理论力学--03平面一般力系

1第三章平面一般力系第三章平面一般力系 力线平移定 平面一般力系的 平面一般力系的平衡条件和平衡方 平面平行力系的平衡方 刚体系统的平 考虑摩擦时刚体的平2第三章平面一般力第三章平面一般力力线平移定

平面汇交力

Fx平衡 平面一般力 平面力偶

Mi=0力线平移定力线平移定§3-力线平移定作用在刚体上点力线平移定

可以平行移到刚体上任一点但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的F'MM['MM

对新作用点B的矩力 力

力F力偶4 说明①力平移的条件：力力+力偶，且M与d②力线平移定理的逆定理成立。力力+力力线平移定理是力系简力线平移定理可将组合变形转化为基本变形进行研究5§3-2§3-2 向一点简

平面汇交力系

矢量

平面一般力

（已知力系

(作用在简化中心（未知力系 平面力偶

力偶（主矩（已知力系

(作用在该平面上 一般情况主矢

主矩

M1

Mn

MO(F2)

MO(Fn)

MO(FiF2RxF2Rx2RyF2xF2y

（移动效应

方向

FyFx简化中心:与FyFx(因主矢等于各力的矢量和7 主矩（转主矩（转动效应

MO(Fi—+方向：方向规—+简化中心：与简化中心有（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和8 简化结果简化结果FR，主MO，下面分别简化结果F①R'=0MO=0，零力系，力系平衡F①RFR '=0,MO≠0，即简化结果为一合力偶, 此FR刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）R③F'≠0,MO=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时R简化结果就是合力（这个力系的合力

FR

'。（此FRF与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零9 FO ' ≠0,为最一般的情况。此种情况还FOR简化为一个合

FRFR

MFMF

合力的大小等于

FR

FR FFR合力的作用线位

dMO结论：平面一般力系的简化结果：零力系、合力、合力偶 FR

0 0R

RRRR

MO

MO(Fii而合力对O点的

MO(FR)

FR

MO(主矩MO(FR)

nni

———合力矩定MO———合力矩定合力矩定理：力系中各力对于同一点之矩的代数和固定端 端）约雨 车

①认为Fi这群力在同一平面内Fi向A点简化得一力和一力偶③FRA方向不定可用正交分力FAx,FAy表FAx,FAy,MA为固定端约束反力

FAx,FAy限制物体平动,MA为限制转动 §3-§3-平面一般力系的平衡条件与平衡方FR=0平面一般力系平衡的充要条件为力系的主

和主MO都等于MO

F2xF2yF2xF2y

FxFyMO(Fi) [例1]已知：q=4kN/mF=5kNl=3m=25o求：A点的支座解：（1）选AB梁为研究对象

B画受力

l l列平衡方程，求未知量MA

(Fi)

Fcoslqll MA

Flcos

ql2

Fx

Fsin

F

Fy

F

ql

FAy

F

[例2]已知：Q=7.5kNP=1.2kNl=2.5ma=2m=30oCAaPQl求：BC杆拉力CAaPQl解：（1）选AB梁为研究对象画受力B

al

B [例2]已知：Q=7.5kN,P=1.2kNl=2.5ma=2m=30o求：BC杆拉力和铰A处的支座反力 列平衡方程，求未知量 MA

(Fi)l

a

sinl

P Qa 2

/2Qa)/(lsin

Fx

cos

Fy

FAy

PQFAy

PQ

[例2]已知：Q=7.5kN,P=1.2kNl=2.5ma=2m=30o求：BC杆拉力和铰A处的支座反力 （3）列平衡方程，求未知量 MA

(Fi)l

lalFBCsinl

P Qa0

MB(Fi)

l

lQ(la)0

Fx

FBCcos

（3）列平衡方程，求未知量 M(F)

a aFBCsinl

P Qa0l

MB(Fi)

l

lQ(la)0

(Fi)

ltg

lQa0

本式（一矩式

②二矩

③三矩Fx

Fx

MA(Fi)Fy

MA(Fi)

MB(Fi)MO(Fi)

MB(Fi)

