2020高中数学 第十章 概率章末复习提升课学案 第二册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE31-学必求其心得，业必贵于专精章末复习提升课互斥事件、对立事件的概率某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人)11.522。53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％.(1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）【解】（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f（1×15＋1.5×30＋2×25＋2。5×20＋3×10，100)＝1。9(分钟)．（2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1,A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1。5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P（A1)＝eq\f（15,100）＝eq\f（3,20)，P（A2）＝eq\f（30，100）＝eq\f（3,10）,P(A3）＝eq\f(25，100）＝eq\f(1,4）。因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P（A)＝P（A1∪A2∪A3)＝P（A1）＋P（A2)＋P(A3)＝eq\f（3,20)＋eq\f(3,10）＋eq\f(1,4）＝eq\f(7，10)。故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f（7，10）.eq\a\vs4\al()（1）互斥事件与对立事件的概率计算①若事件A1,A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An）＝P(A1）＋P(A2）＋…＋P(An）．②设事件A的对立事件是A，则P（A)＝1－P(A)．(2）求复杂事件的概率常用的两种方法①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．②先求其对立事件的概率，然后再应用公式P（A）＝1－P(A）求解．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3年,乙品牌车保修期为2年,现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内首次出现故障的车辆数据如下：品牌甲乙首次出现故障的时间x(年)0<x≤11<x≤22<x≤3x>30<x≤11〈x≤2x>2轿车数量（辆）213442345(1）从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(2）从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．(注：将频率视为概率)解：(1)设A，B,C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，因为A，B，C是彼此互斥的，其概率分别为P(A)＝eq\f（2,50）＝eq\f（1,25）,P(B）＝eq\f(1，50），P(C)＝eq\f（3,50)，所以P（D)＝P（A∪B∪C）＝P（A)＋P（B)＋P(C)＝eq\f(3,25），即首次出现故障发生在保修期内的概率为eq\f(3，25）。（2)乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为eq\f（2＋3,50）＝eq\f(1，10).古典概型袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2。（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【解】(1)将标号为1，2，3的三张红色卡片分别记为A,B，C，标号为1，2的两张蓝色卡片分别记为D，E。从这五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B）,（A，C），(A，D）,(A，E)，（B,C)，（B，D)，（B，E），(C，D），(C，E)，(D，E），共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为（A，D），(A，E),（B,D）,共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为eq\f(3，10).(2）将标号为0的绿色卡片记为F。从这六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A,B)，(A，C），(A,D)，(A，E)，（A，F)，（B，C），(B，D），（B，E）,（B，F)，（C，D)，（C，E），(C,F）,(D，E)，（D，F)，(E，F），共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．从这六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为（A，D)，（A，E）,(A，F)，（B，D)，（B，F），（C，F)，(D，F），(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为eq\f（8，15).eq\a\vs4\al（)求解古典概型概率“四步”法甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女,乙校1男2女．（1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,求选出的2名教师性别相同的概率；（2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．解:（1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为（甲男1,乙男）、(甲男2,乙男)、（甲男1，乙女1)、（甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、（甲女，乙女1)、(甲女，乙女2）、（甲女，乙男），共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1，乙男)、（甲男2,乙男)、（甲女，乙女1)、（甲女,乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为eq\f(4，9).