精编试题-最新人教版八年级数学第一学期《最短路径问题》专项课时练习及解析

新人教数八年级册13.4题学最短径问题课时习一、选择题（共15小）1．如图，在直角坐标系中有线ABAB＝50cm、B的距离分别为10cm和，B点轴距离为30cm，现在轴、轴分别有动点、，当四边形PABQ的长最短时，则这个值为（）A．B．50

C．50

－D．50

＋答案：知识点：坐标与图形性质；勾股定理；轴对-最短路线问题解析：解答：过点作BM⊥轴于点，取EMBE，过A点AN⊥交x轴于，截取NF＝AF，连接MN交x，轴别为，Q点，过M点MK⊥，过点作NK⊥轴两线交于K．MK＝＋＝，作BL⊥轴交KN于点，过A点AS⊥交BP．∵AS

10)

＝40．∴6040＝100．∴

502

＝50

5

．∵MQQP＋＝QPAP505．∴PABQ的周长50＋．故选D．学如逆行舟，不进退。分析：过B点BM⊥交于点，截取EM＝，过A点AN⊥交x轴于，截取NF＝AF，连接MN交X，轴别为，Q点，此时四边形的长最短，根据题目所给的条件可求出周长．2．如图，在平面直角坐标系中点（－，），（，），在轴上一点P，点P到点A和B的离之和最小，则点坐标是（）A．（－，）B．（4，0）．（，）．（，0）答案：C知识点：点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；轴对最短路线问题解析：解答：作关于x轴对称点C连接AC交x于，连接BC交轴于P，连接AP，则此时AP＋最小即此时点到点A和B的离和最小，∵，），∴，－），设直线CB的解式是y＝kx＋，k把C、的标代入得：解得：＝，＝2，∴－，把y＝代得0＝－，

，学如逆行舟，不进退。x＝，即P的标是（，）故选C．分析：作关于x轴对称点C连接AC交x于，连接BC交轴于P，连接AP，此时点P到A和B的离之和小，求出（的坐标，设直线CB的析式是y＝kx＋，把C、的标代入求出解析式是＝－，把0代入求出即可3．如图，等eq\o\ac(△,边)ABC的边为4AD是BC边的中线F是AD边上动点，是AC边上一点，若AE＝，EF＋取得小值时，∠的数为（）A．15°

B．°

C．30°

D．°答案：知识点：等边三角形的性质；轴对-最短路线问题解析：解答：过E作∥AD于N∵4AE＝，∴2AE，∴BM2，∴AE∵是边上中线eq\o\ac(△,，)是等边三角形，学如逆行舟，不进退。∴⊥，∵∥∴⊥，∵AE∴和M关于AD对称连接交AD于F，连接EF，则此时EF＋的值小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB60，AC＝BC，∵BM∴∠ECF

∠＝°，故选C．分析：过E作EM∥AD，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点求出E和M关AD对称，根据等边三形性质求∠，可求出答案．4．如图∠＝°，有一点P且OP＝6，MN为OAOB上两点那eq\o\ac(△,么)PMN的周长最小为（）．A．

2

1B．6C．2

6

D．

6答案：知识点：等边三角形的判定与性质；轴对-短路线问题解析：解答：作关于OA的称点D，关于OB的称点，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此eq\o\ac(△,时)的周长最小，连接OD，OE，∵关OA对称∴OPPM＝，同理OE＝OP，PN＝EN，∴OEOP＝

6∵关OA对称学如逆行舟，不进退。∴⊥，∵OP∴∠DOA＝∠，同理∠＝∠，∴∠＝∠×°═°，∵OE

6

，∴△DOE是等边三角形，∴

，eq\o\ac(△,即)PMN的长是PM＋MN＋PN＝＋MN＋EN＝DE＝故选D．

6

，分析根据题意画出符合条件的形出OD＝OEOP∠＝60°得出等边三角形DOE，求出DE＝求eq\o\ac(△,出)的周长DE，即可求出答案．5．已知两点M（3，）N（1，－）点是轴上动点，若使PM＋最短则点P的坐标应为（）3A．（，4）B．（，）C（，）D（，）2答案：知识点：坐标与图形性质；轴对最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式解析：解答：∵PN最短∴、三点线，∵，），（，－1，∴式为＝kx＋，把M（，），N（，－1）分代入解析式得，k

