+4,恒过定点(4,0).⑶设直线/方程为y=lcx+bfI与抛物线交于点力(兀,yj,3(耳,儿),■■则由O4・OF=-4,得兀兀+儿比=一4，即丄・丄+丿”=一4,44儿人•••()1〉'2)'+16〉'』‘2+64=0,解得儿儿=一8,由卩=4心>0)»—y+4"0g0),[y=kx+b4b/•y2==-8—b=-2k,当厶=16—16肋>0二>1+2/>0恒成立，ILW、AB'ILW、AB'1+右[(〉1一儿)'=(1+（儿+八仙讣（1+甘（存器16(1+疋)(1+2旳=UK4Mf由题意，4>/6<|AB|<4V30可得16x6516(1+妒)(可得16x651516x30,即4諾+车22玉匚+冷k4k24[k22）因为-^+->0,故？<占+叽耳=>1<亠54k_22k-22k-解得^-<k2<l,4:.-<k<l^-l<k<--.22即所求R的取值范围是即所求R的取值范围是-1,-舟本题主要考查了轨迹方程的求解以及直线与抛物线中的定点问题，同时也考查了弦长范围求解参数的问题，需要根据题意将题中所给的数量积关系转换为斜率的表达式，再列出不等式进行求解等•属于难题.21.教材曾有介绍：圆x2+y2=r2±.的点（心凡）处的切线方程为V+>0>?=,-2・我们将其结论推广：椭圆4+4=1（。>b〉0）上的点（％，儿）处的切线方程为crb"鹫+辱=1,在解本题时可以直接应用.已知，直线x-y+y^=0与椭圆crZrEI二+才=1（。>1）有且只有一个公共点.（1）求“的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点4、B分别作该椭圆的两条切线A、/2,且厶与人交于点M（2,〃?）.当加变化时，求△如面枳的最人值；（3）在（2）的条件下，经过点M（2,〃»作直线/与该椭圆E交于C、D两点，在线\CN\\MC\段CD上存在点N,使鬲=帚才成立，试问：点N是否在直线ABh，请说明理由.答案：（1）a=y/2（2）返（3）见解析2

（1）将直线y代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0,解方程可得a的值;（2）设切点A（x”yj）,B（x:,y2）t可得切线xxIcnIImcI•专+几丫=1，崗=品），再将M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my=l,将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得AOAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最人值；（3）点N