2020高中数学 第三章 概率 章末综合检测（三）（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精章末综合检测(三）（时间：120分钟,满分：150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡（含有10个次品）中取出5个，5个全是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是(）A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①④正确．2．（2019·黑龙江省大庆中学月考）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（)A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球解析：选C.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项:在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件,故A不成立；在B中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件，故D不成立；故选C.3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数m，则事件“3m－2>0”发生的概率为(）A。eq\f(1，3) B。eq\f(2,3）C。eq\f（1,2) D.eq\f(2，5)解析：选A.因为事件3m－2〉0发生的概率为P＝eq\f（1－\f(2，3）,1－0）＝eq\f(1，3)，故选A.4．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A.eq\f（7，10） B。eq\f(5,8）C.eq\f（3,8） D。eq\f（3,10)解析：选B。记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A，则P（A）＝eq\f（25，40)＝eq\f(5,8）.5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A。eq\f(1,3) B。eq\f(1,2）C。eq\f(2，3） D。eq\f(5,6)解析：选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为eq\f(4,6）＝eq\f（2,3)。故选C.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(）A.eq\f（1，3) B.eq\f（1，2）C。eq\f(2，3) D.eq\f(3,4）解析：选A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9个,其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为eq\f(3，9)＝eq\f(1，3).7．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是（)A。eq\f(1，225） B.eq\f(3，899）C.eq\f(1，300) D.eq\f(1，450）解析：选C.三位正整数有100~999,共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28,29，共3个,故所求事件的概率为eq\f(3，900）＝eq\f(1,300）.8．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC，CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为()A。eq\f（1,6) B.eq\f（1，3）C.eq\f(2，3) D.eq\f(4，5)解析：选C.设AC＝xcm，0＜x＜12，则CB＝（12－x）cm,要使矩形面积大于20cm2,只要x（12－x）＞20，则x2－12x＋20＜0,2＜x＜10,所以所求概率为P＝eq\f(10－2，12)＝eq\f(2，3)，故选C。9．小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略)，若弹珠到圆心的距离大于eq\f（1,2）,则周末去逛公园;若弹珠到圆心的距离小于eq\f(1，4)，则去踢足球；否则，在家看书．则小明周末不在家看书的概率为()A。eq\f（1，2） B。eq\f（1,6）C。eq\f(13，16） D。eq\f（5，12）解析：选C.由题意画出示意图，如图所示．表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为eq\f(π（\f（1，2)）2－π(\f(1，4））2,π）＝eq\f(3,16)，因此他不在家看书的概率为1－eq\f(3,16)＝eq\f(13，16),故选C.10．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2,3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x,y），那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为（）A.eq\f(1,6) B。eq\f（1，9）C。eq\f(1，12） D。eq\f(1,18)解析：选C。根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x，y)的情况有36种,即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，即（x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2,4），（1，3），（3，3)共3个,因此满足条件的概率为eq\f(3,36）＝eq\f（1，12）。11．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌（事件A）的概率为eq\f（1，4），取到方片牌（事件B)的概率是eq\f(1，3），则取到红色牌（事件C)的概率和取到黑色牌（事件D）的概率分别是（）A.eq\f(7，12），eq\f（5，12) B。eq\f(5，12），eq\f（7,12）C.eq\f(1,2），eq\f(1,2） D.eq\f(3，4)，eq\f(2，3）解析：选A.因为C＝A＋B,且A,B不会同时发生，即A,B是互斥事件，所以P（C）＝P(A)＋P（B）＝eq\f(1，4）＋eq\f（1，3)＝eq\f(7,12).又C,D是互斥事件,且C＋D是必然事件，所以C，D互为对立事件，则P(D)＝1－P(C）＝1－eq\f（7,12）＝eq\f（5,12）。12．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(）A.eq\f（1,10) B。eq\f(3,10）C。eq\f（3，5) D。eq\f（9,10）解析：选D.记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1,b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有(a1,a2，a3），（a1，a2,b1)，（a1，a2，b2），（a1，a3，b1)，（a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，（a1,b1，b2)，（a2，b1，b2)，(a3，b1,b2),共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件eq\o(A，\s\up10(－）)表示“所取的3个球中没有白球”，则事件eq\o（A，\s\up10(－)）包含的基本事件有1个：(a1，a2，a3）．所以P（eq\o(A，\s\up10(－）)）＝eq\f(1,10).故P(A)＝1－P（eq\o(A,\s\up10(－）））＝1－eq\f（1,10）＝eq\f（9，10).二、填空题:本题共4小题，每小题5分．13．在区间［－2，4］上随机地取一个数x，若x满足|x｜≤m的概率为eq\f(5，6)，则m＝________．解析：显然m〉2，由几何概型知eq\f(5，6)＝eq\f(m－（－2），6)，得m＝3。答案：314．（2019·广西玉林市期末考试）在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和小于eq\f(4,5)的概率是________．解析：设取出的两个数为x，y，则eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(0<x<1，0〈y<1）），若这两数之和小于eq\f(4,5），则有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（0〈x〈1,0<y<1,x＋y<\f(4，5)）)，根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（0〈x<1,0<y〈1,x＋y〈\f（4，5））)表示的区域与eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(0〈x<1,0〈y〈1））表示区域的面积之比问题,如图所示．