，学如逆行舟，不进退。解得

，其解析式为y＝－．当y＝时，x＝故P点标为（故选C．

．，）分析：若PM＋最短则M、、三点线，根据M、N的标，求出MN的析式，再求出与x轴交点即可．6．已知∠的大小为P是∠内的一个定点，且OP＝，点E、F分是OAOB上的动点，eq\o\ac(△,若)PEF周的最小等于，则（）．A．°

B．45

C．60°

D．90答案：知识点：等边三角形的判定与性质；轴对称最短路线问题解析：解答图点P关OA的称点C于OB的称点接CDOA于E于F时eq\o\ac(△,，)的长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵与点于OA对称，∴垂平分PC，学如逆行舟，不进退。∴∠COA＝∠，PE＝CE，＝OP，同理，可得∠∠，＝，＝．∴∠COA＋∠＝∠＋∠＝∠＝OCODOP＝，∴∠COD又∵△PEF的周PEEF＋FPCE＋＋＝＝，∴ODCD＝，∴△COD是等边三角形，∴°，∴．故选A．分析：设点P关OA的对称点为C关于OB的称点为，当点E、F在CD上eq\o\ac(△,，)的周长为PE＋＋＝，此时周长最小，根据CD＝求出的数．7．直线是一河，P，是个村庄．欲在L的某处修建一个水泵站，向，两供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．BC．

D．答案：知识点：轴对称-最短路线问题解析：解答：作点P关直线L的对点PQPL于M根据两点之间，线段最短，可知选项设的管道，则所需管道最短．学如逆行舟，不进退。故选D．分析：利用称的性质，通过线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．8．已知两点A（3，）B（，），点在上且使APBP最短则点P的标是（）A．（，

1）B．（，）C．（，1）．（，264

）答案：知识点：点的坐标；轴称最路线问题；待定系数法求一次函数解析式解析：解答：根据已知条件，点A关于的对称点32）．设过A解式为y＝kx＋b，－3k＋b；k＋＝－．解得k1，b＝－1那么此函数解析式为y＝－x－1．与的交点是0，1），此点就是所求的点P．故选C．分析：根据已知条件和两点间线段最短，可知一关于y轴对称点与另一点的连线和轴的点．9．在平面直角坐标系中，点A、坐标分别为（0），，）点C的坐为m，

m）（为非负数），则CA＋CB的小值是（）．A．6B．

7

C．

7

D．5答案：知识点：轴称最路线问题待定系数法求一次函数解析式两条直线相交或平行问题解析：解答：如图所示：∵的坐为，

m）（为负数），∴的坐所在直线为y＝

x，点A关直线y＝

x的称点的坐标为A线为y＝

x＋b，把点A的标（2，）入得解得b＝．

33

×＋＝，故AA线y＝

323x＋．33学如逆行舟，不进退。3x联立C的标所在直线和AA线可得233

，1x2解得y2

，∴的标所在直线和线的交点M的标为（

13，）2∴关于线＝x对称点的坐标为（1，）∴

(4

2

(03)

2

＝＝7，即CA＋的最小值．故选C．分析：分别得到点C的坐所在直线，点于点的标所在直线的对称点的坐标A在直线AA式，求得两条直线的交点，进一步得到标，再根据两点间的距离公式即可求解．10．图，在锐eq\o\ac(△,角)中AB＝4

，∠＝°，∠的平分线交BC于D，、分别是AD和AB上的点，则BMMN的最值是（）．A．3B．4C．5．6答案：知识点：三角形的角平分线、中线和高；轴对称-短路线问题全三角形的判定与性质学如逆行舟，不进退。解析：解答：如图，在AC上取AE＝AN连接BE∵∠BAC平分线交BC于D，∴∠EAM＝∠，eq\o\ac(△,在)AMEeq\o\ac(△,与)AMN中

，

AMAM∴△AMEeq\o\ac(△,≌)（SAS）∴MN∴MNBM＋≥．∵MN有最值．当是点B到直线的距离时BE⊥又AB＝2

，∠＝，此时eq\o\ac(△,，)ABE为等直角三角形，∴4即取最值为4，∴MN的最值是4故答案为：．分析从知条件结合图形认真考过构造全等三角形利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．11．图，锐角三角形ABC中，∠°，为BC上点，NC＝，＝，为AC上的一个动点，则BM＋MN的小值是（）．A．

B．

C．

74

D．

45答案：知识点：三角形相关概念；勾股定理；对称最短路线问题学如逆行舟，不进退。解析：解答：如图所示，先作点关AC的对称点N点之间线段最短可知BNBM＋MN的小值，根据对称的性质可知N＝，∠∠°即∠°，在eq\o\ac(△,Rt)BCN

