确定角范围的七种方法

Word-5-确定角范围的七种方法

2确定角范围的七种办法由于点B是钝角β2的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐·标是，所以sinβ＝，cosβ72＝－，101010四川·成都陈玉华72－三角函数的求值问题是高考考查的热点，而求值问题的关键是确定角的范围，也惟独确定了角的范围，才干判所以cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ5252＝×1010＋×＝－.551010断三角函数值的符号，进而正确求值，本文给出确定角的范围的七种办法，供大家参考.2由于sinα255＝，cosα＝，cosα0－β1＝－，

一、按照所给角的范围确定551072－例1已知4，，求2的范围.sinα－β＝sinαcosβ3－cosαsinβ2552＝×1010－×＝－，33551010解设2mn，则2mnmn.所以sin2α－β＝sin[α＋α2－β]＝sinαcosα－β＋cosαsinα－β＝－，21mn2m比较两边系数得，解得πππ225，.所以213.mn1由于α2，π为锐角，sinα＝，所以α∈42，所以2α∈2，n322522π，πππ－，4又β∈2，所以2α－β∈22，而，且，可得2.336π所以2α－β＝－.4评析本题利用待定系数，结合整体思想，用与整体表示2，按照不等式性质，正确求出2的范围.若利用已知条件分离求α、β的范围，然后再求2的范围，这样所求得的2范围比实际范围要大，

三、按照三角函数的单调性确定则产生错解.3例3已知，（0s1，），且sinin，coscos，求α－β的值.

二、按照三角函数值确定利用特别值与特别角缩小范围222例21sis1已知（0，），且sincos，求cos2的值.2nin解由条件知2两式平方相加得112cos1，所以cos1.因，（0，），122解由sincosi3，可得sn2，可知α不能是锐角或直角，所以.cos3sco24221所以.又sinsin0，知sinsin，所以，即

0.由上可得sin|cos|3，37由条件易得，可知即2，故cos2.22222424.3评析如图所示，若0，则1sincos23；若，则0≤sincos31；若，2244评析本题按照已知条件，得.若到此为止，则产生错解.因此应进一步通过正弦函则1sincos0；若37，则23sinα＋cosα≤－1；若，则1sincos0；2232247数在区间上的单调性得，从而将α－β的范围缩小为α－β0，问题就迎刃而解了.若2，则0sincosα≤

1.通过上述结论可迅速断定本题中α的范围.240π，跟踪练习已知α，β，γ∈2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是跟踪练习如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单A．cosβ－α1＝B．cosβ－α1＝C．β－αππ＝－D．β－α＝2333位圆O分离交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S52△OAM＝，点B的纵坐标是.510解析由题意知，sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，1求cosα－β的值；将两式分离平方后相加，得1＝sinβ－sinα2＋cosα－cosβ2＝2－2sinβsinα＋cosβcosα，2求2α－β的值．1∴cosβ－α＝，即选项A正确，B错误；2解1由题意知，|OA|＝|OM|＝1，由于S1|OA|·|OM|sinα5△OAM＝＝，所以sinα255＝，又α为锐角，所以cosα＝.25550π，∵γ∈2，∴sinγ＝sinβ－sinα0，第1页共2页0π，∴βα，而α，β∈2，∴0β－απ，∴β－απ＝，23即选项D正确，C错误．

四、结合三角形中角的范围确定例4c在锐角△ABC中，a、b、c分离是内角A、B、C所对应的边，若C=2B，则的范围是（）bA.（0，2）B.（2，2）C.（2，3）D.（1，3）csinCsin2B解因C=2B，由正弦定理知2cosBc，所以把求的范围转化为求2cosB的范围，进而转化bsinBsinBb为求B的范围.由△ABC为锐角三角形，知0B2第2页共2页，而0C2B，且0A3B解得B..故选C.2264评析本题若仅考虑0B2，则错选A.因而应按照条件全面考虑A、B、C均为锐角，从而确定B的范围.

五、通过角的互相制约举行确定例5已知△ABC中，33Bsin2Acos41Bcos2Asin4，，求C的大小.解由已知33Bsin2Acos41Bcos2Asin4，，平方相加得21Csin，所以C=30°或C=150°.由，可知，得21Bcos0Bcos21Asin4B60°在△ABC中，0°C120°，故C=30°.评析本题由21Csin，知C的值不唯一，因此推断C的范围就成了解决问题的关键.而已知条件中仅含有A、B，因此可推断其中某一个角（例如B）的范围，从而间接求得C的范围.跟踪练习2022·阜阳模拟设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin2α－β＋sinα－2β的取值范围为．解析由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sinα－β＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝π2，∴0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，∴sin2α－β＋sinα－2β＝sin2α－α＋π2＋sinα－2α＋π＝cosα＋sinα＝2sinα＋π

4.∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4，∴－1≤2sinα＋π4≤1，即sin2α－β＋sinα－2β的取值范围为[－1，1]．

六、通过方程解的状况确定例6已知方程01a3ax4x2（a1）的两根为tanα，tanβ，且α，β），（22，求2tan的值.解由韦达定理可得1a3tantana4tantan，∴341a31a4tantan1tantantan∴212tan22tan342tan12tan22或，解得又a1，故tanα，tanβ同为负值，可知02，，∴），（），即，（0220可得22tan02tan，故评析本题按照a1，结合韦达定理推断两根tanα，tanβ的符号，从而获得α，β的精确     范围.若不注重对角的范围挖掘，易得出两个答案，从而造成错解.

七、通过数形结合确定角的范围例7若），则（20tancossin（）A.），（60B.），（46C.），（34D.），（23分析α的范围是由已知三角方程确定，但解这个方程又超出了高中数学的范围.因此可通过α所在的范围内，有这样的α值使得方程成立的这一原理，利用估值选出正确答案，或通过数形结合的办法解决.解设xtanxg4xsin2xcosxsinxf