特殊四边形的动态探究题

特别四边形的动向研究题1.已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，连接ED，若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)①若AB＝4，BC＝23，则CD＝________；②当∠A＝________时，四边形ODEB是菱形．第1题图1．(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠B＋∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C，AB＝AC；3(2)解：①2；【解法提示】如解图，连接BD，第1题解图AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由(1)知AC＝AB＝4，则AD＝4－a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2－AD2＝42(4－a)2，在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2－CD2＝(23)2－a2，33∴42－(4－a)2＝(23)2－a2，解得a＝2，即CD＝2.②60°.【解法提示】如解图，连接OD、OE，∵四边形ODEB是菱形，∴OB＝BE，又∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠OBE＝60°，1∵OD∥BE，∴∠BOD＝120°，∴∠A＝2∠BOD＝60°.2.如图，在?ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC，过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)①当DF＝______时，四边形BCEF是正方形；GF②当GD＝________时，四边形BCEF是菱形．第2题图(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EF∥BC.∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形；(2)解：①1;【解法提示】∵四边形BCEF是正方形，BF＝BC＝AD＝4，∠FBC＝∠AFB＝90°，AF＝AB2－BF2＝52－42＝3.AD＝4，∴DF＝AD－AF＝4－3＝1.4②5.【解法提示】∵四边形BCEF是菱形，∴BF＝BC＝AD＝4.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，GDGFGFBF4∴AB＝BF，即GD＝AB＝5.3.如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC.(1)求证：BC∥OP；(2)若半圆O的半径等于2，填空：①当AP＝________时，四边形OAPC是正方形；②当AP＝________时，四边形BODC是菱形．第3题图3.解：(1)证明：连接OC，AC，如解图所示，AB是直径，AM⊥AB，BC⊥AC，AP是半⊙O的切线，又∵PC是半⊙O的切线，∴PA＝PC，又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，BC∥OP；(2)①2；②23.【解法提示】①若四边形OAPC是正方形，则OA＝AP，∵OA＝2，∴AP＝2；②若四边形BODC是菱形，则CB＝BO＝OD＝DC，AB＝2OB，∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠ABC＝60°，又∵∠OAP＝90°，OA＝2，∴∠OPA＝30°，∴OP＝4，∴AP＝OP2OA24222＝23.第3题解图4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，AF＝CE且F不与E重合．(1)求证：△EFA≌△ACE；(2)填空：①当∠B＝_________°时，四边形ACEF是菱形；②当∠B＝_________°时，线段AF与AB垂直．第4题图4.(1)证明：如解图，第4题解图ED是BC的垂直均分线，∴EB＝EC，ED⊥BC，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，∴AE＝CE.又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，在△EFA和△ACE中，AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EFA≌△ACE.(2)解：①30；②45.【解法提示】①∵四边形ACEF是菱形，∴AC＝CE，CE是Rt△ABC斜边AB的中线，∴CE＝AE＝BE，∴AE＝AC＝CE，∴△ACE是等边三角形,∴∠1＝60°，则∠B＝30°,∴当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形；②由(1)知△EFA≌△ACE，∴∠AEC＝∠EAF，∴AF∥CE，AF⊥AB，∴CE⊥AB，CE＝EB，∴∠3＝∠4＝45°，∴当∠B＝45°时，线段AF与AB垂直．5.如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE.(1)试判断OE与AC的关系，并说明原由；(2)填空：①当∠BAC＝_________°时，四边形ODEB为正方形；②当∠BAC＝30°时，AD的值为________．DE第5题图5.解：(1)OE∥AC，OE＝1AC.2原由：连接OD，如解图，第5题解图DE，BE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴RtODE≌Rt△OBE(HL)，∴∠1＝∠2.∵∠BOD＝∠A＋∠3，OA＝OD，∴∠A＝∠3，∴∠2＝∠A，∴OE∥AC；OA＝OB，∴EC＝EB，OE是△ABC的中位线，∴OE＝1AC.2(2)①45；②3.【解法提示】①要使四边形ODEB是正方形，由ED＝EB，∠ODE＝∠ABC＝90°,只需∠DOB＝90°，∴∠A＝45°；②过O作OH⊥AD于H,∵∠A＝30°，OA＝OD,∴∠3＝∠A＝30°，∴OD＝3AD，∵∠ODE＝°，∠＝∠3901，∴AD＝3.3＝°，∴OD＝3∴3AD＝3DE30DE,3DE6.如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移获取△A1C1D1，连接BC1，∠ACB30°，AB＝1，CC1＝x.