（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为（甲男1，乙男）、（甲男2，乙男)、（甲男1，乙女1）、（甲男1，乙女2）、（甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2）、（甲女，乙女1)、(甲女，乙女2）、(甲女，乙男)、(甲男1，甲男2）、（甲男1，甲女）、（甲男2，甲女）、（乙男，乙女1）、(乙男,乙女2)、（乙女1，乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为（甲男1,甲男2）、（甲男1,甲女）、(甲男2，甲女)、（乙男，乙女1)、（乙男，乙女2)、（乙女1，乙女2），共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为eq\f（6,15)＝eq\f（2，5)。事件的相互独立性计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格",两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”并颁发“合格证书"．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为eq\f(4，5），eq\f（3,4)，eq\f(2,3)，在实际操作考试中“合格"的概率依次为eq\f（1,2)，eq\f（2，3),eq\f(5,6),所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，则谁获得“合格证书”的可能性大？(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证书"的概率．【解】（1)记“甲获得‘合格证书’"为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B,“丙获得‘合格证书'”为事件C，则P（A）＝eq\f（4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5），P（B）＝eq\f（3,4）×eq\f（2,3)＝eq\f（1，2)，P（C）＝eq\f（2,3)×eq\f(5，6)＝eq\f(5，9）,从而P（C）〉P（B)>P(A）,所以丙获得“合格证书”的可能性大．(2）记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书'”为事件D，则P(D）＝P(ABeq\o(C，\s\up6（－））)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)）C）＋P（eq\o（A，\s\up6(－））BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(1，2)×eq\f（4,9）＋eq\f（2,5)×eq\f（1，2)×eq\f（5,9)＋eq\f（3,5）×eq\f(1，2)×eq\f(5，9)＝eq\f（11,30）。eq\a\vs4\al()利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．（2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件,转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件．（3)代入概率的积、和公式求解．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0。6，0。5，0.5，0。4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(）A．0.25 B．0。30C．0.31 D．0.35解析:选C。设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P（A)＝0.6,P(B)＝0。5，P(C）＝0。5，P（D)＝0.4，所以同一工作日最少3人需使用设备的概率为P(ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD）＝0.6×0。5×0。5×0。6＋0。6×0。5×0.5×0。4＋0.6×0。5×0。5×0。4＋0。4×0。5×0。5×0。4＋0。6×0。5×0。5×0。4＝0。31.概率与统计的综合问题某食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A,B，C，D,E。现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验,对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：XABCDE频率0。10.20。450.150.1从等级系数为A,D,E的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同）．（1）求取出的两件样品是等级系数为A与D的概率；(2)求取出的两件样品是不同等级的概率．【解】(1)A级所取的样品数为20×0.1＝2，D级所取的样品数为20×0。15＝3，E级所取的样品数为20×0.1＝2.将等级系数为A的2件样品分别记为a1，a2；等级系数为D的3件样品分别记为x1，x2，x3；等级系数为E的2件样品分别记为y1,y2；现从a1，a2,x1，x2,x3,y1，y2这7件样品中一次性任取两件，共有21个不同的结果，分别为(a1，a2)，(a1，x1），(a1，x2)，（a1,x3），（a1，y1），(a1，y2)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3),(a2，y1)，(a2,y2），(x1，x2）,(x1,x3)，（x1,y1），（x1,y2)，(x2,x3)，(x2,y1），(x2,y2），(x3，y1)，(x3，y2），(y1，y2）．记事件M为“取出的两件样品是等级系数为A与D”，则事件M所包含的样本点有6个，分别为（a1，x1)，（a1,x2），(a1，x3），（a2，x1)，（a2,x2），（a2，x3）．所以事件M的概率P（M）＝eq\f（6，21)＝eq\f(2,7）。(2）法一：记事件N为“取出的两件样品是等级系数为A与E”，则事件N所包含的样本点有4个，分别为（a1，y1），（a1，y2），(a2，y1）,(a2，y2)，所以事件N的概率P(N）＝eq\f（4，21)。记事件Q为“取出的两件样品是等级系数为D与E”,则事件Q所包含的样本点有6个,分别为（x1，y1)，（x1，y2），（x2,y1)，（x2,y2），(x3，y1），（x3，y2），所以事件Q的概率P（Q）＝eq\f（6，21）＝eq\f（2,7)。因为事件M，N，Q为互斥事件，所以取出的两件样品是不同等级的概率为P(M∪N∪Q）＝P（M)＋P（N)＋P（Q）＝eq\f（16，21）。