三角形证明讲义

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小巨人学科教师指导讲义

学生:谢仲铖教师:赵常巨日期:2015/3/14家长署名：

课题三角形的证明

可以证明与三角形,线段的垂直均分线，角均分线等相关的性质及判判断理。

讲课目标2.理解抗命题的看法，会鉴别互抗命题，并知道原命题建立其抗命题不用然建立。

尺规作图等腰三角形，角均分线，线段的垂直均分线。

要点是研究证明的思路和方法；要点、难点难点是正确地表达推理证明的过程或相关计算。

本章内容在历年中考中主要观察等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段的垂直均分

考点及考试要求线，角均分线的性质。这些内容还常常与三角形全等，相似等内容联合在一起综合观察，主要以证明题的形式出现。

讲课内容

温故知新

1、两边及其________对应相等的两个三角形全等（SAS）；

2、两角及其________对应相等的两个三角形全等（ASA）；

3、________对应相等的两个三角形全等（SSS）；

4、________及此中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；

5、全等三角形的对应边________,对应角________。

6、有__________的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做____，两腰的夹角叫做_____，腰与底边的夹角叫做

________，____________________________的三角形叫做等边三角形。

回顾课本

已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC

求证：∠B=∠C(提示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？)

A

BC

归纳：1、等腰三角形性质定理：（简称“等边相同角”）；

推理格式：∵AB=AC，∴_________（等边相同角）

2、推论（三线合一）：；

推理格式：

①∵AB=AC,AD⊥BC,②∵AB=AC,BD=DC,③∵AB=AC,___均分____,

∴BD=DC,AD均分_____,∴___⊥___,___均分_____,∴________________,

1、等腰三角形的两边分别是7cm和3cm，则周长为____。A~~~123BDC~

2、如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC，∠BAC=100°。求：∠1、∠B的度数。

3、如图，已知∠D=∠C，∠A=∠B，且AE=BF。求证：AD=BC。DC

AEFB

4、如图，在△ABC中，D为AC上一点，而且AB=AD，DB=DC，若∠C=29°，求∠A。

A

D

BC

5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC。求证：∠1=∠2。A

E2F1BDC

总结一下：

1、等腰三角形性质定理：（简称“等边相同角”）；

2、推论（三线合一）：

~~~~

第二篇章

1、如图，E是△ABC内的一点，AB=AC，连接AE、BE、CE，且BE=CE，延长AE，交BC边于点D。求证：AD⊥BC。

A

E

BDC

2、已知：如图，点D,E在三角形ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE

3、已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C,求证：AB=AC（提示：构造两个全等三角形证明）

A

归纳：1、有两个角相等的三角形是______三角形。（简称“等角相同边”）BC推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角相同边)2、反证法证明问题的一般步骤：从结论的_出发，先假设命题的结论__，此后推出与定义、公义、已证定理或已知条件相__的结果，从而证明命题的结论必定建立。这类证明方法称为____。1、用反证法证明：在一个三角形中，最稀有一个内角小于或等于60°。

~~~~

2.如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。DE

A

BC

如图，在ABC中，∠ABC的均分线交AC于点D，DE∥BC。求证：△EBD是等腰三角形。

A

ED

BC

4、如图，一艘船从A处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到达B处。分别从A、B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°。求B处到灯塔C的距离。NCB

A

5、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE交BC于M.求证：

MD=ME.

