文科数学第五六章不定积分定积分

第五、六不定积定积应广义积不定积分主要教学内容基本积分公式不定积分的线性运换元分部积分不定积引例:m的质点

,根 第二定律,加速因此问题转化为原函

v(t)

Asintm

v(t)定 若在区间I上定义的两个函数F(x)及fI上的一个原函数

F(x为f如引例中

的原函数有

Acost,

Acost

问题在什么条件下一个函数的原函数存在若原函数存在它如何表示定理 定理 设F

是f

F(x)

f

f 在I证（不作要求）(i)因为F

是f

F(x)进 (F(x)C)

f(x),xIFx

f

在区间I 设

是f

在区间I上的原函数,则有(F(x)G(x))

f(x)

f(x)

0,xI故FxGx)CxI不定积定 在区间I上的原函数全体称上的不定积分,记 其—积分号 —被积函数积分变量

被积表达式(C为任意常数例如

exdx

ex

Cx3x2dxx3

3

不可丢sin

xdx

x不定积分的几何意

的f(x)

的图 的平行曲线族y 例1设曲线通过点12斜率等于该点横坐标的两倍求此曲线的方程解所求曲线过点(1,2),

yx2例4

d 11x2解：

x)'

,dx

x1x21x21x21x21x21x2

,dx

arccosx1x1x2

不定积分答案形式不定积分答案形式不惟一，但本质

xarccosx2此例表明，不定积分的答案“形式”往往不止个；现在由

arcsinx

1x1x原函数，所以两个答案都是正确的。又由

arccosx/

，于

arcsinx/

，两人选择的同原函数之间仅仅相差一个常

C不定积分与微分的关

dx

xC,

0dxcos

sin

sinxddfddf(x)df(x)df(x)dxf(x)F(x)dxF(x)或dF(xF(x)

d( n1

xn1

n1

xn1aabbln(ex)x

elnxF(

微 积F(x) dF(x)dF(x)F'(x)dx

f(x)d

F(x)d

f(x)dx)d(F(x)C)

f(x)d结论：结论：F'(x)dxF(xC,(f(x)dx)'f(C为任意常数基本积分

kdx

kx

(k为常数

dx

lnx((lnx)[ln(x)]xx

exdxaxdx

exaxCln

xdx

x

sin

xdx

x

d

sec2

xdx

xcos2

d

xdx

xsin2

secxcscx

xdxxdx

secxcscx

xC

arc

x1x2

x

或arc

x1x2例2解:原式

4x341

3x34 3x33x3例3解:原式

212

x

212

x简单的积分法

f(x)dx

k

(x)dx

(k[

(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(x)df(x)dxkifi(x)dxn推论: 直接积分法利用恒等变形

基本积分公式进行积分

利用三角公式代数公式例4解:原式

(sec2

sec2xdx

dx

tanx

x例5解:原式

[(2e)

52x(2e)

2 2ln x ex 52ln21ln2例6

x2解:原式=

x2

11x2 arctan

lnxx4例7求1x2

dx解:原式

(x4

11x2(x21)(x2

11x2(x2

1)dx1x213

x

arctanx课堂练习：求下列积分提示

x2

x21 x2(1

x2

x2(1

x2

x2 1x2

sin2xcos2

xcos2

xcos2sec2xcsc2换元 分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一换元和第二换元。问 cos2

1sin2x2

C,解决方法利用复合函数，设置中间变量过

2x

dx

1dt,cos2

costdt2

1sintC2

1sin2xC.1

C

cos2

说明结果正定

f(u)具有原函数

x)可导则有换元公 f(u)du]u(x说明使用此公式的关键在于将g(

化为

f[(x)](x)dx.观察重点不同，所得结论不同例8求

sin2

sinxdxcosx

sin2xdx2

sin2xd(2x)

u2 2

2

cosu

1cos2x2sin2xdx

2sinx

2sin

x)usin

2uduu2xdx1xdx1x法三

sin2

x

xd(cosx)

ucos

xdxxdx1x

cosx例

解：

321

(3

232 232 dx1 (3

232 32 u

1lnuC2

1ln(32

2x)C一般

f

1

例10

(1x)3

1解：(1[

x)31

x)3]d(1x)

x)2

x)3 1

x

1 1

x)2C

C21

x)2例11

1e1

1e

e1

exdxe

1e x x11e

1

exdx

ex1ex

ex)C例12

x x

2

d

x2 x)x但是若遇到这样的题： dx,x1

(a

x

a2

x2a2

a2x2f(x)d

令x(t

f

F(t)

t1(

F(1(x))注：1

单调可导方法要点：记住四种换元（参考以下四个例题）例13

1xxxx

令x

1tdt 1

ln|

1|)