法二：记事件L为“取出的两件样品是不同等级”，则事件eq\o(L，\s\up6(－))为“取出的两件样品是同等级”，所以事件eq\o（L，\s\up6(－))所含的样本点有5种，分别为（a1，a2），（x1，x2），(x1，x3），(x2，x3），(y1,y2)，所以事件eq\o(L，\s\up6(－）)的概率P(eq\o（L,\s\up6(－)))＝eq\f（5,21），所以P（L）＝1－P（eq\o（L,\s\up6(－）)）＝1－eq\f（5,21)＝eq\f（16，21),即取出的两件样品是不同等级的概率为eq\f(16,21）。eq\a\vs4\al(）解决概率与统计综合问题应注意的问题在解决此类综合问题时，应对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息，排除无关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．某险种的基本保费为a(单位：元）,继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010（1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A）的估计值；（2）记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求P（B）的估计值；(3）求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2。由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50，200)＝0.55，故P（A）的估计值为0。55。(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4。由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f（30＋30，200)＝0.3，故P（B)的估计值为0.3.(3）由所给数据得保费0.85aa1.25a1。5a1。75a2a频率0.300。250。150.150。100.05调查的200名续保人的平均保费为0．85a×0。30＋a×0。25＋1.25a×0。15＋1.5a×0。15＋1。75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a。因此，续保人本年度平均保费的估计值为1。1925a.,1．(2019·福建省师大附中期中考试)袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球．设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”;事件R表示“取出的球中至少有一个黑球"，则下列结论正确的是（)A．P与R是互斥事件B．P与Q是对立事件C．Q和R是对立事件D．Q和R是互斥事件,但不是对立事件解析:选C。袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有如下几类:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球；③取出的球一黑一白．事件R包括①③两类情况，所以事件P是事件R的子事件，故A不正确;事件Q与事件R互斥且对立，所以选项C正确，选项D不正确；事件P与事件Q互斥,但不是对立事件,所以选项B不正确．故选C.2．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0。8和0。75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为()A．0。95 B．0.6C．0.05 D．0.4解析:选A。法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确;③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故至少有一颗卫星预报准确的概率为0。8×(1－0。75）＋(1－0。8）×0。75＋0。8×0.75＝0.95.法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星预报都不准确"，故至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8）×（1－0。75）＝0。95.3．（2019·江西省上饶市期末统考)甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数a2，对实数a2仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数a3，当a3>a1时，甲获胜，否则乙获胜,若甲胜的概率为eq\f（3，4)，则a1的取值范围是________．解析:由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况:当a3＝2（2a1－6)－6＝4a1－18,其出现的概率为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））eq\s\up12(2)＝eq\f（1，4），当a3＝eq\f（1，2）(2a1－6）＋6＝a1＋3,其出现的概率为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））eq\s\up12（2）＝eq\f（1，4）,当a3＝2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a1,2）＋6)）－6＝a1＋6,其出现的概率为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）))eq\s\up12(2)＝eq\f（1,4），当a3＝eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a1,2)＋6））＋6＝eq\f（a1,4)＋9,其出现的概率为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)eq\s\up12（2)＝eq\f(1,4），因为甲获胜的概率为eq\f（3，4），即a3>a1的概率为eq\f(3，4）,则满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（4a1－18≤a1，\f（a1,4）＋9〉a1)）或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（4a1－18〉a1，\f（a1,4)＋9≤a1)），整理得a1≤6或a1≥12。答案：(－∞，6]∪［12,＋∞)4．