高中数学(北师大版)选修2-2教案第1章反证法的应用例题解析_第1页
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文档简介

反法应例解反证法是一种间接证明的方法，其基本思路是从命题结论的反面出发，引出矛盾从而证明命题成立运用反证法的关键“寻找矛盾以与已知的公理、定义、定理矛盾；与题目的已知条件矛盾；与临时假设矛盾或推出两个互相矛盾的命题。下面结合解题实际,谈一谈什么时侯宜用反证法。一、证否定型命题常用反法11例1如,b,c是不全相等的实数，,b,c等差数列，求证：,不成abc等差数列。11a证明：假设,,成等差数列，则abcac由,b,c成等差数列，2ba①那么

2，2②bac由①、②b,是不全相等的实数矛盾。11故,,不成等差数列。abc点评本题是否定型命题对于否定型命题的常规论证方法也是用反证法从否定结论开始，,c成等差数列的条件下进行推理，得,b,c成等比数列，因，与已知矛盾，从而结论成立。二、正证明困难时用反证例2求证：方5

的解是惟一的.证明：确定方程的解：由对数的定义易得12是这个方程的一个解15证明惟一性：假设这个方程的不是惟一的，它还有另解22

5x，则，5

…….①，假设，得，21从而，当x21

……②；时521

…….③显然，②、③都与①矛盾，这说明假设不成立，∴方5

解是惟一的.点评：当原命题从证明下手证明较困难时，可不时时机地选择从它的反面证-1-/3

321a1321a1明，有时会起到事半功倍的效果.三、当题中出现“多至少”时：例3已知,r是正数，试证：关于x的三个方8xpxxqx8rx至少有一个方程有两个不相等的实根。证明：假设三个方程均无不相等的实根，则

p)2)r0r)2p0

2p2rr0与pqr都是正数矛盾2rp0故三个方程中至少有一个方程有两个不相等的实根点评至少”型问题的常规证法是反证法；本题首先否定结论，利用方程的根与判别式之间的关系进行推理，最终推出与已知矛盾的结果，从而肯定命题的正确性。借助反证法，整个推理过程顺理成章，试想一下如果不用反证会将如何？四、解存在型问题有时可反证法例4已知数{}中，a为正实数an

n

n

1an

(n（1）a，试求a的取值范围。3（2）是否存在正实数，使an

n

任n成立。1(a2解1aaaa21a1

2

)

∴

(

515)(a)()()22(a

，a

5,1)2

,（2）不存在正实数，使an

n

任n成立。下面用反证法加以-2-/3

nnn11nnn11证明。假设存在正实数a，对任nan成立。

n

恒成立，anann

11110a∴aaann又a

n

n

a

1n

n

n

a

1n

a2

1a111∴aaaa12即an1

11n)aaa1n故n1

2

，

，则矛盾，因此，不存在正实数a，nan

n

，n恒成立。点评存在”就是有，证明有或者可以找出一个也

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