2023年福建省泉州一中高三第六次模拟考试数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则的值构成的集合是（）A． B． C． D．2．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为()A． B．C． D．3．已知函数（）的最小值为0，则（）A． B． C． D．4．把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出下列四个命题①的值域为②的一个对称轴是③的一个对称中心是④存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点6．设函数，则使得成立的的取值范围是（）．A． B．C． D．7．若的展开式中的系数为150，则（）A．20 B．15 C．10 D．258．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为1，输出的的值为（）A． B． C． D．9．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点，点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（）A． B． C． D．10．已知，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则（）A． B．4 C．5 D．11．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域为____.14．在中，角的对边分别为，且，若外接圆的半径为，则面积的最大值是______.15．在的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为-64，则实数的值为__________.16．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2=____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．18．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.19．（12分）已知函数和的图象关于原点对称，且．（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数.（1）若，求证：.（2）讨论函数的极值；（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.21．（12分）已知，（其中）.(1)求；(2)求证：当时，．22．（10分）已知函数，.（Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数，并证明；（Ⅱ）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【答案解析】

对分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.【题目详解】为偶数时，；为奇数时，，则的值构成的集合为.【答案点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.2．C【答案解析】

根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.【题目详解】因为，且的图象经过第一、二、四象限，所以，，所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，又，，则|，即，所以.故选：C.【答案点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.3．C【答案解析】

设，计算可得，再结合图像即可求出答案.【题目详解】设，则，则，由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，结合图像，，得，所以.故选：C【答案点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.4．C【答案解析】

由图象变换的原则可得,由可求得值域；利用代入检验法判断②③；对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.【题目详解】由题,,则向右平移个单位可得,,的值域为,①错误；当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确；当时,,所以的一个对称中心是,③正确；,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【答案点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.5．A【答案解析】

根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【题目详解】,，,又，,平面,又平面，故在以为直径的圆上，又是内异于的动点，所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【答案点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.6．B【答案解析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.【题目详解】由题意知：定义域为，，为偶函数，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，由得：，解得：或，的取值范围为.故选：.【答案点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.7．C【答案解析】

通过二项式展开式的通项分析得到，即得解.【题目详解】由已知得，故当时，，于是有，则.故选：C【答案点睛】本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．B【答案解析】

根据循环语句，输入，执行循环语句即可计算出结果.【题目详解】输入，由题意执行循环结构程序框图，可得：第次循环：，，不满足判断条件；第次循环：，，不满足判断条件；第次循环：，，满足判断条件；输出结果.故选：【答案点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.9．B【答案解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.【题目详解】由题意，当时，P与A重合，则与B重合，所以,故排除C,D选项；当时，，由图象可知选B.故选：B【答案点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.10．D【答案解析】

由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出，结合余弦定理即可求出的值.【题目详解】解：，即，即.，则.，解得.，故选:D.【答案点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角的正弦值余弦值.11．B【答案解析】

求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【题目详解】由题意,对应点坐标为，在第二象限．故选：B．【答案点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．12．C【答案解析】

根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【题目详解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b⇒logab＜1，logab＜1⇒a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要条件，故选C．【答案点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】由题意得，解得定义域为．14．【答案解析】

由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围可求的值，利用正弦定理可求的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.【题目详解】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，即，可得：，外接圆的半径为，，解得，由余弦定理，可得，又，（当且仅当时取等号），即最大值为4，面积的最大值为.故答案为：.【答案点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．15．3或-1【答案解析】

设，分别令、，两式相减即可得，即可得解.【题目详解】设，令，则①，令，则②，则①-②得，则，解得或.故答案为：3或-1.【答案点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算能力，属于中档题.16．【答案解析】

根据二项展开式的通项公式即可得结果.【题目详解】解：(2x-1)7的展开式通式为：当时，，则.故答案为：【答案点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【答案解析】试题分析：（1）取中点，连，，由等边三角形三边合一可知，，即证．（2）以，，为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：连，，则和皆为正三角形．取中点，连，，则，，则平面，则（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，因为，，所以取面的法向量取，则，平面与平面所成的锐二面角的余弦值．18．（1）（2）9060元【答案解析】

(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2)任选一天，设该天的经济损失为元，分别求出，，，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.【题目详解】解：（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则.（2）任选一天，设该天的经济损失为元，则的可能取值为0，220，1480，，，，所以（元），故该企业一个月的经济损失的数学期望为（元）.【答案点睛】本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.19．（1）（2）【答案解析】试题分析：（1）由函数和的图象关于原点对称可得的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对，不等式成立等价于，去绝对值得不等式组，即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）∵函数和的图象关于原点对称，∴，∴原不等式可化为，即或，解得不等式的解集为；（2）不等式可化为：，即，即，则只需，解得，的取值范围是.20．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【答案解析】

（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.【题目详解】（1），，，当时，，当时，，∴，故.（2）由题知，，，①当时，，所以在上单调递减，没有极值；②当时，，得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.故在处取得极小值，无极大值.（3）不妨令，设在恒成立，在单调递增，，在恒成立，所以，当时，，由（2）知，当时，在上单调递减，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.当时，，由（1）知在上单调递减，所以，不满足题意.当时，设，因为，所以，，即，所以在上单调递增，又，所以时，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此时的最小值是1.【答案点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.21．（1）（2）见解析【答案解析】

(1)取，则；取，则，∴；(2)要证，只需证，当时，；假设当时，结论成立，即，两边同乘以3得：而∴，即时结论也成立，∴当时，成立.综上原不等式获证.22．（Ⅰ）函数在区间上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析【答案解析】

（Ⅰ）根据题意，，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论在区间的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；（Ⅱ）