6、用反证法证明：一个三角形中不可以有两个直角。

~~~~

回顾课本

1、三条边都_______的三角形是等边三角形。2、三个_____都相等的三角形是等边三角形。3、有一个角等于_____°的等腰三角形是等边三角形。4、在直角三角形中，假如一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的________。5、直角三角形：有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。6、勾股定理的逆定理：∵，AB2+AC2=BC2，∴∠___=90°（△ABC是直角三角形）7、互抗命题：在两个命题中，假如一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，此中一个命题称为另一个命题的__________。8、互逆定理：一个命题是真命题，它的抗命题却______是真命题。假如一个定理的抗命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，此中一个定理称为另一个定理的________。9.斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。（“斜边、直角边”或“__”）

已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=9。5

（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形.

2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开拓为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段是一条小渠，且D点在边上，已知沟渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，沟渠的造价最低？最低CDAB造价是多少？

3、说出以下命题的抗命题，并判断每对命题的真假。

（1）假如ab=0,那么a=0,b=0；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边相同角；

4.、找出以下定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。

（1）假如xy，则x2y2（2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等

1、直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的两边分别为13和5，则另一条边为。~~~~

假如三角形的三边长是6、10、8，则这个三角形是三角形。

2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，求：AD

3.如图，AD是∠BAC的角均分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD。A求证：EB=FC。12EFBDC

线段的垂直均分线

线段的垂直均分线：垂直且______一条线段的直线是这条线段的垂直均分线。

线段垂直均分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。

定理：到一条线段两个端点距离__________的点，在这条线段的____________线上。

推理格式：∵AB=AC，∴____点在线段BC的__。

定理：线段垂直均分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。

推理格式:∵PC⊥AB，AC=____(点P在线段AB的垂直均分线MN上),

∴=PB

教材精读

5、已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直均分线订交于点P，

求证：AB，BC，AC的垂直均分线订交于点P，且AP=BP=CP。

证明：连接AP、BP、CP，

∵点P在线段AB的垂直均分线上，

∴PA=____（线段垂直均分线上的点到这条线段两个端点距离相等）

∵点P在线段BC的垂直均分线上，

∴

归纳：三角形三条边的__________线订交于_____，而且这一点到三个______的距离相等。

推理格式：∵点P是△ABC的三条边的垂直均分线的交点，

PA=_____=_______.

教材精读

1、已知：如图，OC是∠AOB的角均分线，点P在OC上，PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，求证：PD=PE~~~~

证明:∵PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，

∴∠PDO=______=90°

∵OC是∠AOB的角均分线，

归纳：角均分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)O推理格式：∵点P在∠AOB的角均分线上，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD=__2、已知：如图，点P为∠AOB内一点，PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，B求证：OP均分∠AOB。DPOEA

归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的___，在这个角的均分线上（证明角相等）

推理格式：∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，

∴点P均分。

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角均分线，DE⊥AB，垂足为E。

（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD。A

C

B

D

P

EA

E

DB

如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF订交于点D，若BD=CD。求证：AD均分∠BAC。

5、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE订交于点P，AE=BD。

求证：P在∠ACB的角均分线上。

~~~

A

E

PBDC~

告诉你个神秘

1、角均分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)

2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的____，在这个角的均分线上.（证明角相等）

教材精读、已知：点P是△ABC的两条角均分线BM、CN的交点，

求证：∠A的均分线经过点P，且PD=PE=PF。

证明：过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D，

∵CN是△ABC的角分线，点P为CN上一点，

∴PE=_____( )

∵BM是△ABC的角分线，点P为BM上一点，

∴PE=_____( )

ANDFMP

BEC归纳：三角形三条角均分线订交于一___，而且这一点到三角形三条____的距离______。推理格式：∵点P是△ABC的三条角均分线的交点，且PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB，∴PD=_____=_______.实践练习：1）如图4，点P为△ABC三条角均分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.

2）如图5，P是∠AOB均分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.

图4图5

7、已知：如图在△ABC中，∠C=90°，AD均分∠BAC，交BC于D，若BC=32，BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.

1、三角形三条角均分线订交于一___，而且这一点到三角形三条____的距离______。

回顾思虑

【学习目标】

1、在回顾与思虑中建立本章的知识框架图，复习相关定理的研究与证明，证明的思路和方法，尺规作~~~~

图等。

2、发展初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提升用规范的数学语言表达论证过程的

能力。复习反响1、等腰三角形的性质：（边）（角）三线合一：2、等边三角形的性质：（边）；（角）3、判断等腰三角形的方法有：（边）；（角）。4、判断等边三角形的方法有：（边）；（角）。5、线段垂直均分线的性质定理：。逆定理：。三角形的垂直均分线性质：。6、角的性质定理：。逆定理：。三角形的角均分线性质：。7、三角形全等的判断方法有：。8、30°锐角的直角三角形的性质：。

9、方法总结：

1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角均分线的性质定理：角均分线上的点到角两边的距离相等；3）等角相同边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直均分线上的点到线段两端点的距离相等。

2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边相同角；6）角均分线的性质定理和逆定理。

3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

1、填空：（1）△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4cm，最长边AB=。

（2）直角三角形两直角边分别是5cm、12cm，其斜边上的高是。

（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个极点，则此三角形是三角形。

（4）三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分类）必定是________

~~~~

2、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF。求证：△ABC是等腰三角形。

3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直均分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2.求AB与BC的长.

A

D

E

BC

4、已知，在△ABC中，AD垂直均分BC，且CA=CE，点B、D、C、E在同一条直线上。

求证：AB+DB=DE

A

BDCE

1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为__________

2、如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直均分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长

为。

3、如图2，在△ABC中，∠AC