'2BC2

＝

2

＝

．故答案为：．分析：先作点N关AC的对称N点之间线段最短可知BNBM＋MN的小值，根据对称的性质可知N＝，∠°，再利用勾股定理即求出BN12．油站A和店B在路MN的同侧（如图）AMN的距大于B到的距离，AB＝米，一个行人在马路MN上行，问：当P到距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（）．A．8B．9C．6D7答案：知识点：轴对称-最短路线问题三角形的三边关系解析：解答：当A、B、三不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵AP与BP的差于第三边AB∴、在同直线上，∴到A的距离与P到的距离之差最大，∴就是AB的长故答案为：．分析当ABP构成三角形时AP与BP的小于第三边AB所当ABP在同一直线上时PA与之差大AB＝．学如逆行舟，不进退。eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC13．图eq\o\ac(△,，)ABC中AB＝＝，10，是BC边的中线，F是AD上的点E是AC边上的动点，则＋的最值为（）．A．

B．10C．12D．13答案：知识点：轴对称-最短路线问题等腰三角形的性质；勾股定理解析：解答：作E关AD的对称点M，连接CM交AD于，连接EF，过CN⊥于N∵AC13，＝AD是BC边的线，∴DC5，AD⊥AD平分∠，∴在AB上，在eq\o\ac(△,Rt)ABD中，由勾股定理得：AD＝＝，∴＝

1×BC×＝×AB×，2∴

BCAD120＝＝，AB13∵关AD的对点M，∴FM∴EFCF＋＝，根据垂线段最短得出CM≥，即CF＋EF≥

12013

，即CF＋EF的小值是

，学如逆行舟，不进退。故答案为：．分析：作关于AD的称点M，接CM交AD于F，连接EF过作⊥于N，据三线合一定理求出BD的和AD⊥根据勾股定理求出，据三角形面积公式求出，根据对称性质求出＋＝，根据垂线段最短得出＋EF≥，可得出答案．．如图，eq\o\ac(△,Rt)中，＝＝，点，E分别是ABAC的中，在CD上找点P，使PA＋最小则这个最小值是）．A．

3

B．4C．

5

D．5答案：知识点：轴对称-最短路线问题等腰三角形的性质解析：解答：如图，连接，则就是PA＋PE的小值，∵中，ACBC＝，点D，分别AB，AC的中点，∴2cm，∴＝25∴PE的最值是故答案为：．

5

．分析：要求PA＋的最值PAPE不能接求，可考虑通过作辅助线转化PAPE的值从而找出其最小值求解．15．知，如图，一牧童在A处马，牧童家在B处A，两处距河岸的距离AC，的长分别为700米，米且CD的距为米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）．学如逆行舟，不进退。A．B．1200C．1300．答案：知识点：轴对称-最短路线问题勾股定理解析：解答：点关于CD的称点E，由对称的性质可知，＝ED，∠＝∠，DMDM，∴△MDEeq\o\ac(△,≌)，∴MEBM＋＝AMAE即为牧要走的最短路程．∵CD米，ANNC＋AC700＋500＝1200米，∴eq\o\ac(△,Rt)ANE中AE＝

AN

2

2

＝

500

2

＝米故牧童至少要走1300米．分析：在CD边上一点M，使AM和BM的最小，延长BD到点使BD＝，连接AE交CD边于点M，过点E作EN⊥于N，则AE为求的长牧童最少要走的距离．二、填空题（共5小）1．如图，已知⊥CD⊥垂足分别为DAD6AB＝，＝，是段AD上的一个动点，设＝，DP＝，

25y

，则的小值是______．学如逆行舟，不进退。答案：知识点：相似三角形的判定与性质；轴对-短路线问题解析：解答：由题意可得，当BPC三在同一直线时a的值小．eq\o\ac(△,则)ABP∽△DCP，x＝

159，＝，4则a的小值是10．分析：首先确定当BPC三点在同直线时a的值小．然后根据相似三角形的性质计算．2．已知如图所示，∠＝°，为∠内一点，A为OM上一B为ON一点，则当△的长取最小值时，∠的数_____．答案：100°知识点：多边形内角与外角；三角形相关概念；轴对最短路线问题解析：解答：如图，作出P点关、ON的对点，P连接P，交OM，ON于A、B两，此eq\o\ac(△,时)PAB的长最小，由题意可∠PP180°∠＝180°－°＝140°，∴∠＋∠PB＝∠＋∠＝180°∠PP＝40°，∴∠APB140－40＝°．故答案为：100°．学如逆行舟，不进退。分析：作出P点于OM、ON的称点PP连P，交OM，ON于A、两点此eq\o\ac(△,时)PAB的周长最小，再由四边形内和定理即可求出答案．3．如图，eq\o\ac(△,在)ABC中，＝＝，∠＝90°，是BC边中点E是AB边一动点，则EC＋ED的小值是____．答案：