MC(Fi)条件：x轴不垂于AB连

条件：A,B,C不同一直线只有三个独立方程，只能求出三个未知数投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩。矩心 [例3]已知：qaP=qa,M=Pa，求：A、B解：①选AB梁为研究对象

画受力F FBBMqPABMa列平衡方程qPABMaMA

(Fi)

P2aq2aa

3a

FB

3FxFy

P

FAy

§3-平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系

xxR

设有F1F2…Fn为一平行力系向O点简化得主矢FRMOMO(FiFi

合力作用线的位置为平衡的充要条件为：FRMO

xR

MO

Fi x x

平面平行力系的平衡方程为FyFyMO(Fi) 平面平行力系中各力在x轴上Fx

二矩MA(Fi)MA(Fi)MB(Fi)平面平行力系只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数 [例4]已知：P=20kN,M=16kN·m,q=20kN/m,求：A、B的支qMqMAPMA(F)0BaFaqaaBaaa aa

P2aFy

FB

qa

2PFA

qaP

200.82

2FAP

20

20

[例5]已知：塔式起重机P=700kNW=200kN最大起重求：①保证满载和空载时不翻倒，平衡块 时轨道A、B给起重 的分析力Q过大，空载时Q过小，满载时 解：①首先考虑满载时，起MB(F)Q(62)P2W(122)FA(22)限制条件

FA解得

Q75②空载时 由mA(F

Q(62)P2FB(22)

解得

Q350因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系当W=400kN时，Q的范围75当W=400kN时，Q的范围AB325kNAB

350⑵求当Q=180kN，⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，FA,FB为多少由平面平行力系MA(F)

Q(62)

P2W(122)

4

QP

ABABFA

210870§3-5§3-5一、静定与静不定问题的概平面汇交力

Fx

两个独立方程，只能求两个独立未知数平面力偶

MiFy

一个独立方程，只能求一个独立未知数平面平行力系

Mo

两个独立方程，只能求两个独立未知数平面一般力系

Fx oo

xFF

三个独立方程，只能求三个独立未知数 静定（未知数三个 静不定（未知数四个独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中用变形协调条件来求解。二、刚体系统的刚体系统（刚系）：由若干个刚体通[例外力：外界物体作用于系统上的力叫外力内力：系 刚系平衡问题的特点①刚体系统平②每个单体可列3个（平面一般力系）平衡方程，整个系统可列3n个方程（设刚系中有n个刚体）。解刚系问题的一机构问题

“各个击破结构问题

有固定端（不带固定端（组合体

（整体（带固定端无固定端：整

（整体 解题步骤与技巧解题步选研究对画受力图（受力分析③选取矩心和投影轴、列平衡方程解方程求出未知数①先取矩，后投影，列一个平衡方程求一个未知力矩心最好选在未知力的交叉点上投影轴最好与未④注意判断二力杆；运用合力矩定理等 [例1]已知：OA=R,ABl当OA水平时，冲压力为P时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？④冲头给导轨的侧压力 FyP

cosP FxFN

sin

MO(F)FA

RMMFx

sinFy

FA

Foy

[负号表示力的方向与图中所设方向相反 [例2]已知：M=10kNm,q2kN/m求：A、C处的反力MqCABMqCAB 解：以BC为研究对象0Fx0

FBx

(F)

q122

FC

Fy

q1

[例2]已知：M=10kNm,q2kN/m求：A、C处的反力MqCMqCAB

C 以AB为研究对象

BFx

FBx

MAMMA(F)

q11.5

MAMA

Fy

q1

FAy

[例3]已知：M=40kNm,P=100kNq=50kN/mq求：A处的反力q解：以BC为研究对象MC(F)

22

P

DMCDMCPEABP B22FB

以整体为研究对象： qCqPFx

FAx

Pcos

4q

MA(F)MA

1.5Pcos45oMA

Fy

Psin45o

FAy [例4]已知：P1=1000kNP2=2000kN,m=1000kNm求：A、B处的反力及BC杆对铰C的约束力解：以整体为研究对象

qmB(F)