（2019·广东省惠州市期末考试）2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0，5),第二组[5，10），第三组［10，15)，第四组[15,20),第五组［20,25］，绘制了频率分布直方图如图所示．已知第三组的频数是第五组频数的3倍．(1)求a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层随机抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”．经过比赛后,从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率．解：(1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为1－（0。01＋0。07＋0。04）×5＝0.4，第三组的频率为0.4×eq\f(3，1＋3)＝0.3，所以a＝eq\f（0.3，5)＝0.06.该样本数据的平均数x＝2。5×0。01×5＋7。5×0。07×5＋12。5×0。06×5＋17。5×0.04×5＋22。5×0.02×5＝12.25，所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为12。25小时．(2）易得从第三、四、五组抽取的人数分别为3,2，1，设为A，B，C，D,E,F，则从该6人中选拔2人的样本点有:(A，B），（A，C)，(A,D)，(A，E)，（A，F)，（B,C）,（B，D），(B，E）,（B，F)，(C，D），（C，E)，（C，F)，（D，E），(D，F），(E，F)，共15个，其中来自不同的组别的样本点有:(A，D）,(A，E），(A，F)，(B，D)，（B，E)，（B，F）,(C，D)，(C，E)，(C，F),（D,F），(E，F)，共11个，所以这2人来自不同组别的概率为eq\f(11，15）。[A基础达标]1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名）采取分层随机抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究,则女同学甲被抽到的概率为（)A.eq\f(1，50) B.eq\f(1,10)C。eq\f(1，5) D。eq\f(1,4）解析：选C.因为在分层随机抽样中，任何个体被抽到的概率均相等，所以女同学甲被抽到的概率P＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)，故应选C.2．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人及以上概率0。110.160。30.290。10。04则至多有2人排队的概率为(）A．0。3 B．0.43C．0.57 D．0.27解析：选C.记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队"为事件C，A、B、C彼此互斥．记“至多有2人排队”为事件E，则P(E）＝P(A＋B＋C)＝P（A)＋P(B)＋P(C）＝0。11＋0.16＋0。3＝0.57。3．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a〉b，b〈c时称为“凹数"（如213，312等)，若a，b，c∈｛1,2，3，4｝，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是（)A。eq\f（1，6） B.eq\f(5,24)C.eq\f(1，3) D。eq\f(7，24)解析：选C.由1，2，3组成的三位数有123,132，213，231，312，321,共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214,241,412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431,共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342,432，423，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”;当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝eq\f(6＋2,24）＝eq\f(1，3）.4．四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的一枚硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（)A。eq\f(1，4) B。eq\f(7,16）C.eq\f(1,2) D。eq\f（9，16）解析：选B。抛四枚硬币，总的结果有16种，“没有相邻的两个人站起来"记为事件A，可分为三类：一是没有人站起来，只有1种结果:二是1人站起来，有4种结果；三是有2人站起来,可以是AC或BD,有2种结果．所以满足题意的结果共有1＋4＋2＝7种结果，P(A）＝eq\f(7,16）.故选B.5．某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0。03，则抽检一件是甲级品的概率为________．解析：记抽检的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P（A）＝1－P(B）－P(C）＝0。92。答案：0。926．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种，其中颜色相同的有3种，所以所求概率为eq\f(3，9)＝eq\f(1，3).答案：eq\f（1,3)7．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为eq\f(1，70），eq\f(1,69)，eq\f(1,68),且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．解析：依题意得，加工出来的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,70））)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1,69)）)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,68)))＝eq\f（67,70)，因此加工出来的零件的次品率是1－eq\f（67,70)＝eq\f（3，70)。答案：eq\f(3,70)8．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9，18。现采用分层随机抽样的方法从三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．(ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果;（ⅱ）设A为事件“编号A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1,2。(2）(ⅰ)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为（A1，A2）,(A1，A3)，(A1,A4)，（A1,A5)，（A1,A6),（A2，A3）,（A2，A4)，(A2，A5)，（A2，A6），（A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6），(A4，A5），(A4,A6)，(A5，A6），共15种．（ⅱ）编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为（A1,A5），（A1，A6）,（A2，A5），(A2，A6），(A3，A5)，（A3，A6），（A4,A5），(A4，A6),（A5，A6）,共9种．因此，事件A发生的概率P(A）＝eq\f(9,15)＝eq\f（3,5)。9．（2019·江西省临川第一中学期末考试）某学校为了解其下属后勤处的服务情况,随机访问了50名教职工，根据这50名教职工对后勤处的评分情况,绘制频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为［40，50)，[50，60)，…，[80，90),［90，100］．(1)估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数(结果保留到小数点后一位）；（2）从评分在［40,60）的受访教职工中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤处评分在[50，60)内的概率．解：（1）由频率分布直方图，可知（0。004＋a＋0。018＋0。022×2＋0.028）×10＝1，解得a＝0。006。设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为x0，有（0。004＋0。006＋0.022）×10＋0。028·（x0－70)＝0。5,解得x0≈76。4(分）,故该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为76.4。(2)由频率分布直方图可知，受访教职工评分在[40，50)内的人数为0。004×10×50＝2(人),受访教职工评分在［50，60)内的人数为0.006×10×50＝3（人)．设受访教职工评分在［40，50)内的两人分别为a1，a2,在[50，60)内的三人分别为b1,b2,b3,则从评分在[40,60）内的受访教职工中随机抽取2人,其样本点有(a1,a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3)，（a2,b1)，(a2，b2），(a2，b3)，(b1，b2），(b1，b3)，（b2，b3），共10个，其中2人评分至少有一人在［50，60）内的样本点有9个，故2人评分至少有1人在［50，60)内的概率为eq\f(9，10）.[B能力提升］10．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人获得一等奖的概率分别为eq\f（2,3）和eq\f（3，4），甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（)A。eq\f（3，4) B。eq\f（2,3)C.eq\f（5，7) D.eq\f(5,12)解析:选D.根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是eq\f(2，3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（3，4）)）＋eq\f(3，4)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(2，3）））＝eq\f(5，12）.故选D。11．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(）A.eq\f（2，3） B。eq\f(2,5)C.eq\f(3，5) D.eq\f（9,10)解析:选D。记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，样本点有（甲,乙，丙）、(甲,乙，丁)、(甲,乙，戊）、(甲，丙，丁)、(甲，丙,戊）、(甲，丁，戊)、(乙,丙，丁)、（乙，丙,戊)、（乙,丁,戊）、（丙，丁，戊），共10个，而事件A的对立事件eq\o（A，\s\up6(－）)仅有(丙,丁，戊）一种可能,所以事件A的对立事件eq\o（A，\s\up6(－）)的概率为P（eq\o（A,\s\up6(－)))＝eq\f（1，10），所以P（A）＝1－P（eq\o（A，\s\up6(－）)）＝eq\f(9，10)。故选D.12．甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条,则这2条棱互相垂直的概率为（)A.eq\f（22，81) B。eq\f(37，81）C.eq\f（44，81) D.eq\f(59，81）解析：选C。由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条,乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝81（种）结果，满足条件的事件是这2条棱互相垂直，所有可能情况是当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边,则共有20种结果；当甲选底面上的一条斜边时，乙有3种选法，共有2条底面的斜边,则共有6种情况；当甲选一条侧棱时,乙有6种选法，共有3条侧棱，则共有18种结果．综上所述，共有20＋6＋18＝44（种）结果，故这2条棱互相垂直的概率是eq\f(44,81).13．（2019·广东省东莞市调研测试)某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分），每多买2件再积20分（不足2件不积分)，比如某顾客购买了12件，则可积90分．为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额,并将样本数据分为[3，5)，[5，7)，[7，9），[9，11），[11,13)，[13，15)，[15，17），[17，19)，［19,21]九组，整理得到如图频率分布直方图．（1)求直方图中a的值；(2）从当天购物数额在［13，15），［15，17）的顾客中按分层随机抽样的方法抽取6人．那么，从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于240分的概率．解:(1)各组的频率分别为0.04,0。06，2a，2a，6a，0。2,2a，0。