知识点：等边三角形的性质；勾股定理；轴对最短路线问题解析：解答：过点C作CO⊥于O，延长CO到COC连接DCAB于，连接CE，此时DE＋CE＝DE＋EC小．连接BC称可∠∠＝°，∴∠CBC，∴BC，∠∠°，∴BC∵是BC边的中点，∴1根据勾股定理可得

22＝22

．故答案为：5．学如逆行舟，不进退。分析：首先确定＋＋CE的最小．然后根据勾股定理计算．4．已知：如图所示M（，2）（，1．点P轴上PM＋PN最，则P点标为_________．答案：（，－

14

）知识点：点的坐标；一次函数的应用；轴对-最短路线问题解析：解答：根据题意画出图形，找出点N关的对称点MNy轴点为所求的点P，∵，1），∴1），设直线MN式为y＝＋，把（，2，，－）入得：23k4解得1b

，，所以y＝

1x－，41令x＝，得y＝－，4学如逆行舟，不进退。则点P坐为0，－

14

）．分析找出点N关于y轴对称点接M与称点轴交点为P点据点之间，线段最短得到此时点P在y轴上且能使PM＋PN最．根据关于y轴称点的特点，找出N对点的坐标，设出直线MP的方程，把N的称点的坐标和M的标代入即可确定出直线的方，然后令x＝求直线与轴的点，写出交点坐标即为点P的坐标．5．如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠＝°，∠＝°，BC＝，是AB边的点，是AC边的中点，则1）EF＝____；2若是BC边上一动点，EFD的周最小值____．答案：；＋

知识点：勾股定理；轴对-最路线问题；三角形中位线定理解析：解答：（）∵是边的中点F是AC边中点，∴为△的位线，∵4∴

1BC＝×＝；（延长FC到P使FC＝PC接交BC于连FD此时ED＋最小△的周长最小，∵为△的位线，∴∥∵∠＝90°，学如逆行舟，不进退。1AC＝，∴∠EFC90，FC＝PC＝2∵eq\o\ac(△,Rt)EFP中EP＝＝

2

(23)

2

＝，∴△EDF的周长为：EF＋＋ED2＋＋＝＋EP2＋2，故答案为：；＋

．分析：1）根据E是边中F是AC边中点可以得到为三形的中位线，根据中位线定理求得EF的即可；（）据对称点的性质，延长C到，使FCPC，接EP交BC于D，接EDFD，此时ED＋最小eq\o\ac(△,即)EDF的周最，求出EP长即可求出答案．三、解答题（共6小）1．已知：如图，在∠内有两点M、N，∠＝∠．画图并简要说明画法：在射线O上取点，使点A到点和点N的离和最小；在射线上取点B，使点B到和的距和最小；直接写出AM＋与BM＋BN的小关系．答案：（）见解析；（2）AM＋＝BM＋BN知识点：轴对称-最短路线问题作-轴对称变换解析：解答：（）如图所示．画法：学如逆行舟，不进退。作点M关射线OP的称点M'连接M'N交OP于A．作点N关射线OQ的称点N'连接N'M交OQ于B．（）：AM＋AN与BM＋的大关系是AMANBM＋BN．分析：（）分别作出点M关射线OP的对称点M'，点N关于射线OQ的对称点N'，接M'N、N'M即求出答案；（）据轴对称性质求出即可．2．某大型农场拟在公路L旁修一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的果集中进行藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）答案：见解析知识点：轴对称-最短路线问题作-轴对称变换解析：解答：如图分析：作关于线L的称点E，连接BE交直线，则为所求．3．如图eq\o\ac(△,，)ABC的ABAC上别有定点N，请在边上一点P，eq\o\ac(△,得)PMN的长最短．（写作法，保留作图迹）学如逆行舟，不进退。答案：见解析知识点：轴对称-最短路线问题作-轴对称变换解析：解答：作点N关BC的对称NMN于点，②对称的性质可知PN＝PNPM＝MN③两点之间线段最短可知eq\o\ac(△,，)PMN的最短周长即为MN．分析：作点N关BC的对称点MN于点，由两点之间线段最短可知P点为所求点．4．在某一地方，有条小河和草，一天某牧民的计划是从的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你