2022-2023学年人教A版必修第一册 3-4 函数的应用(一) 学案

3．4函数的应用(一)[新课程标准][新学法解读]1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要性．2．会利用已知函数模型解决实际问题.通过本节课的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.[笔记教材]知识点一一次函数、二次函数的性质1．一次函数y＝kx＋b的单调性由k的符号决定．当________时，单调递增；当________时，单调递减．答案：k＞0k＜02．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，对称轴方程为________，当________时，单调递减；当________时，单调递增，值域为________．答案：x＝－eq\f(b,2a)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))知识点二“对勾”函数y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的性质函数y＝x＋eq\f(a,x)的图象如图，单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案：(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)(－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a))一次函数、二次函数的应用[典例1]某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系(图象如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式．(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为s元．①求s关于x的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．解：(1)由题图可知，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(600,400)，(700,300)，将其代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400＝k×600＋b，,300＝k×700＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝1000，))所以y＝－x＋1000(500≤x≤800)．(2)①由(1)知：s＝xy－500y＝(－x＋1000)(x－500)＝－x2＋1500x－500000(500≤x≤800)．②由①可知，s＝－(x－750)2＋62500，此函数图象开口向下，对称轴为x＝750.所以当x＝750时，smax＝62500.即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．[巧归纳]形如y＝kx＋b(k≠0)的函数是一次函数；当k≠0，b＝0时，为正比例函数；当k＞0时，函数为增函数，当k＜0时，函数为减函数；涉及直线与直线的交点问题常联立方程组求解．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，因此k的取值确定了直线的方向，b的取值确定了直线在y轴上的截距．同时，直线的特征也确定了k，b的取值，总之要达到“数”与“形”的统一，做到“数中含形，形中蕴数”．[练习1](1)从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第k次后，前k次共倒出纯酒精x升，倒完第k＋1次后，前k＋1次共倒出纯酒精f(x)升，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝eq\f(4,5)(x＋2)B．f(x)＝eq\f(1,5)x＋2C．f(x)＝eq\f(4,5)x＋2D．f(x)＝eq\f(1,5)x答案：C解析：∵第k次时共倒出了纯酒精x升，∴第k次倒出后容器中含纯酒精为(10－x)升，第k＋1次倒出的纯酒精是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－x,10)·2))升，所以倒出第k＋1次时，共倒出了纯酒精f(x)＝x＋eq\f(10－x,10)·2＝eq\f(4,5)x＋2，故选C.(2)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．答案：43解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N*)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－eq\f(1,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,2)))2＋eq\f(1,10)×eq\f(212,4)＋32.因为x∈[0,16]且x∈N*，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.“对勾”函数的应用[典例2]为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－50x＋900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．(1)当x∈[10,15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解：(1)根据题意，得利润P和处理量x之间的关系：P＝(10＋10)x－y＝20x－x2＋50x－900＝－x2＋70x－900＝－(x－35)2＋325，x∈[10,15]．∵x＝35∉[10,15]，P＝－(x－35)2＋325在[10,15]上为增函数，可求得P∈[－300，－75]，∴国家最少补贴75万元，该工厂才不会亏损．(2)设平均处理成本为Q＝eq\f(y,x)＝x＋eq\f(900,x)－50≥2eq\r(x·\f(900,x))－50＝10，当且仅当x＝eq\f(900,x)时等号成立，由x＞0得x＝30.因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少，为10万元．[巧归纳]“对勾”函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)，在具体应用问题中常考察最值的取得，当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝f(eq\r(a))＝2eq\r(a).实际问题中一定要结合自变量的取值区间判断单调性．[练习2]有一个养殖户需借助一堵墙，围成一个矩形的养鸡场地，面积为32m2，使用铁丝网围成，则至少需要这样的铁丝网多少米？解：可作草图如图.设矩形场地长为xm，宽为eq\f(32,x)m，则总长度y＝x＋eq\f(64,x)，x∈(0，＋∞)，易知当x＝8时，y最小值＝16，故至少需要16m长的铁丝网.分段函数模型的应用[典例3]经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t0≤t≤10，,25－\f(1,2)t10<t≤20))(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．解：(1)由已知，由价格乘销售量可得：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t))80－2t0≤t≤10，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,2)t))80－2t10<t≤20，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋3040－t0≤t≤10，,50－t40－t10<t≤20，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋10t＋12000≤t≤10，,t2－90t＋200010<t≤20.))(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5]上单调递增，在t∈(5,10]上单调递减，∴ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)；②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，函数图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]单调上递减，∴ymax＝1200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．[巧归纳]1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．[练习3]点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为10的等腰梯形运动到点C(如图)，该等腰梯形的上底是下底的一半，且∠AOC＝60°.记O，P两点连线扫过的面积y(图中阴影部分)与点P走过的路程x之间的关系为函数f(x)，则函数f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x∈[0，4，,\r(3)x－4，x∈[4，6，,\f(\r(3),2)x－2，x∈[6，8].))解析：由题可知OA＝4，AB＝OC＝2，BC＝2，即当0≤x＜4时，f(x)＝0；当4≤x＜6时，f(x)＝eq\r(3)(x－4)；当6≤x≤8时，f(x)＝eq\f(\r(3),2)(x－2)．即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x∈[0，4，,\r(3)x－4，[4，6，,\f(\r(3),2)x－2，x∈[6，8].))1．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元)之间满足如下关系式：y＝－10x＋500(20＜x≤40且x∈N)．则灯具商店每月的最大利润为()A．3000元 B．4000元C．3800元 D．4200元答案：B解析：设灯具商店每月的利润为z元，则z＝(x－10)(－10x＋500)＝－10(x－30)2＋4000≤4000，故选B.2．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝eq\f(1,2)x2－200x＋80000，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为()A．200吨 B．300吨C．400吨 D．600吨答案：C解析：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低．故选C.3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，,2x＋10，10＜x＜100，,1.5x，x≥100，))x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．答案：75解析：令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，满足题意；若1.5x＝160，则x＝eq\f(320,3)∉N*，不合题意．故拟录用人数为75.故答案为75.4．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案：160解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为eq\f(4,x)m，依题意，得y＝20×4＋10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2×4,x)))＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x))