ln x1例14

dx

(a，t,x2a2，t,x2a2x2x2a2x2x2a2

a,

由图可见，tant

,cost x2a2 atantx2a2

acos

x2a2 x2a2

atant

x2x2a2

dt

ln|sec

tan

|x2a2ln|x2a2

|

ln|x

|x x2x x2ta例15

dx

(ax2x2

tant

,cost x2x2a2原式

costdatanta

dtx2x2a2x2a2lnx2a2

tant|

ln|x

|x2x2a2x2xta

d

ln|x

|例16求

a2x2d

(aa2xa2x2

sint

x,cost 原式

acostdasin

a2cos2tdt22a21cos2tdt22

t

sin2t

a2a2x2axta2axta2

分部积分问题

xexdx解决思路利用两个函数乘积的求导法则设函数u

ux)和v

vx)具有连续导数uv

uv

uv

uv

分部积分公例17求积

x

解（一）令u

cos

则

sindv

12x2

则vx2

1x22x

xdx

cosx2

2

显然，u,v选择不当，积分更难进行解（二）：ux,

dv

cosxdxdsindu

vsinx

xdsin

xsinx

xsin

cos

C例18求积分

x2exdx.解：u

x2

e

de

dv,x2e

x2ex

xexdx（再次使用分部积分法）u

e

x2e

ex)C例19求积分解

x33

x4uln

xdx4

dv,x3

1x4lnx

x3dx1x4lnx1x4

C定积4.2.14.2.1 y

f(x) y

fx

xa,

xb,

y0所围成的图形称为曲边梯形.在

x轴上的线段[a

fx)在[a,b上连续，

fx)0，求以曲y

为曲边，底为[a,b的曲边梯形的面积A计算步骤如下分任取分点ax0x1x2xi1xixn1xnb把区间

分为n个小区间：

xi](i1,2,,[xi1

xi]的长度记为

xi

(i

1,

,n y

f(x)f(i a

xi1i

xnb x

(i

2,

n1

,把整个曲边梯分成n

小曲边梯形，其中

i个小曲边梯形的积记为A

(i

2,,n)近

[xi1,xi

“分割取近似，求和取极限

f(ξi

(i

2,,n求nAi1

f)xi取极d

xi,AlimfAlimf)xind0i1.4.2.2．定积fx是定义在[ab分点：ax0x1x2xi1xixn1xnb,把[abn个小区间xi1,

xi]

i

2,n)i[xi1,xin作和

i

f

)xi

其中

xi1d

,1i如果不论[a,b]怎样分法及

如何选取

当d

0时

fx)在[a,b上b定积分，记作b

fx)dx，bab

f(x)d

f(ξi)f(ξi)xiin.[a,b]积分区若定积分b

f(

存在，则

fx)在[a,b上可积bA是曲边函数yb

fx在区间A

a

dx定积分定义的剖定积分a

f(

仅与被积函

fx和积分区间有关，而与区间[a,b]的分法与点

的取法无关定义中

0，不能改为nbbbab

(x)dx

a

(t

ba

规定：当ab

时，b

f(

ab

(x)dx当ab

时，a

f(

0定积分的几何意

xC[ab

fx)0，则a

fx)dxyfx y

f(x)

A

f( fx)C[a,b]

f(x)0， ba

(

A A

ba

(x)dx

yf(x)

fx)C[a,b,

fxa

f(y

fx

xa

xb

x轴所x轴x轴下方的面积取负号.bab

(x)dx

A

A2

yAyyAyf(x)aoA3A2b14利用定积分表示图中的badxbbadxba

（1）解Axy

ysin （2）解A0sinxdx

xdxy

yxxx2y222x2（3）解：A dx2x2

x2 例

1 1

dxi i取分点为

1,2,...,,

n在第i个小区间上取右端点in

xi于 于

lim(i)2n

1

(n)2n

n(n1)(2n1)1 4.2.34.2.3定积分的运算性 a(f(x)g(x))dx f(x)dx

g(a a

(x)dx f(x)dx

f( f(x)dx f(x)dxb

f(

c[a,amdxm(ba)定理如果F

是连续函

x在区

a,b]上任一原函

ba

(x)dx

F(b)

F(a)证:（不作要求

已知Fx)

fx)的一个原函数x又xx

f(t)dt

fx)的一个原函数F(x)

(x)

x[a,b

xa

F(a)

(a)Ca)

f(t

0C

F(a).

F(x)

(x)

F(a)x

F(b)

(b)

F(a)

(b)

F(b)

F(a).ba

(t

F(b)

F(a)

bf(x)dxa

F(b)

F(a)bf(x)dxa

F(b)

F(a) 公说明使用时Fx)在[a,b]上的改变量F(b)

F(a)a通常记为Fxa

或[Fx)]ba这样 公式又可写abf(x)dxa

Fx

bf(a

[F(aa aa0例16计算x0 3解

x2dx 3

1x2dx 3 例 计算解 81dx

2

x

ln8

2ln2 2例

计算0

xdx.

xdx2

12

x 2

x)dx1(dx

xdx)2 20 02

sin 平面图形的面由连续曲yf(xf(x0),x=a(a<b)及x轴所围成的平面图形的面ybyf(x)b

x

面积

f(x)由连续曲y=f(xy=g(xx=ax=b所围成的平面图形的面积yfx)

yf(x)

yx

g(x) bb

[f(x)

g(x)]dx例19计算由两条抛物y2

xyx2所围成的图形的面积先求两曲线的交

y2

yx选x为积分变量

x 1S1

x3) x3)0

)

x23

x2 例20y

,y 1x2

与直线x 3围成的平面图形的面积

1 x2

y 由对称性

y 1x2 x2

x

1S20(1x2

)dx2

(21

)x3

323广义积常义积 积分限有被积函数有反常积分(广义积分无穷限反常积引例.曲 和直 边梯形的面积可记作 x2

ybdx

x2 1 A

lim bb

x

11b b定义

(x)C[a

),

取ba,fx)的无穷限反常积分, 收敛;如果上述极限不存在 发散,

f(x)C(

b],

引入记F()

x

F(x)

F()

x

F(x) f(x)dxF(x) F()

F(a)bb