线性微分方程的一般理论5

线性微分方程的一般理论学生姓名：杨玉亲学号：20235031161数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：师向云职称：讲师摘要：本文描述了线性微分方程的定义,齐次线性微分方程的解的性质与结构,以及非齐次线性微分方程与常数变易法,给读者展示了线性微分方程的一般理论和解法.关键词：齐次线性微分方程；朗斯基行列式；通解；基本解组；常数变易法TheGeneralTheoryofLinearDifferentialEquationAbstract：Inthispaper,wedescribethedefinitionofalineardifferentialequation,thepropertiesandstructureofthesolutionsofthehomogeneouslineardifferentialequationandnonhomogeneouslineardifferentialequation,showingthereadersthelineardifferentialequationmethodofthegeneraltheoryofreconciliation.KeyWords:Homogeneouslineardifferentialequation;Langyankeesdeterminant;Generalsolution;Basicsetofsolutions;Methodofvariationconstant前言在微分方程的理论中,线性微分方程是很重要的一部分.线性微分方程是研究非齐次线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用.因此学习线性微分方程的一般理论是非常有用的.引言先讨论如下的阶线性微分方程，(1)其中及都是区间上的连续函数.如果,则方程(1)变为，(2)我们称它为阶齐次线性微分方程,简称齐次线性微分方程,而称一般的方程(1)为阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性方程.首先给出方程(！)的解的存在唯一性定理.定理1[1]如果及都是区间上的连续函数,则对于任一及任意的,,,,方程(1)存在唯一解,定义于区间上,且满足初值条件,,,.(3)2.齐次线性微分方程的解的性质与结构首先讨论齐次线性微分方程.(2)根据“常数可以从微分号下提出来”以及“和的倒数等于倒数之和”的法则,容易得到齐次线性微分方程的解的叠加原理.定理2(叠加原理)如果,,,是方程(2)的个解,则它们的线性组合也是(2)的解,这里,,,是任意常数.特别地，当时，即方程(2)有解(4)它含有个任意常数.考虑定义在区间上的函数,,,,如果存在不全为零的常数,,,,使得恒等式对于所有都成立,我们称这些函数是线性相关的,否则就成这些函数在所给区间上线性无关.有定义在区间上的个可微次的函数,,,所做成的行列式成为这些函数的朗斯基行列式.定理3若函数,,,在区间上线性相关，则在上它们的朗斯基行列式.证明有假设知,存在一组不全为零的常数,,,,使得，(5)依次对微分此等式,得到(6)把(6)和(7)看成关于,,,的齐次线性代数方程组,它的系数行列式,于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零,即.定理证毕.定理4如果方程(2)的解,,,在区间上线性无关,则在这个区间的任何点上都不等于零,即.证明采用反证法.设有某个使得.考虑关于,,,的齐次线性代数方程组(7)其系数行列式,故(7)有非零解,,,.先在以这组常数构造函数,,根据叠加原理,是方程(2)的解.注意到(7),知道这个解满足初值条件,(8)但是显然也是方程(2)的满足初始条件(8)的解.有解的唯一性,即知,即,.因为,,,不全为零,这就与,,,线性无关的假设矛盾.定理得证.根据定理3和定理4可以知道,由阶齐次线性微分方程(2)的个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零,或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零.定理5[2]阶齐次线性微分方程(2)一定存在个线性无关的解.证明线性微分方程(2)存在满足下列初始条件,,,;,,,;,,,的个解,,,,.又因,于是可知这个解在上线性无关.定理6[3](通解结构定理)如果,,,是方程(2)的个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为,(9)其中,,,是任意常数.且通解(9)包括了方程(2)的所有解.推论方程(2)的线性无关解的最大个数等于.因此可得结论:阶齐次线性微分方程的所有解构成一个维线性空间.方程(2)的一组个线性无关解称为方程的一个基本解组.显然,基本解组不是唯一的.特别的,当时称其为标准基本解组.3.非齐次线性微分方程与常数变易法考虑阶非齐次线性微分方程,(1)易见方程(2)是它的特殊形式,首先容易验证如下两个简单性质:性质1如果是方程(1)的解,而是方程(2)的解,则也是方程(1)的解.性质2方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解.有如下定理:定理7设,,,是方程(2)的基本解组，而是方程(1)的某一解,则方程(1)的通解可表为,(10)其中,,,是任意常数.而且这个通解(10)包括了方程(1)的所有解.证明根据性质1易知(10)是方程(1)的解,它包含有个任意常数,像定理6的证明过程一样,不难证明这些常数是彼此独立的,因此,它是方程(1)的通解.现设是方程(1)的任一解,则由性质2,是方程(2)的解,根据定理6,必有一组确定的常数,,,,使得,即这就是说,方程(1)的任一解可以由(10)表出,其中,,,为相应的确定常数,由于的任意性,这就证明了通解表达式(10)包括方程(1)的所有解.定理证完.设,,,是方程(2)的基本解组，因而(11)为(2)的通解,把其中的任意常数看作的待定函数,这(11)变为.(12)将它代入方程(1)，就得到,,,必须满足的一个方程,但待定函数有个,即,,,,为了确定它们,必须再找出个限制条件,在理论上,这些另加的条件可以任意给出,其法无穷,当然以运算上简便为宜,考虑下面的个条件.对微分等式(12)得,令，得到.对微分等式(12),并像上面一样做法,令含有函数的部分等于零,我们又得到一个条件和表达式.继续上面做法,在最后一次我们得到第个条件.和表达式最后,对微分得到现将(12),,,,代入(1),并注意到,,,是方程(2)的解，得到这样,我们得到了含个未知函数的个方程,,,它们组成一个线性代数方程组,其系数行列式就是,它不等于零,因而方程的解可以唯一确定,设求得,,积分得,这里是任意常数.将所得的表达式代入(11)即得方程(1)的解.显然,它并且是方程(1)的通解.为了得到方程的一个解,只需给常数以确定的值.例如,当取时,即得解.从这里可以看出,如果已知对应的齐次线性微分方程的基本解组,那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到.因此,对于线性微分方程来说,关键是求出齐次线性微分方程的基本解组.例1求方程的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为,.解应用常数变易法,设为齐次方程的解.则