易得其概率为eq\f(\f(1，2）×\f（4,5)×\f(4，5),1×1)＝eq\f(16，50）＝eq\f(8，25).答案：eq\f（8，25）15．若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为________．解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙），（甲，丙，乙）,（乙，甲,丙），(乙，丙,甲），（丙,甲，乙）,（丙，乙，甲)，共6种．甲,乙相邻而站有（甲,乙，丙)，(乙，甲,丙），(丙，甲，乙）,(丙，乙，甲），共4种．所以甲，乙两人相邻而站的概率为eq\f（4，6）＝eq\f（2，3).答案：eq\f（2,3)16．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(9，10)，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．解析:因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球,共有10种情况，没有得到白球的概率为eq\f(1，10),设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球,得到的都是白球的概率为eq\f(3,10）.答案：eq\f（3,10）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数,计算下列事件的概率．(1）所得的三位数大于400；(2)所得的三位数是偶数．解：1,5,6三个数字可以排成156，165,516，561，615，651，共6个不同的三位数．(1）大于400的三位数的个数为4,所以P＝eq\f(4，6)＝eq\f(2，3)。(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以相应的概率为P＝eq\f(2,6）＝eq\f（1,3).18．（本小题满分12分)(2019·湖北省荆州中学期末考试)某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A，B，C刚好是边长为3cm的等边三角形的三个顶点．（1)第四次射击时,该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外),则此次射击的着弹点距A，B,C的距离都超过1cm的概率为多少？(弹孔大小忽略不计）（2）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间［7。5，8.5)内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9。5，10。5)内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩(记为a和b)进行技术分析．求事件“|a－b|〉1”的概率．解：(1)因为着弹点若与A，B,C的距离都超过1cm,则着弹点就不能落在分别以A,B，C为中心,半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在图中阴影部分内．因为S△ABC＝eq\f(1,2）×3×3sin60°＝eq\f(9\r(3），4)，图中阴影部分的面积为S′＝S△ABC－3×eq\f(1,2）×12×eq\f（π，3)＝eq\f（9\r（3），4)－eq\f（π，2），故所求概率为P＝eq\f（S′，S△ABC）＝1－eq\f(2\r（3）π，27)。(2）前三次射击成绩依次记为x1,x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：（x1，x2),(x1,x3)，(x2，x3），(y1，y2),（y1，y3),(y2，y3)，(x1,y1），（x1，y2),（x1，y3），（x2，y1)，(x2，y2)，（x2，y3)，（x3，y1),（x3，y2），（x3,y3)，共15个，其中可使｜a－b｜〉1发生的是后9个基本事件，故P（｜a－b｜>1)＝eq\f（9，15）＝eq\f(3，5）.19．(本小题满分12分）（2018·高考北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0。40.20。150。250.20。1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0。1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论）解：（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.故所求概率为eq\f（50,2000）＝0.025。(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0。4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0。25＋800×0。2＋510×0。1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－eq\f(372,2000）＝0.814.（3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．20．（本小题满分12分）（2019·河北省枣强中学期末考试)质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y,z，用综合指标Q＝x＋y＋z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1，1，2）(2，1,2）(2，2，2）(1，3，1）（1，2,3）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x,y，z)(1，2，2)（2，3，1)（3,2，1）（1，1，1)（2,1，1）(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．解:(1）计算10件产品的综合指标Q，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10Q4565656634其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9,A10共6件，故该样本的一等品率为eq\f(6,10）＝0。6，从而估计该批产品的一等品率为0。6。（2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为（A1,A2），（A1，A4)，（A1，A6），（A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A4)，（A2，A6)，（A2,A9）,（A2，A10），（A4,A6),（A4，A9），（A4，A10），（A6，A9)，(A6，A10），（A9,A10)共15种．在该样本的一等品中，综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A1，A9，A10，则事件B发生的所有可能结果为（A1，A9)，(A1，A10）,（A9,A10)共3种，所以P（B）＝eq\f（3，15)＝eq\f(1,5）。21．(本小题满分12分)（2019·辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为[20，25）,［25,30)，［30，35），［35,40），［40，45］）．(1）求选取的市民年龄在［40,45]内的人数;（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在［35，40)内的概率．解:(1）由题意可知，年龄在［40，45］内的频率为P＝0。02×5＝0.1，故年龄在［40，45］内的市民人数为200×0.1＝20。(2)易知，第3组的人数,第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，所以用分层抽样的方法在第3,4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3，4组中分别抽取3人，2人．记第3组的3名市民分别为A1，A2，A3，第4组的2名市民分别为B1，B2,则从5名中选取2名做重点发言的所有情况为(A1，A2），（A1，A3)，(A1,B1)，（A1,B2)，(A2，A3）,（A2,B1），(A2，B2)，(A3，B1），（A3，B2)，（B1，B2)，共有10种．其中第4组的2名B1，B2至少有一名被选中的有：(A1，B1)，(A1，B2），（A2，B1)，(A2，B2)，(A3,B1)，(A3，B2)，（B1，B2），共有7种，所以至少有一人的年龄在［35,40）内的概率为eq\f（7,10).22．（本小题满分12分）（2019·安徽省黄山市期末考试）如图，森林的边界是直线l,图中阴影部分是与l垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点A和点B处，其中AB＝BC＝1km,现兔子随机的沿直线AD，以速度2v准备越过森林边界l逃入森林，同时，狼沿线段BM以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M