2019届高三联合模拟考试理科数学试题

5.5.理科数学试题第页(共6页)所以3，即CE=13…12分2220.解：x_21_设动点P的坐标为(x,y)，由题意可得2,J(x-1)2+y22整理，得：x22y2=2，即—y^1为所求曲线E的方程…4分2(解法一)由已知得：Q(0,1),C(0,2),CQ=1，即圆C方程为x2•(y-2)2=1由题意可得直线MQ,NQ的斜率存在且不为0…5分设直线MQ的方程为y=k1x1，与x2•(y-2)2=1联立得：(1k^)x^2k1^0所以•二§竺SQBC2“呼)

k2(^k；)所以，乂人二走同理，设直线NQ的方程为y=k2x1，与x2•(y-2)2=1联立得:所以Xb2k21k22因此12IqcXa12|qcxBXaXbk1(1k；)

k2(1k；)由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称设M(x0,y0),N(_x0，-y0)，所以,kjk21-y°1y°X02y。2X02又M(x0,y。)在曲线E上，所以型•y。2=1，即k*2二-丄2222(1k2)x-2k2X=0...7分…8分…10分24k1111(42k123k12121由于k1V,所以，2…12分2(解法二)由已知得：Q(0,1),C(0,2),CQ=1，即圆C方程为x2・(丫-2)2=1由题意可得直线MQ,NQ的斜率存在且不为0…5分1设直线MQ的方程为y=k1XV，则点C到MQ的距离为d!:所以|AQ=2』CQ|2_d12=2」1=：鬧2V1+匕/+賦于是，s血ac=3aqa=严221+k1设直线NQ的方程为y=k2xV，同理可得：S-QBCk21k22由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称2设M(x0,y°),N(_x0,-y0)，所以，仆2=丄也丄也=丫021-X0X0X02又M(x».y0)在曲线E上，所以专，即心三24k11132-(4-一2—)，2k122k11…10分21由于k1，0，所以，2…12分221.解:(1)当a=-1时，f(x)0等价于-xlnx•」x2.0，即x-21nx•0；・T分2设函数g(x)=x_2Inx，则g&)=1「2=生辽,分xx当X(0,2)时，g(x)：：：0；当X(2,U)时，g(x).0.所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,•：：)单调递增.故g(2)=2-21n2为g(x)的最小值，…3分而2-21n20,故g(x)0,即卩f(x)0.…4分(2)f(x)=alnx亠x-a2,设函数h(x)=alnxx—a2，贝Uh(x^-1(x0);xx(i)当a0时，h(x)0,h(x)在(0,：)上单调递增，a2又h(e)0，取b满足0：：b：：1且ba，则h(b)：：0,故h(x)在(0,：)上有唯一一个零点x1,且当x(0,X』时，h(x)：：：0,x(心•：：)时，h(x)0,由于f(x)h(x)，所以x=X1是f(x)的唯一极值点；…6分当a=0时，f(x)x2(x•0)在(0,•：：)上单调递增，无极值点；…7分2当a：：0时，若x(0,-a)时，h(x)：：0；若x(-a,•：：)时，h(x)0.所以h(x)在(0,-a)上单调递减，在(-a,•：：)单调递增.故h(-a)=a[ln(-a)-1-a]为h(x)的最小值，若a=-1时，由于h(-a)=0，故h(x)只有一个零点，所以x「：-a时厂(x).0,因此f(x)在(0,•：：)上单调递增，故f(x)不存在极值；若a(「1,0)时，由于ln(—a)-1-a：：0，即h(-a)0,所以f(x)0,因此f(x)在(0,•：：)上单调递增，故f(x)不存在极值；③若a(—二，-1)时，ln(―a)—1—a0,即卩h(—a)：：：0.又h(ea)0，且0：：ea:::1<-a-而由(1)知x2lnx,所以xlnx,—5亠1取c满足、.ca，贝Uh(c).a•c_a202故h(x)在(0,_a)有唯一一个零点X2，在(_a，::)有唯一一个零点X3；且当X(0,X2)时h(x)：:：0，当X(X2，X3)时，h(x)0，当X(X3,•：：)时,由于f(x)=h(x)，故f(x)在X=X2处取得极小值，在X=X3处取得极大值，即f(x)在(0,•二)上有两个极值点.综上，f(X)只有一个极值点时，h(x)：：：022.解：(1)由曲线G的参数方程a的取值范围是(0,严0x=2cos：：「一.22<(④为参数)得：cos申+siny3sin:2…11分…12分2y.3即曲线Ci的普通方程为xy123…］分又x=『cosv,y=：?sinv,曲线G的极坐标方程为3評曲线C2的极坐标方程可化为?sinn-：?co^-.2,故曲线C2的直角方程为x-y•.2=0222222cos日+2Psin日=6，即Pcos日+2P=6(2)由已知，设点M和点N的极坐标分别为(匚心),(：?2,),4f(x)=x_2a3_3x+2a_-,x^2aac3c3=-X-2a,2a：：：x_a2a333x—2a+—,x>、一af3)亠f1-na,上递减，在.-12a丿I2a所以f(x)在+2x+^a討递增即f(x)min=f()--2a》2,(-2a)(-—)=2J32a2a2a所以f(x)>2.3…10分ON21-2兀sin()27cos2二亠212~cos:二cos2:61于是」OMI|ON由一：：:：•：：:二，得一1：：：cosu0