【必考题】高中必修二数学下期中试卷及答案

【必考题】高中必修二数学下期中试卷及答案一.选择题1.圆心在屮尸0上，且与x轴交于点月(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为()A.(x+1)2+(y-l)2=5B.(x-1)2+(y+l)2=y/5C.(x-l)'+(y+l)‘=5D.(x+1)2+(y-l)2=>/52.＜九章算术〉中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖瞒•若三棱锥P-ABC为鳖臨PA丄平面ABC.PA=AB=2.AC=49三棱锥P—ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为A.87iB.3.己知点A（1,2）,B4x+2y=5A.B.12kC.20兀（3,1）,则线段AB的垂直平分线的方程是（4x-2y=5C.D.24nA.87iB.3.己知点A（1,2）,B4x+2y=5A.B.12kC.20兀（3,1）,则线段AB的垂直平分线的方程是（4x-2y=5C.D.24n)D.x-2y=54・A.5.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（直角三角形B.等边三角形C.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,x+2y=5）正方形D.正六边形则该长方体外接球的表面积为（）7龙T6.矩形ABCD中，=BC=3,沿4C将矩形ABCD折成一个直二面角A.B.56龙C.D.64龙125A.7112125125C.——716B・——7197.若a>b>0,0<c<l,则B-AC-D.则四面体ABCD的外接球的体积是（）A・logaCVlogbCB.Iogca<logcbC.ac<bc125D.——龙3D.ca>cb8.在长方体ABCD-A^C^中，AAk==a,=2a9点P在线段上运动，当异面直线CP与所成的角最人时，则三棱锥C-PA.D,的体积为（）A.9.A.B.C.X432已知A.9.A.B.C.X432已知43是圆x2+y2-6x+2y=0内过点E（2,l）的最短弦，则|A创等于（）书B.2忑c.2羽D.2循cm）,则该锥体的体积（单位:cnP）是（）D.a5a5俯视图1-31-6••AC1-31-6••AC1-2

B.如图，正四面体ABCD中，伫尸分别是线段4C的三等分点，P是线段的中点，G是线段的动点，则（）A.存在点G,使PG丄EF成立B.存在点G,使尸G丄EP成立C.不存在点G,使平面EFG丄平面4CD成立D.不存在点G,使平面EFG丄平面成立如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面枳是（）俯视图A.20+371B.24+371C.20+4冗D.24+4兀二填空题给出下面四个命题：“直线/丄平面&内所有直线”的充要条件是“/丄平面a”；“直线a//直线b”的充要条件是平行于b所在的平面”；“直线。,b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a,b不相交”；“平面a//平面0”的必要不充分条件是内存在不共线三点到0的距离相等”•其中正确命题的序号是在棱长为1的正方体ABCD-^Cfl,中，BDcAC=O,M是线段上的动点，过M做平面ACD,的垂线交平面ABC。于点N,则点N到点A的距离最小值是■直线y=x+l与圆x2+y2+2y-3=0交于4.B两点，则\AB\=.

