高一数学：5-1-2 弧度制（分层练习）

5.1.2弧度制基础练 巩固新知夯实基础 1．下列各命题中，真命题是()A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧B．1弧度是长度等于半径的弧C．1弧度是1°的弧与1°的角之和D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角2．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A．－eq\f(π,4)－8πB．eq\f(7,4)π－8πC．eq\f(π,4)－10πD．eq\f(7,4)π－10π3．－240°化为弧度是()A．－eq\f(4,3)πB．－eq\f(5,3)πC．－eq\f(7,4)π D．－eq\f(7,6)π4．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则()A．扇形的圆心角大小不变B．扇形的圆心角增大到原来的2倍C．扇形的圆心角增大到原来的4倍D．扇形的圆心角减小到原来的一半5．设角α＝－2弧度，则α终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3,4)πB．－2πC．π D．－π7．若α∈(0，π)，且α与角－eq\f(5π,3)终边相同，则α＝________．8．若角θ的终边与eq\f(8π,5)角的终边相同，则在[0,2π]内终边与角eq\f(θ,4)的终边相同的角是．9．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(π,3).(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～－180°范围内找出与它们终边相同的所有角．能力练综合应用核心素养10．若角α与角x＋eq\f(π,4)有相同的终边，角β与角x－eq\f(π,4)有相同的终边，那么α与β间的关系为()A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)11．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为()A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2 D．80cm212．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是()A．eq\f(1,2)(2－sin1cos1)R2 B．eq\f(1,2)R2sin1cos1C．eq\f(1,2)R2 D．(1－sin1cos1)R213．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是．14．如果圆心角为eq\f(2π,3)的扇形所对的弦长为2eq\r(3)，则扇形的面积为．15．已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为．16．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R．(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是30cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【参考答案】1.D解析根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误，D正确．2.D解析－1485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为eq\f(7π,4)－10π，选D．3.A解析－240°＝－240×eq\f(π,180)＝－eq\f(4,3)π.4.A解析设扇形原来的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则变化后半径为2r，弧长为2l，圆心角为β，∴α＝eq\f(l,r)，β＝eq\f(2l,2r)＝eq\f(l,r)＝α，即扇形的圆心角大小不变．5.C解析∵－π<－2<－eq\f(π,2)，∴2π－π<2π－2<2π－eq\f(π,2)，即π<2π－2<eq\f(3,2)π，∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角．6.A解析∵－eq\f(11,4)π＝－2π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π))＝2×(－1)π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π))，∴θ＝－eq\f(3,4)π.7.eq\f(π,3)解析－eq\f(5π,3)＝－2π＋eq\f(π,3)，故α＝eq\f(π,3)．8.eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)解析∵θ＝eq\f(8π,5)＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(θ,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.当k＝0,1,2,3时，eq\f(θ,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)且eq\f(θ,4)∈[0,2π]．9.解(1)α1＝－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6).故α1＝－eq\f(19π,6)，α2＝eq\f(25π,6)，α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，β2＝－eq\f(π,3)＝－eq\f(1,3)×180°＝－60°.设θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)，θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)，则由－720°≤θ1<－180°(k∈Z)，－720°≤θ2<－180°(k∈Z)，即－720°≤108°＋k1·360°<－180°(k1∈Z)，－720°≤－60°＋k2·360°<－180°(k2∈Z)，得k1＝－2，－1，k2＝－1.故在－720°～－180°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°.10.D11.B解析∵72°＝eq\f(2π,5)，∴S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,5)×202＝80π(cm2)．12.D解析∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝eq\f(l,R)＝2．∵S弓形＝S扇形－S△＝eq\f(1,2)αR2－eq\f(1,2)(2Rsineq\f(α,2))·(Rcoseq\f(α,2))＝eq\f(1,2)×2×R2－R2sin1·cos1＝R2(1－sin1cos1)．13.2eq\r(3)解析设圆的半径为r，其外切正三角形的边长为a，则r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×a＝eq\f(\r(3),6)a，又弧长为a，所以圆心角为α＝eq\f(a,r)＝eq\f(a,\f(\r(3),6)a)＝eq\f(6,\r(3))＝2eq\r(3).14.eq\f(4π,3)解析如图，作BF⊥AC.已知AC＝2eq\r(3)，∠ABC＝eq\f(2π,3)，则AF＝eq\r(3)，∠ABF＝eq\f(π,3).∴AB＝eq\f(AF,sin∠ABF)＝2，即R＝2.∴弧长l＝|α|R＝eq\f(4π,3)，∴S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(4π,3).15.α<β<γ<θ＝φ解析方法一(化为弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12)，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12).显然eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12)，故α<β<γ<θ＝φ.方法二(化为角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.显然15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.16.解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10(cm)，∴l＝αR＝eq\f(10π,3)(cm)．S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－2×eq\f(1,2)×10×sineq\f(π,6)×10×coseq\f(π,6)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))(cm2)．(2)由l＋2R＝30，∴l＝30－2R，从而S＝eq\f(1,2)·l·R＝eq\f(1,2)(30－2R)·R＝－R2＋15