2022-2023学年人教A版必修第一册 4-4-3 不同函数增长的差异 学案

第3课时不同函数增长的差异[新课程标准][新学法解读]1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具．2．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．3．比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.通过本节内容的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模等素养.[笔记教材]知识点三种常见函数增长的差异比较三种函数模型的性质，填写下表.函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性________________________图象的变化随x的增大逐渐变“______”随x增大逐渐趋于________随n值而不同增长速度ax的增长________xn的增长，xn的增长________logax的增长增长后果总存在一个x0，当x>x0时，就会有________答案：增函数增函数增函数陡稳定快于快于ax>xn>logax[自我排查]1．有一组试验数据如表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是()A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案：B解析：由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C不正确．取x＝2.01，代入A选项，得y＝2x＋1－1＞4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3＞8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B．2．下列四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，xn＞logaxC．对任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax答案：D解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．故选D．函数模型间的增长差异三个函数增长速度比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)答案：B解析：当x＞4时，指数函数的增长速度最快，对数函数的增长速度最慢，故选B．(2)如图是四个不同形状，但高度均为H的玻璃瓶．已知向其中一个水瓶注水时，注水量与水深的函数关系如图所示，试确定水瓶的形状是图中的()答案：B[巧归纳]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速率介于指数增长和对数增长之间．[练习1]当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝2021x B．y＝log100xC．y＝x2021 D．y＝100x答案：D解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快，故选D．根据函数增长差异确定图象并比较大小[典例2]四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是()A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝eq\r(x)，d：y＝2－xB．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝eq\r(x)C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝eq\r(x)，d：y＝2－xD．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝eq\r(x)答案：C解析：根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数．b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数．[巧归纳]1．解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．2．体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．[练习2]已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．解：a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(x)在[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9.根据函数增长差异选择函数模型[典例3]假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象，如图所示：由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．根据图象可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：123456一4080120160200240二103060100150210三0.41.22.8612.425.2续表7891011一280320360400440二280360450550660三50.8102204.4409.4818.8因此，投资1～6天，应选择方案一﹔投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三．[巧归纳]不同的函数增长模型描述增长速度的差异(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[练习3]某化工厂开发研制了一种新产品，前三个月的月生产量依次为100t,120t，130t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解：根据题意可列方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a＋b＋c＝100，,f2＝4a＋2b＋c＝120，,f3＝9a＋3b＋c＝130，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝35，,c＝70.))所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①同理可得y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②再将x＝4分别代入①式与②式，得f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)，与f(4)相比，g(4)在数值上更接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．1．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x答案：B解析：解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象(图象略)，所以x2＞2x＞log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法，可取x＝3，经检验易知选B．2．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示.x(h)0123细菌数y(个)30060012002400据此表可推测实验开始前2h的细菌数为()A．75个B．100个C．150个D．200个答案：A解析：观察可知，细菌数y与时间x之间的函数模型为y＝300×2x，则当x＝－2时，y＝75，故选A．3．在y＝2x，y＝log2x，y＝x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＞eq\f(fx1＋fx2,2)恒成立的函数有()A．3个B．2个C．1个D．0个答案：C解析：当0＜x1＜x2＜1时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＞eq\f(fx1＋fx2,2)恒成立，即f(x)在区间(0,1)上的函数图象是“上凸”的．y＝2x与y＝x2在区间(0,1)上的函数图象是“下凹”的，而y＝log2x在区间(0,1)上的函数图象是“上凸”的．因此，只有函数y＝log2x符合题意．4．如图，记录了一种叫朱瑾的植物生长时间t(t≥1)年，与树高y(米)之间的散点图．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型可能是()A．y＝t B．y＝2tC．y＝t2 D．y＝log2t＋0.2答案：D解析：由图象增长特征可知，函数模型应该是缓慢增长的，故BC不符合题意；选项A中，函数y＝t过点(1,1)，而散点图显然不过该点，且即使是直线模型斜率也小于1，故A不符合题意；选项D中，对数型函数增长缓慢，过点(1,0.2)，符合题意．故选D．5．有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金m(万元)的关系式为p＝eq\f(1,5)m，q＝eq\f(3,5)eq\r(m).今有3万元资金投入这两种商品．若设甲商品投资x万元，投资两种商品所获得的总利润为y万元．(1)写出y关于x的函数表达式．(2)如何分配资金可使获得的总利润最大？并求最大利润的值．解：(1)由题意知，对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，则对乙种商品的投资为(3－x)万元，所以y＝eq\f(1,5)x＋eq\f(3,5)·eq\r(3－x)(0≤x≤3)．(2)令t＝eq\r(3－x)(0≤t≤eq\r(3))，则x＝3－t2，所以y＝eq\f(1,5)(3－t2)＋eq\f(3,5)t＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2＋eq\f(21,20)，所以当t＝eq\f(3,2)时，ymax＝eq\f(21,20)＝1.05(万元)．由t＝eq\r(3－x)＝eq\f(3,2)可求得x＝0.75(万元)，3－x＝2.25(万元)，所以为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，此时获得最大利润为1.05万元．课后自读方案[误区警示]解决图表信息问题没能理解题意致误[示例]如图所示，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播，若D是弧DFE与x轴的交点，设OD＝x(0≤x≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图象大致是()[答案]A[解析]从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到点C之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达点C之后且离开点A之前，因为OA∥B