高等数学电子教案

一、自变量趋向无穷大时函数的极

sinxx

x时的变化趋势问题:y

fx在

的过程中,对应函数

fx)无限趋近于确定通过上面演示实验的观察x无限增大时

f(x)

sinx

无限接近于问题:如何用数学语言刻划函数“无f(x)

f(x)

A任意小x

表示

的过程定义1如果对于任意给定(不论它多总存在着正数X,使得对于适xX的一x,所对应的函数

fx都满足不

f(x)

,那末常数A就叫函

x当

时的极限,记x

fx)

f(x)

)""X"定x

f(x)A

0,使当

X时恒

f(x)

另两种情形

x

情形

x

f(x)

0,

使当x

X时

f(x)

20.

x

x

f(x)

0,

0使当x

X时恒

f(x)

定理

f(x)

Ax

f(x)

A且x

f(x)yysinxXA当x

X或x

X时

y

fx)直线y

A为中心线

宽为2的带形区域内例 证明x

sinx

sinx证 0sinx

sinx sinx

X111xysin

Xsinx0sinx

x

sinx

定义如果

f(x)

c,则直

c是函数y

f(x)的图形的水平渐近线二、自变量趋向有限值时函数的极问题:y

fx在x

x0的过程中,对应函数

fx)无限趋近于确定fxA表0x

表示x

x0的过程x0

x0 x0 点x0的去心邻域

体现x接近x0程度定义2如果对于任意给定(不论它多么小),总存在正,使得对于适合不等式0x

的一切x,对应的函数

x

f(x)

,那末常数A就叫函fx)当x

x0时的极限,记x

fx)

f(x)

A(当x

x0"""

x

时

(x)

注意函数极限与

(x)在点x0是否有定义无关与任意给定的正数有关几何解释当x在x0的去心

A

y

(x)域时,函数y

f(x) 图形完全落在以

A线yA为中心线 宽为2的带形区域内

x0

x0 显然,找到一个后,越小越好例 证

limx

CC为常数证

任取

当0

x

时f(x)

C

0成立

limx

C.例 证

limxx

x0

(x)A

xx0

取当0

x

时f(x)A

x

成立

limxx

x02例 证明lim 12x xx2x证x2xf(x)A

2

x

要使

(x)

只要取

当0

x

时,

2x2x2limx2x2x x例 证明:当

xxxxx0xxx0x0xx0x0证f(x)xx0xxx0x0xx0x0,要使

f(x)

只要xx0

x0

且不取负值取

min{x0

x0当0

x

时,就

xxx0 xxx0x单侧极限例如

yy1fx

1x,

xx

x

y证明x0

f(

分x

0和

0两种情况分别讨x从左侧无限趋近x0x从右侧无限趋近x0

记作

x0x0左极

0,

0使当

x

x0时

(x)

记作xx00(xx0

fx)

f(

0)右极

0,

0,使当x0x

x0

时

(x)

记作xx00(xx0

fx)

f(

0)注意x0

x

{x0

x

}{x

x

定理

x

f(x)A

f(

0)

f(

0)例6

x0

x不存在y1oxy1oxx证 limxx0 x0 lim(1)x0x0

limxx x

lim1x0左右极限存在但不相等

x0

f(

不存在三、函数极限的性有界定理若在某个过程下,fx有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后唯一

xlimfx)存在,则极限唯一定理(保序性

设0x0

f(x)

x

g(x)B.若

0,xU0x,),有

(x)

gx),则AB.推

0x0

f(x)

x

g(x)

B,且A则

0,xU0x,),有

(x)

g(x).定理(保号性

若0x0

f(x)

A,且A

0(或A

则

0,当xU0x,)时

f(x)

0(或

(x)

推 若x

f(x)

A,且

,)时0f(x)0

0(或

(x)

0),则A

0(或A

子列收敛性(函数极限与数列极限的关系定义设在过程

a(a可以是

x,或x 有数列xn

a),使得n时

a.nfx),即n

(x1),f(x2

f(

),为函数fx)当x

a时的子列定理若

f(x)

A,数列

xn)是

x当x时的一个子列,则有

f(xn)x

f(x)

0,

0使当0

x

时f(x)An又limnn

x0

x0对上述

0,

0,使当n

N时0

.从而

f(xn)

x

f(xn)例如

x0

sinxyysinxn

2n2

nn

sin

sinn1n

nn n2函数极限与数列极限n2函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.例 证明limsinx0

不存在证取

1ysinxysinxnlimnn

取xn

,,

而limsin

limsin

而limsin1limsin4n

lim1二者不相等

故limsin

不存在四、小函数极限的统一定nxx

f(n)f(x)

x0xx0

f(x)f(x)

x0xx0

f(x)f(x)

f(x)

A

0,时刻,从此时刻以后

(x)

(见下表过程nxxx时刻N从此时刻以nxxxf(x)f(x)A过程xx0xx0xx0时刻从此时刻以0xx00xx0xx0f(x)f(x)A思考试问函数

f(x)

xsin1

xx0在

05x2

x的左、右极限是否存在？当

0

x思考题解x0

f(x)

lim(5

x2)

左极限存在x0

f(x)

x0

xsinx

右极限存在

f(

f(x)

limx0

f(x)

不存在一、填空题

2时，yx

取 时0

x

，必有

y

0.001

x时，y

x2

x2时，只

xz，必

y

0.01二、用函数极限的、2x2

14x2x x2、xx

sinx三、试证

fxx

x0时极限存在的充必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等x四、讨论：函数x)存在

xx

0时的极限是否练习题答 2、397一、自变量趋向无穷大时函数的极

sinxx

x时的变化趋势一、自变量趋向无穷大时函数的极

sinxx

x时的变化趋势一、自变量趋向无穷大时函数的极

sinxx

x时的变化趋势一、自变量趋向无穷大时函数的极

sinx