P13P2

m6FAsinFx

FA

Fy

0

CmCmABFAF

3q

[例4]已知：P1=1000kNP2=2000kN,m=1000kNm解：求：A、B处的反力及BC杆对铰C的约束力以C为研究对象 FC

Fx

Fy

P2

CCP2

[例5]已知：P=2kNB、D两轮半径均为R0.3m求：A、C处的反力解以整体为研究对

mA(F)

2FCx2.3P

Fx

Fy

FAy

FCyP

以BC为研究对象DBDmB(F) 2FCx2FCy1.3FE EFEPFB2FCx2FCy1.3P B

FAy

FCyP

FAy

[例6]已知：m=30kNm,P=10kNq=5kN/m求：A、C、E处的反力 B

解 以DE为研究对象

Fx

Pcos

mD(F)F0F0

FF

PFPFPsin

100

FEFF

B A

q以BD为研究对象

Fx

mB(F)

q10.5mFC

Fy

FC

q1FDy

B A

B

q以AB为研究对象 Fx

mA(F)

MA

q11.5MA

Fy

q1

[例7]已知：m=30kNm,P=10kNq=5kN/m求：A、C、E处的反力 B

解 以DE为研究对象

mD(F)

P

1FE

B

A

C

以BDE为研究对象

(F)

5Psin

q10.5mFC

以整体为研究对象 CF

A

Fx

Pcos

mA(F)MA

q22m7Psin

3Pcos60oMA

Fy

q2

Psin60o

§3－6考虑摩擦时§3－6考虑摩擦时刚体的平前面我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了刚体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。[例平衡必计摩 按接触面的运动情况摩擦分为滑动摩滚动摩研究摩擦的目的利用其利，克服其害研究摩擦的方法平衡方补充方程（临界状态一、滑动摩1、滑动摩擦力的定义相接触物体，产生相对滑动或滑动趋势时，其接触面产生的 物体动力滑摩力。 2、状态①静止

F

(FHF

②临界：（将滑未滑

fs

（fs静滑动摩擦系数③滑动F'

f

（f—动滑动摩擦系数增大摩擦力的途径为 ① 向反力FN②加大摩擦系数 （翻页请看动画 3特征

大小：0F

（平衡范围）满

Fx静摩擦力特征

方向：与物体相对滑动趋势方向相ax

fs（fs只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。 大小

F

f

（无平衡范围动摩擦力特征：方向

与物体运动方向相定律

F

f（f只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。 二、摩擦角定义：当摩擦力达到最大值Fmax时其全反力与法线的f叫做摩擦角

F F

fs

F FN tantanffs 三、自①定义：当物体依靠接触面间相互作用的摩擦力与法向反力（即全反力），自己把自己卡紧，无论外力多大物体都不②自锁条件αα

③自锁应用举摩擦系数的测定：OA绕O轴转动使物块刚开始下滑时测角，tan=fs,(该两种材料间静摩擦系数（翻页请看动画tanffs 四、考虑滑动四、考虑滑动摩擦时的平衡问考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时列出

fs

的补充方程。其它解法与平面一般力系相同N只是平衡常是一个范

（从例子说明）[例1]已知：=30º，G=100kN，fs求：物体静止时，水平力Q（翻页请看动画 解：①先求使物体不致于上滑的Qmax图Fx

G

Fy

Gcos补充方程

fs解得

Gtan

fs

tanα

tan

1

1tan

G

tan

应用三角公式

tanα 1tan

同理：再求使物

图Fx

G

Fy

FN

sin

Gcos补充方程

fs解得

sin

fs

G

tan

Gtan(

)

cos

fs

平衡范围应是

Q

[例2]梯子长AB=l，重为P，若梯擦系数fs=0.5求多大时，梯子能处于平衡解：考虑到梯子在临界平衡状态有下滑趋势，做受力图 Fx

FA

FAmax

fsFNAFy

FB

P

FBmax

fsFNBMA

P2

l

l

0(3)解得: ,

fs ,

P

代入fss 1 fss

1 B

1ffsfs

1f

1

arctan 2fs

2

注意：由于不可能大所以梯子平衡倾角应满足

36o87'

考虑摩擦的平衡问题解题方法1、选择研究对象，一般取。2摩擦力的方向不能假设，要根据物体运动趋势来判断。（只有在摩擦力是待求未知数时，