(1)若点O与点C1重合，求证：A1D1为⊙O的切线；(2)①当x＝________时，四边形ABC1D1是菱形；②当x＝________时，△BDD1为等边三角形．第6题图(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，∵把△ACD沿CA方向平移获取△A1C1D1，∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，∴A1D1为⊙O的切线；(2)解：①1；②2.【解法提示】①如解图①，连接AD1，当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；第6题解图①原由：由平移得：AB＝D1C1，且AB∥D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∵∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，AB＝1，∴AC＝2，x＝1，∴AC1＝1，∴AB＝AC1，∴△AC1B是等边三角形，∴AB＝BC1，∴四边形ABC1D1是菱形；②如解图②所示，当x＝2时，△BDD1为等边三角形，第6题解图②则可得BD＝DD1＝BD1＝2，即当x＝2时，△BDD1为等边三角形．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一个动点，∠BAC的均分线交圆弧于点D，半圆O在点D处的切线与直线AC交于点E.(1)求证：△ADE∽△ABD；(2)填空：①若ED∶DB＝3∶2，则AE∶AB＝________；②连接OC、CD，当∠BAC的度数为________时，四边形BDCO是菱形．第7题图7.(1)证明：如解图①，连接OD，AD是∠BAC的均分线，∴∠EAD＝∠DAB，AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE，DE是半圆O的切线，∴OD⊥DE，∴∠E＝90°，AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD＝∠DAB，∠E＝∠ADB，∴△ADE∽△ABD；第7题解图①(2)解：①3∶4；EDAE【解法提示】由(1)得△ADE∽△ABD，∴BD＝AD，ED∶DB＝3∶2，∴AE∶AD＝3∶2，∴∠EAD＝30°，∴∠DAB＝30°，∴AD∶AB＝3∶2，∴AE∶AB＝3∶4.60°.【解法提示】如解图②，连接OC，CD，OD，当四边形BDCO是菱形时，OD＝BD，∴△ODB为等边三角形，∴∠DOB＝60°，由(1)得，OD∥AC，∴∠BAC＝60°.第7题解图②8.如图，以△ABC一边AB为直径作⊙O，与别的两边分别交于点D、E，且点D为BC的中点，连接DE.(1)证明：△ABC是等腰三角形；(2)填空：①当∠B＝________时，四边形BDEO是菱形；②当∠B＝________时，△AOE是直角三角形．第8题图8.(1)证明：连接AD，如解图，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°.D为BC的中点,∴BD＝DC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；第8题解图(2)解：①60°；②67.5°.【解法提示】①当∠B＝60°时，四边形BDEO是菱形．连接OD，如解图，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，△OBD是等边三角形，∴△AOE是等边三角形，△DOE是等边三角形，∴OB＝BD＝DE＝EO,∴四边形BDEO是菱形；②若△AOE是直角三角形，只有一种情况，即∠AOE＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO＝45°，由(1)知△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C＝180°－45°＝67.5°.29.如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，O是AB的中点，以︵O为圆心，OA为半径的圆交AC于D，E是AB上的一点，∠C＝45°，连接BE，DE.AF切圆O于点A，交BE的延长线于点F.(1)求证：BC是圆O的切线；(2)填空：①当BE＝________时，四边形BDAE是正方形；②当BF＝________时，四边形ODAF是平行四边形．第9题图9.(1)证明：∵AB＝BC，∠C＝45°，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵在△ABC中，∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝180°－45°－45°＝90°，又∵AB是过圆心O的直径，OB⊥BC，∴BC是圆O的切线；(2)解：①42；②45.【解法提示】①当DE经过圆心时四边形BDAE是正方形，连接BD，AE，如解图①，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB90°，又∵AB＝BC，∴BD⊥AC，AD＝DC＝BD，又∵∠ADB＝90°，AD＝BD，∴DO⊥AB，∴AB⊥ED，∵ABED，OA＝OB，OE＝OD，∴四边形BDAE是正方形．∵AB＝8，∴EO＝OB＝4，∴BE＝EO2BO2＝16＋16＝2，∴当BE＝42时，四边形BDAE是正方形；②如解图②，∵四边形ODAF是平行四边形，∴AF＝OD＝4，∴BF＝AF2AB2=4282＝45，∴当BF＝45时，四边形ODAF是平行四边形．第9题解图①第9题解图②10.如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝8cm，AB＝10cm，BD＝12cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点D运动．设运动时间为t.(1)连接DP、BQ，求证：DP＝BQ；(2)填空：①当t为______s时，四边形PBQD是矩形；②当t为______s时，四边形PBQD是菱形．第10题图10.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝BC.又∵AP＝CQ＝t，∴△APD≌△CQB(SAS)，DP＝BQ；(2)①1；②2.【解法提示】①如解图①，∵△APD≌△CQB，∴DPBQ.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB－AP＝CD－CQ，即BP＝DQ，∴四边形PBQD是平行四边形．当∠DPB＝90°时，