过点(-1,2)且与直线2x-3)，+9=0垂直的直线方程为.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC^O^ZBAC=60''；三棱锥D-ABC是正三棱锥：平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确结论的序号是.(请把正确结论的序号都填上)已知平面a,B,Y是空间中三个不同的平面，直线1,m是空间中两条不同的直线，若a丄丫，丫Ga=m,丫GB=1,1丄m,贝lj①m丄B;②1丄a；③B丄丫；④a丄B.由上述条件可推出的结论有(请将你认为正确的结论的序号都填上).在平面直角坐标系内，到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,・1)的距TOC\o"1-5"\h\z离之和最小的点的坐标是.如图：点P在正方体ABCD-^Cp,的面对角线Bq上运动，则下列四个命题：①三棱锥A-D.PC的体积不变；②A.P//面4C。；③DP丄BC"④面丄面ACDl.其中正确的命题的序号是.DCA(Bi三、解答题在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过4(0,2),0(0,0),D(t,o)(r>0)三点，M是线段4D上的动点，A，A是过点3(1,0)且互相垂直的两条直线，其中厶交y轴于点E,12交圆C于P、0两点.（1）若t=\PQ\=6,求直线厶的方程；（2）若/是使恒成立的最小正整数①求/的值；②求三角形EPQ的面枳的最小值.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点.（1）证明：平面4MD丄平面BMC：（2）在线段AM上是否存在点P,使得MC〃平面PBD?说明理由.23.在三棱柱ABC-&BC中，侧面AA^C丄底面AAt=\C=AC=AB=BC=2,且点O为4C中点.（1）证明：人0丄平面ABC；（2）求三棱锥Q-ABC的体积.24.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ZADC=90°,BC=-AD.QA=P£）,M，N分别为AD和PC的中点.（1）求证：FA〃平面MNB；（2）求证：平面P4D丄平面PWB.求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且平行于直线x-y+l=0：（2）经过两条直线2x+y-S=0和x-2y+l=0的交点，且垂直于直线3x-y-2=0.如图，将棱长为2的正方体ABCD-A^D,沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体A-CB.D,,（I）求该四面体的体积;（II）求该四面体外接球的表面积.【参考答案】林*试卷处理标记，请不要删除_、选择题1.A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-l上，又圆心在直线x+y=o上，故圆心M的坐标为（-1,1）,再由点点距得到半径。【详解】由题意得：圆心在直线x=-l上，又圆心在直线x+y=O上，・•・圆心M的坐标为（-1,1）,又A（-3,0）,半径|AM|=J（-1十3）'十（1-0『=洁，则圆的方程为（x+1）2+（y-1）—5.故选A.【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最人值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。2.C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P-ABC的图像，根据P-ABC四个面都为直角三角形和PA丄平面ABC,可知PC中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由S=4戒计算即得.【详解】三棱锥P-ABC如图所示，由于P-ABC四个面都为直角三角形，则△A3C是直角三角形，且zabc=—,•眈=Jac?_mb，二2巧，又fa丄平面abc,且△fac是直角三角形，球0的直径PC=2R=JPA?+AB?+BC?=屈=2书,.•./?=JJ，则球O的表面积S=4兀疋=20兀・故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型..B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段的垂直平分线上的点(x,y)到点4,B的距离相等,所以J(x_l)，+(y_2)‘=J(x_3)2+(y_l))•即：x2+l-2x+y2+4-4y=x‘+9-6x+y‘+l_2y,化简得：4x-2y=5.故选E・.A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形;故选A.用一个平面去截正方体，则截面的情况为：截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形：截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；截面为五边形时，不可能是正五边形；截面为六边形时，可以是正六边形.故可选A..C解析：C【解析】

【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】ab=2设长方体的棱长分别为a,b,c,贝ij＜bc=3,ac=6a=2所以(g%)'=36,于是＜b=l,[c=3设球的半径为R,贝i4R2=a2+b2+c2=14＞所以这个球面的表面积为4兀疋=14兀.本题选择C选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径..C解析：c【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且球的半径为AC长度的一半，即心畀r如+眈匕,所以-討亠卡.125-2即心畀r如+眈匕,所以-討亠卡.125-2故选：C【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.

.B解析：B【解析】试题分析：对于选项A,logac=^-,logbc=^-,・.・Ovcvl,.•.lgcvO,而lgalgba>b>Q,所以lga>lgb,但不能确定lga.lgb的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B,logcn=^-,log<.b=^-tlga>lgb,两边同乘以一个负数丄改变不等号方IgclgcIgc向，所以选项B正确;对于选项C,利用y=屮在第一彖限内是增函数即可得到ac>bc,所以C错误;对于选项D,利用y=c•'在/?上为减函数易得<?，所以D错误•所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幕或对数值的人小,若幕的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.8・B解析：B【解析】【分析】当P与A重合时，异面直线CP与BA】所成的角最人，由此能求出当异面直线CP与BA】所成的角最大时，三棱锥C-PAiDi的体积.【详解】如图，当P与A重合时，异面直线CP与BA】所成的角最人，•••当异面直线CP与BAi所成的角最人时,三棱锥C-PAiD!的体积:\51(1AxAB=-x—xaxa)3b)11▼s=Vc-AAiD..=~xS54x43=3x-xAA{x故选:B・【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法一一分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值.D解析：D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可.【详解】圆的标准方程为（A-3）2+（JH-1）—10,则圆心坐标为C（3,-1）,半径为过E的最短弦满足E恰好为C在弦上垂足，则CE=J（3_2尸+[1_（_叨，=75，则^1=2j（＞/W-（Q=2怎，故选D.【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题.A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积.【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：lx丄x2xlxl=l.323本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题.C解析：C【解析】【分析】

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案.【详解】正四面体ABCD中，分别是线段4C的三等分点，P是线段A3的中点，G是直线3D的动点，在A中，不存在点G,使PG丄EF成立,故A错误：在E中，不存在点G,使尸G丄EP成立，故B错误：在C中，不存在点G,使平面EFG丄平面4CD成立，故C正确：在D中，存在点G,使平面EFG丄平面砲成立，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想彖能力.A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体,下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，=20+3“故该几何体的表面积是5x2x2+^xl:+2^-xlx2x=20+3“故选A.考点：1、几何体的三视图：2、几何体的表面积.二填空题13.①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行解析：①④【解析】【分析】利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论.【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确：对于②，a平行于b所在的平面na//b或。与b异面，故②错；对于③，直线b不相交=＞直线b异面或平行，故③错；对于④，平面&//平面内存在不共线三点到0的距离相等；a内存在不共线三点到“的距离相等二＞平面a〃平面0或相交，故④正确故答案为：①④【点睛】本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断.命题真假的判断，属于中档题.【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为解析：生2【解析】连结易知面ACDl丄面BDDQ,而MN丄ACDl,即MW丄DQ,NM在面BDDQ内，且点N的轨迹是线段BQ、,连结易知△AQQ是等边三角形，则当N为耳口中点时,N4距离最小，易知最小值为纟222［解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根解析：2\伍【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的人小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.【详解】根据题意，圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,所以圆的圆心为(0,-1),且半径是2,|0+1+1|根据点到直线的距离公式可以求得川="严忑,J“+(-1)2结合圆中的特殊三角形，可知|4B|=2\'4二2=2心2,故答案为2\伍.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.16•【解析】【分析】因为直线I与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为1由已知直线的斜率求出直线I的斜率然后根据(-12)和求出的斜率写出直线的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所解析：3x+2y-l=0【解析】【分析】因为直线1与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为」，由已知直线的斜率求出直线1的斜率，然后根据(-1,2)和求出的斜率写出直线1的方程即可.【详解】3因为直线2x-3y+9=0的斜率为土,所以直线1的斜率为-巳,2则直线1的方程为：)'-2=--(x+l),化简得3x+2y—1=0.即答案为3x+2y-l=0.【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题.17.②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD丄平面ADC可推知BD丄AC数量积为零②由折叠后AB=AC=BC三角形为等边三角形得ZBAC=60°；③由DA=DB=DC根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③【解析】【分析】①由折叠的原理，可知3D丄平面ADC,可推知BD丄AC,数量积为零，②由折叠后AB=AC=BC,三角形为等边三角形，得ZBAC=60°；③由DA=DB=DC,根据正三棱锥的定义判断.④平面ADC和平面ABC不垂直.【详解】丄平面ADC,"D丄AC,①错：AB=AC=BC,②对；DA=DB=DC,结合②，③对④错.故答案为②③【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题.18.②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面B和面丫可成任意角度和面a必垂直所以直线m可以和面B成任意角度①不正确；IuyI丄m所以1丄a②正确；③显然不对；④因为1<=31丄a解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面B和面Y可成任意角度，和面□必垂直.所以直线m可以和面B成任意角度，①不正确；1UY，：［丄m,所以1丄a,②正确；③显然不对；④因为luB,1丄a,所以a丄B,④正确.故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19.(24)【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点卩在公APC中有AP+PC>BPD中有PB+PD>BD解析：(2,4)【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值.可证明如卞：假设在四边形ABCD中任取一点P,在AAPC中，有AP+POAC,在aBPD中，有PE+PD>BD,而如果P在线段AC上，那么AP+PC=AC：同理，如果P在线段BD上，那么BP+PD=BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与ED的交点.易求得P(2,4).①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：.①②④【解析】对于①，因为ADJ/BC,,从而BCJ!平面AD.C,故BC」上任意一点到平面AD.C的距离均相等，.••以P为顶点，平面AD.C为底面，则三棱锥A-D/C的体积不变，正确；对于②，连接A5AG容易证明且相等，由于①知：ADJIBC、,平面BA’CJi平面ACDlt所以可得4///面4CQ,②正确；对于③，由于DC丄平面BCB&,DC丄FC；,若DP丄Bq,则FC】丄平面DCP,丄PC,则p为中点，与P动点矛盾，错误；对于④，连接DB\,由丄AC且DQ丄ADlt可得DQ丄面ACDlt由面面垂直的判定知平面PD坊丄平面ACDlt④正确，故答案为①②④.三、解答题(1)4x-3y-4=0；(2)①4，2【解析】【分析】(1)求出圆的标准方程，设直线人的方程y=k(x-L),利用PQ=6,结合圆心到直线的距离分析可得^==>/10^9=1,解可得R的值，验证直线与)'轴有无交点，即可得答y]k~+l案；⑵①设M(x,y),由点M在线段AD上，得2x+ty-2r=0,由\AM\<2\BM\,得(兀―$+()叶|)。罟，结合题意，线段AD与圆(A-^)2+(y+|)2=y至多有一个公共,8_8点，分析可得丈ML迹，分析可得/的值，

②由①的结论，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，用R表示三角形EPO的面积，结合二次函数的性质分析可得答案.【详解】解：(1)由题意可知，圆c的直径为4D，所以圆C方程为：(x—3『+(y—l)'=10,设人方程为：y=1)，则(2“(2“1+F+3'=10,解得人=0,扌，当k=0时，直线厶与y轴无交点，不合题意，舍去.4所以，k=-时直线h的方程为4x-3y-4=0.3・⑵①设"，刃，由点M在线段Q上,则时+尹，即2x+—.由4MW2BM,则有(兀―护+()叶|)。丰依题意知，线段4D与圆U-|)2+(v+|)2=y至多有一个公共点,8S故丁評〉解可得川6-皿或』6+10歼E〒11I】因为/是使|AM|V20M|恒成立的最小正整数,所以f=4；②由①的结论，圆C的方程为(x-2)2+()，—1)，=5•分2种情况讨论：0当直线人：*=1时，直线厶的方程为『=0,此时，5帆=2；b当直线h的斜率存在时，设A的方程为y=kwo,则A的方程为y=k点陀》，所以吐|£_1丨又圆心到人的距离为—'+2R+42-2斤+4_l4—2k+477F='+2R+42-2斤+4_l4—2k+477F=VP故s旧Q气BE.PQ气X又由至＜2,2故求三角形EP0的面积的最小值为至.2【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及三角形面积的最小值的求法，(2)的关键是确定三角形面积的表达式，属于中档题.(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【解析】【分析】【详解】分析：(1)先证AD丄CM,再证CM丄MD，进而完成证明.(2)判断出P为AM中点，，证明MC//OP,然后进行证明即可.详解：(1)由题设知，平面CMD丄平面ABCD,交线为CD.因为BC丄CD,BCu平面ABCD,所以BC丄平面CMD,故BC丄DM.因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，所以DM丄CM.又BCCICM=C,所以DM丄平面BMC.而DMu平面AMD,故平面AMD丄平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC〃平面PBD.证明如下：连结AC交BD于0.因为ABCD为矩形，所以0为AC中点.连结0P,因为P为AM中点，所以MC//OP.MC(Z平面PBD,OPu平面PBD,所以MC〃平面PBD.点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想彖能力，属于中档题.(1)证明见解析；(2)1.【解析】试题分析：(1)利用等腰三角形的性质可得人0丄AC,利用面面垂直的性质可得人0丄平面ABC,根据线面垂直的性质可得结论；(2)先证明AC』平面ABC,可得到平面ABC的距离等于人到平面ABC的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得冬-ABC=匕-ABC=亍^AABC'A"1x1x2x73x73=1.试题解析：(1)VM=AC,且0为4C的中点.・・・&0丄AC.又•・•平面AA^C丄平面ABC,平面AA^Cc平面ABC=AC,且Afiu平面AA^C,.・.人0丄平面ABC.•/BCu平面ABC,・•・人0丄BC.（2）•:A^WAC,平面ABC,ACu平面ABC,:.AC』平